Mathematica基礎數(shù)學實驗.ppt

實驗四 空間幾何圖形的描繪,一、實驗目的 掌握用mathematica軟件包描繪空間幾何圖形(空間曲面和曲線)的方法. 通過作圖和觀察, 深入理解多元函數(shù)的概念, 提高空間想象力. 深入理解二次曲面的圖形和方程.,二、學習mathematica命令 1. 空間直角坐標系中作二元顯函數(shù)z=f(x, y)三維圖形命令Plot3D: Plot3Dfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2,選項 其中fx,y是x, y的二元函數(shù), x1, x2表示x的作圖范圍, y1, y2表示y的作圖范圍.,例如輸入 Plot3Dx2+y2,x,-2,2,y,-2,2 作函數(shù)z=x2+y2在區(qū)域2 x 2, 2 y 2上的圖形.,與二維平面作圖命令Plot相似, Plot3D也有許多選項. 輸入?Plot3D,Plot3Df, x, xmin, xmax, y, ymin, ymax generates a three-dimensional plot of f as a function of x and y.,Plot3Df, s, x, xmin, xmax,y, ymin, ymax generates a three-dimensional plot in which the height of the surface is specified by f, and the shading is specified by s.,及一系列的選項.,2. 利用參數(shù)方程作空間曲面圖形的命令ParametricPlot3D,作曲面時的基本形式為: ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,u1,u2, v,v1, v2, 選項,其中xu,v, yu,v, zu,v為參數(shù)方程的三個表示式, u1, u2和v1, v2分別為兩個參變量u和v的作圖范圍.,輸入 ParametricPlot3Du*Cosv, u*Sinv,u2,u,0,3,v,0,2Pi; 可以作出旋轉拋物面z=x2+y2的圖形,這個圖形比Plot3D命令作出的圖形要好得多.,3. 常見曲面的常用(標準方程的)參數(shù)方程:,當a=b=c時為球面.,橢球面:,橢圓拋物面:,當a=b時為旋轉拋物面.,橢圓錐面:,當a=b時為圓錐面.,橢圓柱面:,當a=b時為圓柱面.,正螺面:,單葉雙曲面:,圓環(huán)面:,空間曲線,繞 z 軸旋轉所得曲面的參數(shù)方程為:,實際上, 對給定的t, 得曲線上一點M1(t), (t), (t),其繞 z 軸旋轉得到一個圓, 該圓在平面z= (t)上.其半徑為點M1到z軸的距離:,因此, 在平面 z = (t)上的圓的方程為:,再令 t 在, 內(nèi)變化, 即為所求旋轉曲面的參數(shù)方程.,例如, 與 z 軸異面直線的參數(shù)為:,令其繞 z 軸旋轉所得的旋轉曲面的參數(shù)方程為:,t , ,消去參量 t 和, 得曲面的直角坐標系下的方程:,此曲面為單葉雙曲面.,這也是的直紋面性質. 如圖:,4. 利用參數(shù)方程作空間曲線圖形的命令ParametricPlot3D,作曲線時的基本形式為: ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,t1,t2, 選項 其中xt, yt, zt為參數(shù)方程的三個表示式, t1, t2為參變量 t 的作圖范圍. 空間螺旋線的參數(shù)方程為: x=cost, y=sint,z=t/10, 0 t 8,輸入 ParametricPlot3DCost,Sint,t/10, RGBColor1,0,0,t,0,8Pi,將多個圖形繪于一起仍用Show命令.例如, 將一個球面x2+y2+z2=4與一個拄面(x1)2+y2=1繪與一起. 輸入(見程序).,作單側曲面(默比烏斯帶): 輸入: rt_,s_:=2+0.5*s*Cost/2; xt_,s_:=rt,sCost; yt_,s_:=rt,sSint; zt_,s_:=0.5*s*Sint/2;,ParametricPlot3Dxt,s,yt,s,zt,s,t,0,2Pi,s,-1,1, PlotPoints-50,8,BoxRatios-5,5,1,Ticks-False;,程序,練習:,1. 用Plot3D命令畫出函數(shù),在-x, -y上的圖形, 采用選項PlotPoints-50.,2. 函數(shù),在(0, 0)處不連續(xù), 用Plot3D命,令畫出函數(shù)在-2x2, -2y2上的圖形,采用選項PlotPoints-50或更大, 觀察曲面在(0, 0)處的變化.,3. 一個圓環(huán)面的參數(shù)方程為: x=(3+cosu)cosv,y=(3+cosu)sinv,z=sinu(0u2,0v2), 用ParametricPlot3D命令畫出它的圖形.,4. 一個正螺面的參數(shù)方程為: x=ucosv, y=usinv, z=v/3(-1u1, 0v4), 用ParametricPlot3D命令畫出它的圖形.,5. 用Plot3D命令畫出雙曲拋物面,在-6x6, -14y14上的圖形, 采用選項PlotPoints-30和BoxRatios-1,1,1,改變BoxRatios中的參數(shù)再觀察.,6. 做兩個半徑相同的圓柱面垂直相交的圖形.,7*. 做兩個半徑相同的圓柱面垂直相交的交線. 將此圖形與6題的圖形放在一起觀察. 輸入以下命令: ParametricPlot3DCost,Sint,Sint,RGBColor1,0,0,Cost,Sint,-Sint,RGBColor0,0,1,t,0,2Pi;,8*. 作出球面