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文檔簡介
1.1.4投影與直觀圖,一、投影法 物體在光線的照射下,就會在地面或墻壁上產(chǎn)生影子。人們將這種自然現(xiàn)象加以科學(xué)的抽象,總結(jié)其中的規(guī)律,提出了投影的方法。,太陽光線可以把一個(gè)矩形的窗框投射到地板上,影子是平行四邊形,在影子中,框邊的長度以及框邊之間的夾角有所改變,但框邊的平行性沒有改變。,在立體幾何中,一般都是根據(jù)平行投影的性質(zhì),用平面圖形來表示空間圖形。,二、投影法分類,1.中心投影法 投影線均通過投影中心的投影法稱為中心投影法。其投影的大小隨物體與投影中心間距離的變化而變化,所以其投影不能反映物體的實(shí)形。,2.平行投影法 投影線相互平行的投影法稱為平行投影法。其中,投影線傾斜于投影面叫平行斜投影法;投影線垂直于投影面叫平行正投影法簡稱正投影法,平行斜投影,平行正投影,應(yīng)用正投影法,能在投影面上反映物體某些面的真實(shí)形狀及大小,且與物體到投影面的距離無關(guān),因而作圖方便,故在工程中得到廣泛的應(yīng)用。工程圖樣就是用正投影法繪制的。,(1) 點(diǎn)的平行投影:已知圖形F,直線l與平面相交,過F上任一點(diǎn)M作直線l平行于l,交平面于點(diǎn)M,則M叫做點(diǎn)M在平面內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影.,(2)圖形的平行投影:如果圖形F上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形F,則F叫做圖形F在內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影,平面叫做投射面,l叫做投射線。,三. 平行投影的性質(zhì):,當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí),平行投影都具有以下性質(zhì): 1直線或線段的平行投影仍是直線或線段; 2. 平行直線的平行投影是平行或重合的直線; 3平行于投射面的線段,它的投影與這條線段平行且等長;,4與投射面平行的平面圖形,它的投影與這個(gè)圖形全等; 5在同一直線或平行直線上,兩條線段平行投影長度的比等于這兩條線段長度的比。,當(dāng)投射線和投射面成適當(dāng)?shù)慕嵌然蚋淖儓D形相對于投射面的位置時(shí),一個(gè)空間圖形在投射面上的平行投影(平面圖形)可以形象地表示這個(gè)空間圖形。像這樣用來表示空間圖形的平面圖形,叫做空間圖形的直觀圖。,依據(jù)平行投影的性質(zhì)畫直觀圖的方法,國家規(guī)定了統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn),一種較為簡單的畫圖標(biāo)準(zhǔn)是斜二側(cè)畫法。,先觀察一個(gè)正方形,如何把它畫成水平放置的直觀圖呢?我們用一個(gè)平行四邊形來表示它。那么這個(gè)平行四邊形有什么要求呢?,四. 斜二測畫法:,斜二測畫法是國家規(guī)定的統(tǒng)一的畫直觀圖的一種方法,它的規(guī)則是:,(1)在已知圖形所在的空間中取水平平面,作互相垂直的軸Ox,Oy,再作Oz軸,使xOz=90,且yOz=90.,(2)畫直觀圖時(shí),把Ox、Oy、Oz畫成對應(yīng)的軸Ox、Oy、Oz,使xOy=45(或135),xOz=90,xOy所確定的平面表示水平平面;,(3)已知圖形中,平行于x軸、y軸或z軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x軸、y軸或z軸的線段. 并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系,與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同;,(4)已知圖形中平行于x軸和z軸的線段,在直觀圖中保持長度不變,平行于y軸的線段,長度為原來長度的一半;,(5)畫圖完成后,擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸,就得到了空間圖形的直觀圖,所以,畫圖的關(guān)鍵是正確地畫出水平放置的圖形。,例、用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖,(1)在六邊形ABCDEF中,取AD所在的直線為x軸,對稱軸MN所在直線為y軸,兩軸交于點(diǎn)O畫對應(yīng)的x,y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,使xOy=45.,在畫出了水平放置的正六邊形的直觀圖后,按照斜二側(cè)畫法不難畫出六棱柱和六棱錐的直觀圖。,例2.畫水平放置的正三角形的直觀圖。,練習(xí)題:,1. 當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí),關(guān)于平行投影的性質(zhì),下列說法中不正確的是( ) (A)直線或線段的平行投影仍是直線或線段 (B)平行直線的平行投影仍是平行的直線 (C)與投射面平行的平面圖形,它的投影與這個(gè)圖形全等 (D)在同一直線或平行直線上,兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比,B,2. 直線的平行投影可能是( ) (A)點(diǎn) (B)線段 (C)射線 (D)曲線,A,3. 如圖為水平放置的OAB的直觀圖,由圖判斷原三角形中AB、OB、OD、BD由小到大的順序?yàn)?.,ODBDAB=OB,4. 兩條不平行的
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