高中數(shù)學(xué)課時(shí)提升作業(yè)十六2.3.2.1拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（含解析）新人教A版選修.docx

課時(shí)提升作業(yè) 十六拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2016吉安高二檢測(cè))已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.34B.1C.54D.74【解析】選C.由拋物線的定義,有|AF|+|BF|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+p=3,故xA+xB=3-p=,故線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.【延伸探究】若將上題改為F是拋物線x2=2y的焦點(diǎn),A,B是拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=6,則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為.【解析】|AF|+|BF|=6,由拋物線的定義可得|AD|+|BE|=6,又線段AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線y=-的距離為(|AD|+|BE|)=3,所以線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為.答案:2.(2016溫州高二檢測(cè))已知拋物線y2=6x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),且在第一象限,PAl,垂足為A,|PF|=2,則直線AF的傾斜角為()A.4蟺5B.2蟺3C.3蟺4D.5蟺6【解題指南】可先畫(huà)出圖形,得出F,由拋物線的定義可以得出|PA|=2,從而可以得出P點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入拋物線方程便可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),這樣即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo),從而求出直線AF的斜率,根據(jù)斜率便可得出直線AF的傾斜角.【解析】選D.如圖,由拋物線方程得F;|PF|=|PA|=2,所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2-=;所以y2=6,P在第一象限,所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為;所以A點(diǎn)的坐標(biāo);所以AF的斜率為=-33;所以AF的傾斜角為.3.已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),由P,Q分別向準(zhǔn)線引垂線PK,QS,垂足分別為K,S,如果|PF|=a,|QF|=b,M為KS的中點(diǎn),則|MF|的值為()A.a+bB.12(a+b)C.abD.ab【解析】選D.如圖,根據(jù)拋物線的定義,有|PF|=|PK|,|QF|=|QS|,易知KFS為直角三角形,故要求的是直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng).在直角梯形PKSQ中,容易求得|KS|=2.故|FM|=|KS|=.4.已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直, l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=12,P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則ABP的面積為()A.18B.24C.36D.48【解析】選C.如圖所示,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0).因?yàn)楫?dāng)x=時(shí),|y|=p,所以p=6.又P到AB的距離始終為p,所以SABP=126=36.5.(2015浙江高考)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則BCF與ACF的面積之比是()A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1【解析】選A.=.二、填空題(每小題5分,共15分)6.設(shè)拋物線y2=mx的準(zhǔn)線與直線x=1的距離為3,則拋物線的方程為.【解析】當(dāng)m0時(shí),準(zhǔn)線方程為x=-=-2,所以m=8,此時(shí)拋物線方程為y2=8x;當(dāng)m0)上,且一直角邊的方程是y=2x,斜邊長(zhǎng)是5,求此拋物線的方程.【解析】如圖,設(shè)直角三角形為AOB,直角頂點(diǎn)為O,AO邊的方程為y=2x,則OB邊的方程為y=-x.由得A點(diǎn)坐標(biāo)為.由得B點(diǎn)坐標(biāo)為(8p,-4p).因?yàn)閨AB|=5,所以=5.因?yàn)閜0,解得p=,所以所求拋物線方程為y2=x.10.(2016淮安高二檢測(cè))如圖,已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),直線AF,BF分別與拋物線交于點(diǎn)M,N.(1)求y1y2的值.(2)記直線MN的斜率為k1,直線AB的斜率為k2,證明:k1k2為定值.【解題指南】(1)設(shè)出直線AB的方程,把直線方程代入拋物線方程中整理化簡(jiǎn),然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求.(2)表示出斜率,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)可求得定值.【解析】(1)依題意,設(shè)AB的方程為x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,從而y1y2=-8.(2)設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),=,設(shè)直線AM的方程為x=ny+1,代入y2=4x消去x得:y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,=,由(1)y1y2=-8,所以=2為定值.一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2016成都高二檢測(cè))設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A,B,C為拋物線上不同的三點(diǎn),點(diǎn)F是ABC的重心,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OFA,OFB,OFC的面積分別為S1,S2,S3,則S12+S22+S32=()A.9B.6C.3D.2【解析】選C.設(shè)A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),所以S1=|y1|,S2=|y2|,S3=|y3|,所以+=(+)=x1+x2+x3,因?yàn)辄c(diǎn)F是ABC的重心,所以x1+x2+x3=3,所以+=3.2.拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是()A.43B.75C.85D.3【解析】選A.設(shè)拋物線y=-x2上一點(diǎn)為(m,-m2),該點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的距離為,當(dāng)m=時(shí),取得最小值為.【一題多解】選A.設(shè)與4x+3y-8=0平行的直線l的方程為4x+3y+m=0,由消去y得,3x2-4x-m=0,由=0得,16+12m=0,解得m=-.所以l的方程為4x+3y-=0.因此拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是d=.二、填空題(每小題5分,共10分)3.已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是M,點(diǎn)A(4,6),則|PA|+|PM|的最小值是.【解題指南】將P到y(tǒng)軸的距離,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離,當(dāng)A,P,F共線時(shí),|PA|+|PM|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以F(1,0),如圖,|PM|=|PF|-=|PF|-1,所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1|AF|-1=-1=3-1.答案:3-14.(2016南昌高二檢測(cè))已知點(diǎn)A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則|FM|MN|=.【解析】因?yàn)閽佄锞€C:x2=4y的焦點(diǎn)為F(0,1),點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0),所以拋物線的準(zhǔn)線方程為l:y=-1,直線AF的斜率為k=-.過(guò)M作MPl于P,根據(jù)拋物線的定義得|FM|=|PM|.因?yàn)镽tMPN中,tanMNP=-k=,所以=,可得|PN|=2|PM|,得|MN|=|PM|.所以=,可得|FM|MN|=|PM|MN|=1.答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2016長(zhǎng)春高二檢測(cè))點(diǎn)M(m,4)(m0)為拋物線x2=2py(p0)上一點(diǎn),F為其焦點(diǎn),已知|FM|=5.(1)求m與p的值.(2)以M點(diǎn)為切點(diǎn)作拋物線的切線,交y軸于點(diǎn)N,求FMN的面積.【解析】(1)由拋物線定義知,|FM|=+4=5,所以p=2.所以拋物線的方徎為x2=4y,又由M(m,4)在拋物線上,所以m=4.故p=2,m=4.(2)設(shè)過(guò)M點(diǎn)的切線方程為y-4=k(x-4),代入拋物線方程消去y得,x2-4kx+16k-16=0,其判別式=16k2-64(k-1)=0,所以k=2,切線方程為y=2x-4,切線與y軸的交點(diǎn)為N(0,-4),拋物線的焦點(diǎn)F(0,1),所以SFMN=|FN|m=54=10.6.(2016福州高二檢測(cè))如圖,拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A.點(diǎn)C在拋物線E上,以C為圓心,|CO|為半徑作圓,設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M,N.(1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2,求|MN|.(2)若|AF|2=|AM|AN|,求圓C的半徑.【解析】(1)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線l的方程為x=-1.由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2,得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d=2,又|CO|=.所以|MN|=2=2=2.(2)設(shè)Cy024,y0,則圓C