高中數(shù)學第二章數(shù)列2.3等差數(shù)列的前n項和（第1課時）學案新人教A版.docx

2.3等差數(shù)列的前n項和(第1課時)學習目標掌握等差數(shù)列前n項和的公式,并能運用公式解決簡單的問題.了解等差數(shù)列前n項和的定義,了解倒序相加的原理,理解等差數(shù)列前n項和公式推導的過程,記憶公式的兩種形式;用方程思想認識等差數(shù)列前n項和的公式,利用公式求Sn,a1,d,n;等差數(shù)列通項公式與前n項和的公式共涉及五個量,已知其中三個量可求另兩個量;會利用等差數(shù)列通項公式與前n項和的公式研究Sn的最值.合作學習一、設計問題,創(chuàng)設情境1.一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放100支.這個V形架上共放著多少支鉛筆?問題就是這是小學時就知道的一個故事,高斯的算法非常高明,回憶他是怎樣算的.這實際上是一個求等差數(shù)列前100項和的問題,高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組,第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組,第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組,第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組,每組數(shù)的和均相等,都等于101,50個101就等于5050.高斯算法將加法運算轉化為乘法運算,迅速準確的得到了結果.我們要求一般的等差數(shù)列的前幾項和,高斯算法對我們有何啟發(fā)?二、信息交流,揭示規(guī)律2.公式推導設等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,Sn=a1+a2+a3+an=?,由學生討論,研究高斯算法對一般等差數(shù)列求和的指導意義.思路一:運用基本量思想,將各項用a1和d表示,得Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+,有以下等式a1+=(a1+d)+=(a1+2d)+=,問題是一共有多少個,似乎與n的奇偶有關.這個思路似乎進行不下去了.思路二:上面的等式其實就是a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,為回避個數(shù)問題,做一個改寫Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1,兩式左右分別相加,得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1),2Sn=n(a1+an)于是有.這就是倒序相加法.思路三:受思路二的啟發(fā),重新調(diào)整思路一,可得2Sn=n,于是Sn=na1+d.綜合思路二和思路三得到了兩個公式:和.三、運用規(guī)律,解決問題3.求和:(1)101+100+99+98+97+64;(2)2+4+6+8+2n(結果用n表示).4.等差數(shù)列2,4,6,中前多少項的和是9900?5.2000年11月14日教育部下發(fā)了關于在中小學實施“校校通”工程的通知.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標:從2001年起用10年時間,在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng).據(jù)測算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順利實施,計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?四、變式訓練,深化提高6.等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S3=6,a4=8,求公差d.7.設Sn為等差數(shù)列an的前n項和,若滿足an=an-1+2(n2),且S3=9,求首項a1.五、反思小結,觀點提煉參考答案一、設計問題,創(chuàng)設情境1.“1+2+3+4+100=?”二、信息交流,揭示規(guī)律2.a1+Sn=Sn=Sn=na1+d三、運用規(guī)律,解決問題3.解:(1)101,100,99,98,97,64可以看做是一個首項為101,公差為-1的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的通項公式,可得64=101+(n-1)(-1),解得n=38,于是Sn=3135.另外也可用公式Sn=na1+d來求解,Sn=38101+(-1)=3135.(2)2+4+6+8+2n可以看做是等差數(shù)列2n的前n項和,則Sn=n2+n,另外可運用公式Sn=na1+d來求解.4.解:由題知,等差數(shù)列首項a1=2,公差d=2,由Sn=na1+d,得2n+2=9900,即n2+n-9900=0,解得n=-100(舍去),或n=99,所以等差數(shù)列2,4,6,中的前99項的和是9900.5.解:根據(jù)題意,從20012010年,該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費都比上一年增加50萬元.所以,可以建立一個等差數(shù)列an,表示從2001年起各年投入的資金,其中a1=500,d=50.那么,到2010年(n=10),投入的資金總額為S10=10500+50=7250(萬元)答:從20012010年,該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.四、變式訓練,深化提高6.解:等差數(shù)列an的前n項和為Sn,S3=6,即a1+a2+a3=6a2=