數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程ch.ppt

,數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程 第十章,主講教師：程維虎教授,北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,什么是“隨機(jī)過程”？,確定性過程：事物的變化過程可以用一個時間t的確定函數(shù)來描述。比如：物體的自由落體過程。 不確定過程：沒有確定的變化規(guī)律，即這類事物的變化過程不能用一個時間t的確定性函數(shù)來描述。 如果對該事物的變化全過程進(jìn)行一次觀測，可得到一個時間t的函數(shù)，但是若對該事物的變化過程重復(fù)的獨(dú)立的進(jìn)行多次觀測，則每次得到的結(jié)果是不同的。 從另一個角度來看，如果固定某一個觀測時刻t，事物在時刻t出現(xiàn)的狀態(tài)是隨機(jī)的。,例1電話問題：我們用X(t)表示在時刻t前電話局接到的呼喚次數(shù)。如果固定時間t，則X(t)是一個隨機(jī)變量；但是t是可變參數(shù)，是一個連續(xù)變量，所以X(t)是一個過程。因此，這個問題所涉及的不僅是一個隨機(jī)變量的問題，它是隨機(jī)的，又是一個過程。,例2液面上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動：我觀測液面上一個做布朗運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)A,若用X(t),Y(t)表示在時刻t該質(zhì)點(diǎn)在液面上的坐標(biāo)位置。當(dāng)t固定時， X(t),Y(t) 是一對二維隨機(jī)變量。而t是一個連續(xù)變量，因此X(t),Y(t)又是一個過程。,例3 熱噪聲電壓: 電子元件或器件由于內(nèi)部微觀粒子(如電子)的隨機(jī)運(yùn)動所引起的端電壓稱為熱噪聲電壓,它在任一確定時刻 t 的值都是一隨機(jī)變量, 記為V(t)。不同時刻對應(yīng)不同的隨機(jī)變量。當(dāng)時間在某個區(qū)間, 如0, )上變化時，熱噪聲電壓表現(xiàn)為一族隨機(jī)變量,記為 V(t), t0。,在無線電通訊技術(shù)中，接收機(jī)在接收信號時，機(jī)內(nèi)的熱噪聲電壓要對信號產(chǎn)生持續(xù)的干擾，為消除這種干擾，就必須掌握熱噪聲電壓隨時間變化的過程。為此，我們通過某種裝置對元件(或器件)兩端的熱噪聲電壓進(jìn)行長時間的測量，并把結(jié)果自動記錄下來。,作一次試驗(yàn)( 測量一此長時間內(nèi)的熱噪聲電壓)，得到一個電壓時間函數(shù)v1(t) , t 0 (如圖10-1)。這個電壓時間函數(shù)在試驗(yàn)前是不可能預(yù)先確知的，只有通過測量才能得到。,圖10-1,如果在相同條件下獨(dú)立地再進(jìn)行一次測量，得到的記錄可能是不同的。,事實(shí)上，在相同條件下每次測量都將產(chǎn)生不同的電壓時間函數(shù)。這樣，不斷獨(dú)立地一次次重復(fù)測量，就得到一族不同的電壓時間函數(shù)，這族函數(shù)從另一角度規(guī)劃了熱噪聲電壓。,圖10-1,隨機(jī)過程：依賴于一個變動參量的一族隨機(jī)變量。 設(shè) T 是一個無限實(shí)數(shù)集。我們把依賴于參數(shù) t T 的一族 (無限多個) 隨機(jī)變量收集在一起，稱為隨機(jī)過程，記成 X(t), t T 。 這里，對每一個t T，X(t) 都是一個隨機(jī)變量。 T 稱為參數(shù)集。常把 t 看作為時間，稱 X(t) 為 t 時刻 過程的狀態(tài)，稱 X(t1)x (實(shí)數(shù)) 為t t1 時過程處于狀態(tài) x。 對于一切 t , X(t) 所有可能取得一切值的全體稱為隨機(jī)過程的狀態(tài)空間。,對隨機(jī)過程 X(t)，t T 進(jìn)行一次試驗(yàn) (即在 T上進(jìn)行一次全程觀測)，其結(jié)果是 t 的函數(shù)，記為x(t)， tT， 稱它為隨機(jī)過程的一個樣本函數(shù)或樣本曲線。 所有不同的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成一族 (可以只包括有限個，如本節(jié)例1) 樣本函數(shù)。 隨機(jī)過程可以看作是多維隨機(jī)變量的延伸。隨機(jī)過程與其樣本函數(shù)的關(guān)系就像數(shù)理統(tǒng)計(jì)中總體與樣本的關(guān)系一樣。 依照上面的說法，熱噪聲電壓的變化過程(t)， t是一隨機(jī)過程，它的狀態(tài)空間是(-, +)，一次觀測到的電壓時間函數(shù)就是這個隨機(jī)過程的一個樣本函數(shù)。,在以后的敘述中，為簡便起見：常以 X(t)，t 表示隨機(jī)過程。在上下文不致混淆的情形下，一般略去記號中的參數(shù)集 T。,例1 拋一枚硬幣試驗(yàn)，樣本空間是 S=H,T，定義,其中 P(H) = P(T)=1/2。對任意固定的 t, X(t)是一定義在S上的隨機(jī)變量；對不同的 t， X(t)是不同的隨機(jī)變量(見圖10-2)，所以 X(t)， t (-, +) 是一族隨機(jī)變量，即是隨機(jī)過程。,作一次試驗(yàn)，若出現(xiàn)H，樣本函數(shù) x1(t) = cos t；若出現(xiàn)T，樣本函數(shù) x2(t)=t。故，隨機(jī)過程對應(yīng)的一族樣本函數(shù)僅包含兩個函數(shù): cos t, t 。顯然，這個隨機(jī)過程的狀態(tài)空間為(-, +)。,圖10-2,例2 考慮 式中 , 是正常數(shù)，是在(0,2 )上服從均勻分布的隨機(jī)變量。 顯然，對任一固定的時刻 t1, X(t1) = cos( t1+ )是一個隨機(jī)變量。因而，由(1.1)式確定的 X(t)是一隨機(jī)過程，通常稱它為隨機(jī)相位正弦波。其狀態(tài)空間是-, 。在(0, 2)內(nèi)隨機(jī)地取一數(shù) i , 相應(yīng)的樣本函數(shù)是 圖10-3中畫出了這個隨機(jī)過程的兩條樣本曲線。,圖10-3,例3 在測量運(yùn)動目標(biāo)的距離時，存在隨機(jī)誤差。若以 (t)表示在時刻 t 的測量誤差，則它是一個隨機(jī)變量。當(dāng)目標(biāo)隨時間 t 按一定規(guī)律運(yùn)動時，測量誤差 (t) 也隨時間 t 而變化。換句話說, (t)是依賴于 t 的一族隨機(jī)變量，亦即 (t), t0是一隨機(jī)過程，狀態(tài)空間是(-, +)。,例4 設(shè)某市120急救電話臺不斷地接到用戶的呼叫，若以X(t)表示時間間隔 (0, t內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則它是一個隨機(jī)變量，且對不同的 t0, X(t)可能是不同的隨機(jī)變量。故，X(t), t 是一隨機(jī)過程，狀態(tài)空間是0, 1, 2, 。 例5 考慮擲一顆骰子試驗(yàn)。 (1). 設(shè)Xn是第 n 次(n1)擲的點(diǎn)數(shù)，對于n=1, 2, 的 不同值, Xn是不同的隨機(jī)變量，因而Xn, n1 構(gòu)成一隨機(jī)過程, 稱為伯努力過程, 或伯努力隨 機(jī)序列。狀態(tài)空間都是1, 2, 3, 4, 5, 6。 (2). 設(shè)Xn是前n次擲出的最大點(diǎn)數(shù)，則Xn, n 1也 是一隨機(jī)過程。狀態(tài)空間是1, 2, 3, 4, 5, 6。,隨機(jī)過程可依其在任意時刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機(jī)變量或離散型隨機(jī)變量而分成連續(xù)型隨機(jī)過程或離散型隨機(jī)過程。 熱噪聲電壓、例2和例3是連續(xù)型隨機(jī)過程，例1,例4和例5是離散型隨機(jī)過程。 隨機(jī)過程還可依時間(參數(shù))是連續(xù)或離散進(jìn)行分類。當(dāng)時間集T是有限或無限區(qū)間時，稱X(t), t T為連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過程 (以下如無特別指明，隨機(jī)過程總是指連續(xù)參數(shù)而言的)；如果T是離散集合，例如T= 0, 1, 2, ，則稱X(t), tT為離散參數(shù)隨機(jī)過程或隨機(jī)序列，此時常記成 Xn, n =0,1,2, 等，如例5。,有時，為了適應(yīng)數(shù)字化的需要，實(shí)際中也常將連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過程轉(zhuǎn)化為隨機(jī)序列處理。例如,我們只在時間集T=t, 2t, , nt, 上觀察電阻的熱噪聲電壓(t)，這時就得到一個隨機(jī)序列V1, V2, ,Vn, ，其中Vn=V(nt)。 顯然，當(dāng)t充分小時，這個隨機(jī)序列能夠近似地描述連續(xù)時間情況下的熱噪聲電壓。 需注意的是：參數(shù) t 雖然通常解釋為時間，但它也可以表示其它的量。諸如：序號、距離等。如例5中，假定每隔一個單位時間擲一次骰子，則第n次擲出的點(diǎn)數(shù) Xn就相當(dāng)于 t=n時骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。,10.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述,隨機(jī)過程在任一時刻的狀態(tài)是隨機(jī)變量，由此可以利用隨機(jī)變量(一維或多維)的統(tǒng)計(jì)描述方法來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征。,10.2.1 隨機(jī)過程的分布函數(shù)族,給定隨機(jī)過程 X(t), t T ，對每個固定的 t T, 隨機(jī)變量 X(t)的分布函數(shù)一般與 t 有關(guān)，記為,稱其為隨機(jī)過程 X(t), t T 的一維分布函數(shù)，稱Fx(x, t), t T為一維分布函數(shù)族。,一維分布函數(shù)族刻畫了隨機(jī)過程在各個時刻的統(tǒng)計(jì)特征。為描述隨機(jī)過程在不同時刻狀態(tài)之間的相關(guān)關(guān)系，一般要對任意 n個(n=2, 3, ) 不同時刻 t1, t2, , tnT, 引入 n 維隨機(jī)變量 (X(t1), X(t2), , X(tn), 其聯(lián)合分布函數(shù)記為,對固定的n, 稱FX(x1, x2, , xn; t1, t2,tn), tiT為隨機(jī)過程X(t), t T的 n 維分布函數(shù)族。,當(dāng)n充分大時，n 維分布函數(shù)族能近似地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征。顯然，n 取得愈大，則n維分布函數(shù)族描述隨機(jī)過程的特征也愈趨于完善。一般地,可以指出(科爾莫戈羅夫定理): 有限維分布函數(shù)族，即FX(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn), n=1, 2, , tiT完全地確定了隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征。,上一節(jié)，我們曾將隨機(jī)過程按其狀態(tài)或時間的連續(xù)或離散進(jìn)行了分類。然而，隨機(jī)過程本質(zhì)的分類方法乃是按其分布特征進(jìn)行分類的。具體地說：就是依照過程在不同時刻的狀態(tài)之間的特殊統(tǒng)計(jì)依賴方式，抽象出一些不同類型的模型。如：獨(dú)立增量過程、馬爾可夫過程、平穩(wěn)過程等。我們將在以后的章節(jié)中對它們作不同程度的介紹。,10.2.2 隨機(jī)過程的數(shù)字特征,隨機(jī)過程的分布函數(shù)族能完善地刻畫隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征。但是，人們在實(shí)際中，根據(jù)觀察往往只能得到隨機(jī)過程的部分資料(樣本)，用它來確定有限維分布函數(shù)族是困難的，甚至是不可能的。因而，像引入隨機(jī)變量的數(shù)字特征那樣，有必要引入隨機(jī)過程的基本數(shù)字特征均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)等。這些數(shù)字特征在一定條件下是便于測量的。,給定隨機(jī)過程 X(t), t T，固定 t T, X(t)是一隨機(jī)變量，它的均值一般與 t 有關(guān)，記為,稱 X(t)為隨機(jī)過程X(t)，t T的均值函數(shù)。 注意, X(t)是隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)在時刻 t 的函數(shù)值的平均，通常稱這種平均為集平均或統(tǒng)計(jì)平均, 以區(qū)分第十二章中引入的時間平均概念。,均值函數(shù)X(t)表示了隨機(jī)過程 X(t)在各個時刻的擺動中心，如圖10-4所示。,其次，把隨機(jī)變量X(t)的二階原點(diǎn)矩和二階中心矩分別記作,并分別稱它們?yōu)殡S機(jī)過程X(t), t T的均方值函數(shù)和方差函數(shù)。方差函數(shù)的算術(shù)平方根 X(t)稱為隨機(jī)過程的標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)，它表示隨機(jī)過程X(t)在時刻 t 對于均值X(t)的平均偏離程度。見圖10-4。,又， 對任意 t1, t2T，把隨機(jī)變量X(t1)和X(t2)的二階原點(diǎn)混合矩記作,并稱它為隨機(jī)過程X(t)，t T的自相關(guān)函數(shù)，簡稱相關(guān)函數(shù)。記號RXX(t1,t2)在不致混淆時，常簡記成RX(t1,t2)。,類似地，將X(t1)和X(t2)的二階混合中心矩記成,并稱為隨機(jī)過程X(t), t T的自協(xié)方差函數(shù)，簡稱協(xié)方差函數(shù)。CXX(t1,t2)也常簡記為CX(t1,t2)。,由多維隨機(jī)變量數(shù)字特征的知識可知，自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是可劃隨機(jī)過程自身在兩個不同時刻的狀態(tài)之間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系的數(shù)字特征。 現(xiàn)把(2.1) (2.5)式定義的諸數(shù)字特征之間的關(guān)系簡述如下： 由(2.2)和(2.4)式知,由(2.5)式展開，得,特別地，當(dāng)t1=t2=t時，由(2.7)式，得,由(2.6) (2.8)式可知，以上諸數(shù)字特征中最主要的是均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 從理論的角度來看，僅僅研究均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)當(dāng)然是不能代替對整個隨機(jī)過程的研究的，但是由于它們確實(shí)刻畫了隨機(jī)過程的主要統(tǒng)計(jì)特征，而且遠(yuǎn)較有限維分布函數(shù)族易于觀察和實(shí)際計(jì)算，因而對于應(yīng)用課題而言, 它們常常能夠起到重要作用。據(jù)此,在隨機(jī)過程的專著中都著重研究了所謂二階矩過程。 隨機(jī)過程X(t)， t T，如果對于每一個t T，二階矩EX2(t)都存在，那么稱它為二階矩過程。,二階矩過程的相關(guān)函數(shù)總存在。事實(shí)上，由于EX2(t1), EX2(t2)存在，根據(jù)柯西施瓦茲不等式(參見第四章習(xí)題33)，有,即知：RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)存在。 在實(shí)際中，常遇到一種特殊的二階矩過程正態(tài)過程。隨機(jī)過程X(t), t T稱為正態(tài)過程，如果對任意 n1及任意 t1, t2, , tnT, (X(t1), X(t2), , X(tn)服從 n 維正態(tài)分布。由第四章3、4知，正態(tài)過程的全部統(tǒng)計(jì)特征完全由它的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)(或自相關(guān)函數(shù))所確定。,例1 設(shè)A, B是兩個隨機(jī)變量, 求隨機(jī)過程X(t)=At+B, t T=(-, +)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。如果A, B相互獨(dú)立，且 AN(0,1), BU(0,2)，問 X(t) 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)又是怎樣的？ 解 X(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別為,當(dāng)AN(0,1)時，EA=0，EA2=1；當(dāng)BU(0,2)時，EB=1，EB2=4/3；又因A、B獨(dú)立時，有 EAB=EAEB=0。故,例2 求10.1例2中隨機(jī)相位正弦波的均值函數(shù)、方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。,由定義，得,解 由假設(shè)，知的概率密度為,自相關(guān)函數(shù),特別地，令t1=t2=t, 即得方差函數(shù),其中 = t2-t1。,例3 設(shè) X(t) = Acos t + Bsin t, tT= =(-, +)，其中A, B相互獨(dú)立，且均是服從正態(tài)分布N(0, 2) 的隨機(jī)變量， 是實(shí)常數(shù)。證明: X(t)是正態(tài)過程，并求其均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 解 由題設(shè)，A, B是相互獨(dú)立的正態(tài)變量，所以(A, B)是二維正態(tài)變量。對任意一組實(shí)數(shù)t1, t2, , tnT, X(ti)=Acosti+Bsinti, i=1, 2, , n 都是A, B的線性組合。于是，根據(jù)第四章4, n維正態(tài)變量的性質(zhì)3。, (X(t1), X(t2), ,X(tn)是n維正態(tài)變量。因?yàn)閚, ti是任意的，由定義，X(t)是正態(tài)過程。,另由題設(shè)，有E(A)=E(B)=E(AB)=0, E(A2)=E(B2)=2. 由此，可算得X(t)的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)(或自相關(guān)函數(shù))分別為： X(t) = EAcost+Bsint=0, CX(t1,t2) = RX(t1,t2) = E(Acost1+Bsint1) (Acost2+Bsint2) = (cos t1 cos t2)E(A2)+(sin t1 sin t2)E(B2) + (cos t1 sin t2+ sin t1 cos t2)E(AB) = 2(cost1cost2+sint1sint2) = 2cos(t2-t1).,10.2.3 二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征,實(shí)際問題中，我們有時必須同時研究兩個或兩個以上隨機(jī)過程及它們之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。例如：某地在時段(0, t內(nèi)的最高溫度X(t)和最低溫度Y(t)都是隨機(jī)過程，需研究它們的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。又如：輸入到一個系統(tǒng)的信號和噪聲可都是隨機(jī)過程，這時，輸出也是隨機(jī)過程。我們需要研究輸出與輸入之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系等等。對于這類問題，我們除了對各個隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征加以研究外，還必須將幾個隨機(jī)過程作為整體研究其統(tǒng)計(jì)特征。,設(shè) X(t), tT 和Y(t), tT 是同一參數(shù)空間上的兩個不同的隨機(jī)過程，稱(X(t),Y(t), tT 是二維隨機(jī)過程。,設(shè) (X(t),Y(t), tT 是二維隨機(jī)過程，如果對任意正整數(shù)n, m，任意數(shù)組 t1, t2, tn T， t1, t2, , tm T，稱n+m 維隨機(jī)變量 (X(t1), X(t2), X(tn), Y(t1), Y(t2),Y(tm) 的分布函數(shù),F(x1, x2, xn; t1, t2, tn: y1, y2,ym ;t1, t2, , tm) 為隨機(jī)過程X(t)與Y(t)的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)。,如果對任意正整數(shù)n, m，任意數(shù)組 t1, t2, tn T; t1, t2, , tm T，n維隨機(jī)變量 (X(t1), X(t2), X(tn) 與 m維隨機(jī)變量(Y(t1), Y(t2),Y(tm)相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)過程X(t)和 Y(t)是相互獨(dú)立的。,關(guān)于數(shù)字特征，除X(t), Y(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)外，在應(yīng)用課題中感興趣的是X(t)和Y(t)的二階混合原點(diǎn)矩，記作 并稱它為X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)。 類似地，還有如下定義的X(t)和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù) 如果對任意的 t1, t2T，恒有 則稱隨機(jī)過程X(t)和Y(t)是不相關(guān)的。,由第四章3可推知，兩個隨機(jī)過程如果是相互獨(dú)立的, 且它們的二階矩存在, 則它們必然不相關(guān)。反之, 從不相關(guān)一般并不能推斷出它們相互獨(dú)立。,當(dāng)同時考慮 n(n2)個隨機(jī)過程或 n維隨機(jī)過程時, 我們可類似地引入它們的多維分布，以及均值函數(shù)和兩兩之間的互相關(guān)函數(shù) (或互協(xié)方差函數(shù))。,在許多應(yīng)用問題中，經(jīng)常要研究幾個隨機(jī)過程之和 (例如，將信號和噪聲同時輸入到一個線性系統(tǒng)的情形) 的統(tǒng)計(jì)特征?，F(xiàn)考慮三個隨機(jī)過程 X(t), Y(t)和Z(t)之和的情形，令 W(t)=X(t)+Y(t)+Z(t). 顯然，均值函數(shù) 而W(t)的自相關(guān)函數(shù)可以根據(jù)均值運(yùn)算規(guī)則和相關(guān)函數(shù)的定義得到，,此式表明：幾個隨機(jī)過程之和的自相關(guān)函數(shù)可以表示為各個隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)以及各對隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)之和。 如果上述三個隨機(jī)過程是兩兩不相關(guān)的，且各自的均值函數(shù)都為零，則由(2.11)是可知諸互相關(guān)函數(shù)均等于零，此時W(t)的自相關(guān)函數(shù)簡單地等于各個過程的自相關(guān)函數(shù)之和，即 特別地，令t1=t2=t, 由(2.12)式，得W(t)的方差函數(shù)(此處即均方值函數(shù))為,10.3 泊松過程及維納過程,泊松 (Poission) 過程及維納 (Wiener) 過程是兩個典型的隨機(jī)過程，在隨機(jī)過程理論和應(yīng)用中都占重要地位，都屬于獨(dú)立增量過程。下面首先介紹獨(dú)立增量過程。 給定二階矩過程X(t), t 0, 稱X(t)-X(s), 0st為隨機(jī)過程在區(qū)間(s, t上的增量。如果對任意正整數(shù)n 和任意 0t0 t1 t2 tn, n個增量 X(t1)-X(t0), X(t2)-X(t1), , X(tn)-X(tn-1) 相互獨(dú)立，則稱X(t), t 0為獨(dú)立增量過程。,直觀地說： 就是在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增量相互獨(dú)立。,對于獨(dú)立增量過程，可以證明：在 X(0)=0 的條件下, 過程的有限維分布函數(shù)族可以由增量 X(t)-X(s) (0st)的分布所確定。 特別地，若對任意的實(shí)數(shù) h 和 0 s+ h t+ h, X(t + h)-X(s + h) 與 X(t)-X(s) 具有相同的分布，則稱增量具有平穩(wěn)性。這時，增量 X(t)-X(s) 的分布函數(shù)實(shí)際上只依賴于時間差 t - s (0st)，而不依賴于t和 s 本身 (事實(shí)上，令h=-s即知)。 當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時，稱相應(yīng)的獨(dú)立增量過程是齊次的或時齊的。,在 X(0)=0 和方差函數(shù) DX(t) 已知條件下，可計(jì)算獨(dú)立增量過程X(t), t 0的協(xié)方差函數(shù)CX(s, t)。 記 Y(t)= X(t)-X(t)。首先注意到：當(dāng) X(t) 具有獨(dú)立增量時, Y(t)也具有獨(dú)立增量; 其次注意到: Y(0)=0, EY(t)=0，且方差函數(shù) DY(t)= EY2(t)= DX(t)。利用這些性質(zhì)，當(dāng) 0st 時，就有,故，對任意s, t0，協(xié)方差函數(shù)可用方差函數(shù)表示。,10.3.1 泊松過程,考慮下列隨時間推移遲早會重復(fù)出現(xiàn)的事件： (1). 自電子管陰極發(fā)射的電子到達(dá)陽極； (2). 意外事故或意外差錯的發(fā)生； (3). 要求服務(wù)的顧客到達(dá)服務(wù)站。 此處“顧客”與“服務(wù)站”的含義是相當(dāng)廣泛的。如: “顧客”可以是電話的呼叫， “服務(wù)站”是120急救臺； “顧客”可以是聯(lián)網(wǎng)的個人電腦， “服務(wù)站”是某網(wǎng)站的主頁; “顧客”可以是等待起飛的飛機(jī)， “服務(wù)站”是機(jī)場跑道等。,為建立一般模型，我們把電子、顧客等看作時間軸上的質(zhì)點(diǎn)，電子到達(dá)陽極、顧客到達(dá)服務(wù)站等事件的發(fā)生相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)。于是，抽象地說，我們研究的對象將是隨時間推移，陸續(xù)出現(xiàn)在時間軸上的許多質(zhì)點(diǎn)所構(gòu)成的隨機(jī)的質(zhì)點(diǎn)流。 以N(t), t 0表示在時間間隔(0, t內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)。N(t), t 0是一狀態(tài)取非負(fù)整數(shù)、時間連續(xù)的隨機(jī)過程，稱為計(jì)數(shù)過程。,計(jì)數(shù)過程的樣本函數(shù)如圖10-5所示，圖中t1, t2, 是質(zhì)點(diǎn)依次出現(xiàn)的時刻。,圖10-5,將增量 N(t)-N(t0) 記成 N(t0, t), 0 t0 t, 它表示時間間隔(t0, t內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)。“在(t0, t內(nèi)出現(xiàn) k 個質(zhì)點(diǎn)”，即N(t0, t) = k是一事件，其概率記為 Pk(t0, t)=PN(t0, t)=k, k=0, 1, 2, . （3.2),現(xiàn)假設(shè) N(t) 滿足如下條件： (1). 在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性； (2). 對于充分小的t, 其中常數(shù) 0 稱為過程 N(t) 的強(qiáng)度，而 當(dāng) 時是關(guān)于t的高階無窮小； (3). 對于充分小的t, (4). N(0)=0。,我們把滿足條件(1) (4)的計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t), t 0稱作強(qiáng)度為 的泊松過程。相應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)流，即質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的隨機(jī)時刻 t1, t2, 稱作強(qiáng)度為 的泊松流。 以下首先來求增量的分布律 (3.2)。對于泊松過程，注意到 =1，結(jié)合條件(2)和(3)，有,下面就泊松過程來計(jì)算概率(3.2)。 首先確定P0(t0, t)。為此，對t 0，考慮,由條件(1)和(3.5)式，上式可寫成,用t 除上式兩邊，并令 ，即得P0(t0, t)滿足的微分方程,因?yàn)镹(t0, t0)=0，故P0(t0, t0)=1。把它看作初始條件即可從方程 (3.6) 解得,再來計(jì)算Pk(t0, t), k1。根據(jù)并事件概率公式和條件(1)，有,由(3.2) (3.5)式，并注意到,上式可表示成,將此式適當(dāng)整理后，兩邊除以t，并令 ，可得到 Pk(t0, t) 滿足的微分-差分方程,又因 N(t0, t0) = 0，故有初始條件,在(3.8)與(3.9)中令k=1, 利用求出的P0(t0, t), 可解出,如此重復(fù)，即逐次令 k=2, 3, ，就得到(t0, t 時間段內(nèi)出現(xiàn) k 個質(zhì)點(diǎn)的概率為,由上式易見：增量 N(t0, t) = N(t) - N(t0)的概率分布是參數(shù)為 (t-t0) 的泊松分布, 且只與時間差 t-t0 有關(guān)。所以，強(qiáng)度為 的泊松分布是一齊次的獨(dú)立增量過程。,在一些文獻(xiàn)中，泊松過程也用另一種形式定義。 若計(jì)數(shù)過程 N(t), t 0 滿足下列三個條件： .過程是獨(dú)立增量過程； .對任意 t t00，N(t)-N(t0) 服從參數(shù)為 (t -t0) 的 泊松分布; . N(0)=0, 則稱N(t), t 0是強(qiáng)度為 的泊松過程。 從前面的推導(dǎo)不難看到：從條件(1)(4)可推出。反之, 在中令 t-t0= t，并利用e- t的泰勒展開式，就能得到條件(2)、(3)。由此可知：定義泊松過程的兩組條件是等價的。,由(3.10)式， t t00，可知,特別地，令t0=0，由于假設(shè)N(0)=0，可推出泊松過程的均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為,從(3.11)可看到: =EN(t)/t，即泊松過程的強(qiáng)度 (常數(shù))等于單位時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)的期望值。,泊松過程的協(xié)方差函數(shù)，則可由(3.1), (3.11)式直接推得：,相關(guān)函數(shù),若條件(3.3)式中的強(qiáng)度為非均勻的，即 是時間 t 的函數(shù) = (t), t0。則稱泊松過程為非齊次的。對于非齊次泊松過程，用類似的方法，可得,下面介紹與泊松過程有關(guān)的兩個隨機(jī)變量，即等待時間和點(diǎn)間間距，以及它們的概率分布。,在一些實(shí)際問題中，觀察質(zhì)點(diǎn)時，通常不是對時間間隔 (t1, t2 內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)數(shù), 而是對達(dá)到一定數(shù)量的質(zhì)點(diǎn)所需要的時間進(jìn)行計(jì)時。,例如：為研究含某放射性元素的物質(zhì)，常對它發(fā)射出來的粒子作如下計(jì)時試驗(yàn)。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)(或事件)依次重復(fù)出現(xiàn)的時刻 t1, t2, tn, 是一強(qiáng)度為 的泊松流，,N(t), t 0為相應(yīng)的泊松過程。,記 W0=0, Wn= tn, n=1, 2, 。 Wn是一隨機(jī)變量，表示第n個質(zhì)點(diǎn)(或事件第n次)出現(xiàn)的等待時間(見圖10-6)。,為求出Wn的分布函數(shù) 首先注意，事件 Wnt=N(t)n。,所以，,將上式關(guān)于 t 求導(dǎo)，得Wn的概率密度為,易見：泊松過程的等待時間Wn服從分布。特別地，質(zhì)點(diǎn)(或事件)首次出現(xiàn)的等待時間W1服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：,又記 它也是一連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為相繼出現(xiàn)的第 i-1個質(zhì)點(diǎn)和第 i 個質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)間間距(見圖10-6)。,圖10-6,下面求Ti 的分布。 由于T1=W1，所以T1服從指數(shù)分布(3.13)。對于i2，我們先求在第 i-1 個質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)在時刻 ti-1 (即ti-1= ti-1)的條件下， Ti 的條件分布函數(shù)：,由N(t)的定義,由增量的獨(dú)立性,由增量的平穩(wěn)性,從而知相應(yīng)的條件概率密度為,于是，隨機(jī)變量Ti, ti-1的聯(lián)合概率密度為,此處 為ti-1的概率密度。將此表達(dá)式關(guān)于ti-1積分，即得Ti (i=2, 3, )的概率密度,由(3.13)及(3.14)知，點(diǎn)間間距序列 Ti 服從同一指數(shù)分布。理論上還有:T1, T2, 是獨(dú)立的隨機(jī)變量。我們把這些結(jié)論寫成如下定理。 定理1 強(qiáng)度為 的泊松過程的點(diǎn)間間距是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且同服從指數(shù)分布(3.14)。 定理2 若任意相繼出現(xiàn)的兩個質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)間間距是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且同服從指數(shù)分布(3.14)，則質(zhì)點(diǎn)流構(gòu)成強(qiáng)度為 的泊松過程。,這兩個定理刻畫了泊松過程的特征，定理 2 告訴我們：為確定一個計(jì)數(shù)過程是不是泊松過程，只要用統(tǒng)