數(shù)學(xué)模型MathematicalModeling.ppt

數(shù) 學(xué) 模 型 Mathematical Modeling,任課老師：李銀飛 liyf_315163.com Tel693509),第一章 建立數(shù)學(xué)模型,開(kāi)設(shè)本課程的目的： 引起注意、激發(fā)興趣、介紹方法、培養(yǎng)能力,數(shù)學(xué)？,數(shù)學(xué)有沒(méi)有用？ 數(shù)學(xué)不是沒(méi)有用，而是不夠用 現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不能解決所有實(shí)際問(wèn)題 怎么用？ 解決實(shí)際問(wèn)題 數(shù)學(xué)模型 ,數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模,數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model） 是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對(duì)實(shí)際課題 本質(zhì)屬性的抽象而又簡(jiǎn)潔的刻劃，它或 能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。 數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling） 應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。,數(shù)學(xué)模型早就知,我們從小就接觸過(guò)數(shù)學(xué)模型： 應(yīng)用題 “甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)航速，水速若干？” 物體 “從平靜湖面的小船上仍一塊石頭至水中，湖面是上漲還是下降？” 數(shù)學(xué)競(jìng)賽 ,數(shù)學(xué)模型無(wú)所不在,日常生活 投資 決策 各行各業(yè) 經(jīng)濟(jì) 金融 專(zhuān)業(yè)研究領(lǐng)域 物理 計(jì)算機(jī)研究,例1. 手機(jī)電話卡的選擇,已知：全球通電話卡每分鐘0.4元，每月25元租金；神州行卡每分鐘0.6元，不用月租金 問(wèn)：選擇哪種卡比較省錢(qián)？,例2.打水問(wèn)題,每天晚上5:00 至 5:30 之間開(kāi)水房的擁塞想必讓每一個(gè)人都深有感觸吧，偏偏這種時(shí)候還有一些人喜歡一個(gè)人占好幾個(gè)龍頭，不得不讓人怒火中燒。對(duì)每個(gè)人來(lái)講，最好的辦法當(dāng)然是在不違反排隊(duì)順序的前提下盡可能早地接觸龍頭。事實(shí)上大家也基本上是這樣做的。在高峰時(shí)期霸占多個(gè)龍頭的人就算不遭到語(yǔ)言的譴責(zé)也會(huì)遭到目光的譴責(zé)。,假設(shè)現(xiàn)在有 2個(gè)水龍頭，10 個(gè)人來(lái)打水，每個(gè)人拎著兩個(gè)壺，每打一壺要 1分鐘，這是一種很常見(jiàn)的情況。 方法 A：經(jīng)驗(yàn)方法。這樣，當(dāng)有兩人等待時(shí)，兩個(gè)人各用一個(gè)龍頭，為將10個(gè)人打滿，總共的等待時(shí)間是： 2*(2+4+6+8+10)=60 分鐘 方法 B：每次分配水龍頭時(shí)都優(yōu)先滿足最前面的人。這樣，當(dāng)有兩人等待時(shí)，第一個(gè)人先用兩個(gè)龍頭，等他打完了第二個(gè)人再用。這種方法下總的等待時(shí)間是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 分鐘 結(jié)果后一個(gè)方法被證明是更有效率的。也就是說(shuō)，這個(gè)看起來(lái)有些自私的方案，這個(gè)常常被我們譴責(zé)的方案，事實(shí)上是一個(gè)更合理的方案。,例3.銀行問(wèn)題,去中國(guó)工商銀行存取錢(qián)對(duì)每個(gè)人來(lái)說(shuō)都決不是一次愉快的經(jīng)歷。我平均每次去取錢(qián)都至少要花上半個(gè)小時(shí)的時(shí)間，這促使我考慮是否有辦法在現(xiàn)有窗口的情況下提高整個(gè)系統(tǒng)的效率。 不同任務(wù)量的串行服務(wù)隊(duì)列,例4.萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn),開(kāi)普勒三大定律 行星軌道是一個(gè)橢圓，太陽(yáng)位于此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。 行星在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積不變。 行星運(yùn)行周期的平方正比于橢圓長(zhǎng)半軸的三次方，比例系數(shù)不隨行星而改變（絕對(duì)常數(shù)）。 牛頓根據(jù)開(kāi)普勒三定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導(dǎo)出萬(wàn)有引力定律。,Proof,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。 在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)資料的分析計(jì) 算， 找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡(jiǎn)化，提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。 在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 即建立數(shù)學(xué)模型。 模型求解。 模型的分析與檢驗(yàn)。,能力的培養(yǎng),能力上的 鍛煉 觀察能力、分析能力、歸納能力和數(shù)據(jù)處理能力 在盡可能短的時(shí)間內(nèi)查到并學(xué)會(huì)我想應(yīng)用的知識(shí)的本領(lǐng) Google 圖書(shū)館 創(chuàng)新的能力,Course Goals,讓同學(xué)們真正能 提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力 運(yùn)用知識(shí)和尋找知識(shí)的能力 學(xué)有所用，增強(qiáng)興趣和信心 方法 多思考分析 實(shí)踐,預(yù)備技能,數(shù)學(xué)知識(shí) 分析，代數(shù)，幾何，概論，統(tǒng)計(jì)，優(yōu)化 軟件使用 Microsoft Word, Visio, LaTeX Matlab, Mathematica, Maple, Lindo, Lingo 編程 C/C+ GUI Programming,Grading Policies,General homework and Large projects (?%) Final exams (?%),Grading Policies,Requirements(1),模型報(bào)告書(shū)寫(xiě) 符合規(guī)范 文字，圖表清晰 數(shù)據(jù)說(shuō)明,Requirement(3),獨(dú)立完成 相互幫助 團(tuán)隊(duì)合作 絕不允許抄襲！,Q&A,一些簡(jiǎn)單實(shí)例,例1 某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然 然后他妻子開(kāi)車(chē)接他回家。有一天，他比平時(shí)提早 了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來(lái)接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他 比平時(shí)提前了十分鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí) 間？,1.5 一些簡(jiǎn)單實(shí)例,似乎條件不夠哦 。,請(qǐng)思考一下，本題解答中隱含了哪些假設(shè) ？,分析 本題多少 有點(diǎn)象 數(shù)學(xué)中 解的存在 性條件 及證明，當(dāng) 然 ，這里的情況要簡(jiǎn)單得多。,設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均 為1，其 重心在中點(diǎn)1/2磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。,由第 n塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn 故Zn =1/(2n)，從而上面 n塊磚向右推出的總距離為 ，,故磚塊向右可疊至 任意遠(yuǎn) ，這一結(jié)果多少 有點(diǎn)出人意料。,AB發(fā)出車(chē)次顯然是一樣多的， 否則一處的車(chē)輛將會(huì)越積越多。,黑匣子所在 方向很容易確定，關(guān)鍵在于確定 距離 。設(shè)在同一方向不同位置檢測(cè)了兩次，測(cè)得的照度分別為I1和I2，兩測(cè)量點(diǎn)間的距離為 a，則有,在方法一中，兩檢測(cè)點(diǎn)與黑匣子 位于一直線上，這一點(diǎn)比較容易 做到，主要缺點(diǎn)是結(jié)果對(duì)照度測(cè) 量的精度要求較高，很少的誤差會(huì)造成結(jié)果的很大變化，即敏感性很強(qiáng)，現(xiàn)提出另一方法，在 A點(diǎn)測(cè)得黑匣子方向后 ，到B點(diǎn)再測(cè)方向 ，AB 距離為a ，BAC=，ABC=，利用正弦定理得出 d = asin/sin (+) 。需要指出的是，當(dāng)黑匣子位于較遠(yuǎn)處而 又較小時(shí)，+可能非常接近（ACB接近于0），而sin（+）又恰好位于分母上，因而對(duì)結(jié)果的精確性影響也會(huì)很大，為了使結(jié)果較好，應(yīng)使a也相對(duì)較大。,例7,將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn)，是否總能設(shè)法使其四條腿同時(shí)落地？,假設(shè),地面為連續(xù)曲面 方桌的四條腿長(zhǎng)度相同 相對(duì)于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長(zhǎng)的 方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地。,模型構(gòu)成,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái),椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性,用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置,四只腳著地,距離是的函數(shù),四個(gè)距離(四只腳),A,C 兩腳與地面距離之和 f(),B,D 兩腳與地面距離之和 g(),兩個(gè)距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD 繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái),f() , g()是連續(xù)函數(shù),對(duì)任意, f(), g()至少一個(gè)為0,數(shù)學(xué)問(wèn)題,已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型構(gòu)成,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法,將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因?yàn)閒() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,評(píng)注和思考,建模的關(guān)鍵 ,和 f(), g()的確定,模型求解,思考,若方桌改為長(zhǎng)方形桌子，結(jié)論如何？,如圖，有橢圓方程 :,矢徑所掃過(guò)的面 積A的微分為:,由開(kāi)普勒第二定 律:,常數(shù),立即得出: