高數(shù)中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.ppt

第四章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,一、微分中值定理 二、洛必達(dá)法則 三、函數(shù)的單調(diào)性 四、函數(shù)的極值 五、函數(shù)的最值,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)函數(shù) 滿足下列條件,(3),(1) 在閉區(qū)間 上連續(xù)；,(2) 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo);,a,b,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、微分中值定理,1、羅爾中值定理：,羅爾中值定理的幾何意義:,在連接高度相同的兩點 A、B的一段連續(xù)曲線上，如果每一點都有不垂直于 x 軸的切線， 則曲線上至少有一點 的切線 平行于弦AB x 軸，,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1) 在閉區(qū)間 上連續(xù)；,(2) 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)；,如果函數(shù) 滿足下列條件,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則在開區(qū)間 內(nèi)至少 存在一點 ，使得,2、拉格朗日中值定理:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,拉格朗日中值定理的幾何意義:,在連接A、B兩點的一段連續(xù)曲線上， 如果每一點都有不垂直于 x 軸的切線， 則曲線上至少有一點 的切線 平行于弦AB ，,拉格朗日公式,注2: 上述定理的幾個條件是充分而非必要的， 但缺少其中任何一個條件， 定理的結(jié)論將不一定成立.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2、不用求出函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，,說明,解：因,上均滿足羅爾定理的條件，,因此在,上分別存在點,使得,即至少有,為,的根.,又,為三次多項式，至多有三個根，,有幾個根，并指出各根所在的區(qū)間,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3、證明,證：設(shè),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習(xí)、證明,證：設(shè),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,如果在某極限過程下,函數(shù) f ( x)與g(x) 同時 趨于零或同時趨于無窮大，則 可能存在 也可能不存在,通常把這類極限稱為不定式， 并分別簡記為 常用洛必達(dá)法則來求解.,二、 洛必達(dá)法則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1、 型不定式,定理、如果函數(shù) 滿足：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2、 型不定式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理、如果函數(shù) 滿足：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解：,注：如果反復(fù)使用洛必達(dá)法則也無法確定,則洛必達(dá)法則失效，需用別的方法求極限.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習(xí)題：,3、其它類型不定式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,型或者 型,型：,變?yōu)?例4、求,解：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,型:,通分相減變?yōu)?型,例5、求,（ 型）,解：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,通常用取對數(shù)的方法或利用,化為 型不定式，再化為 型或 型求解。,例6、 求,解:,所以,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7、求,解：設(shè),所以,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例8、求,所以,解法一：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解法二：,1、定理1：設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)， 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，則,若在(a,b)內(nèi) 則 f (x)在區(qū)間a,b內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少）,三、函數(shù)的單調(diào)性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2、單調(diào)區(qū)間求法,(2)求 不存在的點， 以這些點為分界點，將定義域分成若干區(qū)間，,(1)確定函數(shù)的定義域（有時是給定的區(qū)間）,(3)在各區(qū)間上判斷 的符號，確定單調(diào)性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1、確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.,解：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解：函數(shù)的定義域為,當(dāng) 時 不存在，且不存在使 的點,用 將定義域分成兩個區(qū)間，討論如下：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,四、函數(shù)的極值,函數(shù)的極大值極小值統(tǒng)稱為極值， 極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注2：極大值點與極小值點一般不唯一。 如下圖中A、C、E都是極大值點， B、 D都是極小值點。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注1：極值是局部性的，并非在整個區(qū)間上最大最小,注3：極大值未必大于 極小值，如左圖A、D,2、定理1（極值第一判別法）：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且,3、求極值的步驟：,(1)求函數(shù)的定義域(有時是給定的區(qū)間);,(3)以這些點為分界點，將定義域分成若干區(qū)間， 討論各個區(qū)間分界點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號以判別,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2)求 不存在的點，,例1、求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值.,解：函數(shù)的定義域為,用這三個點將定義域分成四個部分區(qū)間，討論如下,極大值,極小值,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,由于,定理2(極值第二判別法)設(shè)函數(shù) 在點 具有,二階導(dǎo)數(shù)，且 ，,例2、求函數(shù) 的極值.,解：函數(shù)的定義域為,所以 為極大