(好資料)2007年高考“圓錐曲線”題--高考數(shù)學(xué)試題全解

2007年高考“圓錐曲線”題1(全國) 已知雙曲線的離心率為，焦點是，則雙曲線方程為（）ABCD解：已知雙曲線的離心率為2，焦點是，則c=4，a=2，雙曲線方程為，選A。拋物線的焦點為，準線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點，垂足為，則的面積是（）A BCD解：拋物線的焦點F(1，0)，準線為l：，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A(3，2)，垂足為K(1，2)， 正AKF的面積是4，選C。已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，垂足為（）設(shè)點的坐標為，證明：；（）求四邊形的面積的最小值證明：（）橢圓的半焦距，由知點在以線段為直徑的圓上，故，所以，（）（）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得設(shè)，則 ，；因為與相交于點，且的斜率為，所以，四邊形的面積當(dāng)時，上式取等號（）當(dāng)?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r，四邊形的面積綜上，四邊形的面積的最小值為2(全國II) 設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點，使 且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD解：設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點。若雙曲線上存在點A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中， 離心率，選B。3（北京卷）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為，短半軸長為.計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值解：（I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為點的縱坐標滿足方程，解得，其定義域為（II）記，則令，得因為當(dāng)時，；當(dāng)時，所以是的最大值因此，當(dāng)時，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為4（天津卷）設(shè)雙曲線的離心率為且它的一條準線與拋物線的準線重合，則此雙曲線的方程為( )A.B.C.D.解：由可得故選D.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點原點到直線的距離為.(I)證明：；(II)設(shè)為橢圓上的兩個動點過原點作直線的垂線垂足為求點的軌跡方程.解：(I)證法一：由題設(shè)及不妨設(shè)點其中由于點在橢圓上，有即 解得從而得到直線的方程為整理得由題設(shè)，原點到直線的距離為即將代入上式并化簡得即 證法二：同證法一，得到點的坐標為過點作垂足為易知故由橢圓定義得又所以解得而而得即（II）解法一：設(shè)點的坐標為當(dāng)時，由知，直線的斜率為所以直線的方程為或其中點的坐標滿足方程組將式代入式，得整理得于是 由式得由知將式和式代入得 將代入上式，整理得當(dāng)時，直線的方程為點的坐標滿足方程組 所以由知即解得這時，點的坐標仍滿足綜上，點的軌跡方程為解法二：設(shè)點的坐標為直線的方程為由垂足為 可知直線的方程為記（顯然點的坐標滿足方程組由式得由式得將式代入式得整理得于是由式得由式得將式代入式得整理得于是由知將式和式代入得 將代入上式，得所以，點的軌跡方程為5(上海卷) 以雙曲線的中心為焦點，且以該雙曲線的左焦點為頂點的拋物線方程是 解：雙曲線的中心為O（0,0），該雙曲線的左焦點為F（3,0），則拋物線的頂點為（3,0），焦點為（0,0），所以p=6，所以拋物線方程是)我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，如圖，點，是相應(yīng)橢圓的焦點，和，分別是“果圓”yO.x.與，軸的交點（1） 若是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程； （2）當(dāng)時，求的取值范圍；（3）連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦試研究：是否存在實數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由yO.Mx解：（1） ， 于是，所求“果圓”方程為 ， （2）由題意，得 ，即 ，得 又 （3）設(shè)“果圓”的方程為， 記平行弦的斜率為當(dāng)時，直線與半橢圓的交點是，與半橢圓的交點是 的中點滿足 得 ， 綜上所述，當(dāng)時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上 當(dāng)時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是 由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上 當(dāng)時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上6（重慶卷）過雙曲線的右焦點F作傾斜角為的直線，交雙曲線于P、Q兩點，則|FP|FQ|的值為_.解： 代入得： 設(shè) 又 如圖，中心在原點O的橢圓的右焦點為F（3，0），右準線l的方程為：x = 12。（1）求橢圓的方程；(4分)（2）在橢圓上任取三個不同點，使，證明: 為定值，并求此定值。(8分)答（22）圖解：（I）設(shè)橢圓方程為因焦點為，故半焦距又右準線的方程為，從而由已知，因此，故所求橢圓方程為（II）記橢圓的右頂點為，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，假設(shè)，且，又設(shè)點在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有 解得 因此，而，故為定值7（遼寧卷）設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ ）ABCD解： 因為，設(shè)，根據(jù)雙曲線定義得，所以，為直角三角形，其面積為，選B設(shè)橢圓上一點到左準線的距離為10，是該橢圓的左焦點，若點滿足，則= 解： 橢圓左準線為，左焦點為（-3，0），P（，由已知M為PF中點，M（，所以8（江蘇卷）在平面直角坐標系中，雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，一條漸近線的方程為，則它的離心率為（ ）A B C D解： 由，得，所以，設(shè)，則，故選（A）。如圖，在平面直角坐標系中， 過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，（1）若，求的值；（5分）（2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線；（5分）（1） 試問（2）的逆命題是否成立？說明理由。（4分）解：（1）設(shè)過C點的直線為，所以，即，設(shè)A，=，因為，所以，即，所以，即所以（2）設(shè)過Q的切線為，所以，即，它與的交點為M，又，所以Q，因為,所以，所以M,所以點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線。（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知Q，因為PQ軸，所以因為，所以P為AB的中點。9(廣東卷) 在直角坐標系xOy中,有一定點A（2，1）。若線段OA的垂直平分線過拋物線的焦點，則該拋物線的準線方程是_;解：依題意我們?nèi)菀浊蟮弥本€的方程為4x+2y-5=0，把焦點坐標(，0)代入可求得焦參數(shù)p=，從而得到準線方程x= -。 在直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10。 （1）求圓C的方程； （2）試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓的右焦點F的距離等于線段OF的長，若存在求出Q的坐標；若不存在，請說明理由。解：(1)設(shè)圓心坐標為(m，n)（m0）,則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2 即=4 又圓與直線切于原點，將點(0，0)代入得m2+n2=8 聯(lián)立方程和組成方程組解得 故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8(2)=5，a2=25，則橢圓的方程為+=1其焦距c=4，右焦點為(4，0)，那么=4。要探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于的長度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點F為頂點，半徑為4的圓(x4)2+y2=8與(1)所求的圓的交點數(shù)。通過聯(lián)立兩圓的方程解得x=，y=即存在異于原點的點Q(，)，使得該點到右焦點F的距離等于的長。10(福建卷) 以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（ ）ABCD解： 右焦點即圓心為（5，0），一漸近線方程為，即，圓方程為，即A ，選A. 已知正方形，則以為焦點，且過兩點的橢圓的離心率為_解：設(shè)c=1，則.Oyx1lF如圖，已知點，直線，為平面上的動點，過作直線的垂線，垂足為點，且（）求動點的軌跡的方程；（）過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點，已知，求的值.解法一：（）設(shè)點，則，由得：，化簡得（）設(shè)直線的方程為：PBQMFOAxy設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：（）由已知，得則：過點分別作準線的垂線，垂足分別為，則有：由得：，即11(安徽卷) 如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 （A）（B）（C）（D）解：如圖，連接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，雙曲線的離心率為，選D。12(湖南卷) 設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準線上存在 使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）ABCD解：由已知P，所以的中點Q的坐標為，由 當(dāng)時，不存在，此時為中點，綜上得選D另解：根據(jù)題意及中垂線性質(zhì)知，P點滿足其中Q為右準線與x軸的交點，已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點（I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則則，由得即 于是的中點坐標為當(dāng)不與軸垂直時，即又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)與軸垂直時，求得，也滿足上述方程所以點的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以，于是因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=當(dāng)與軸垂直時，點的坐標可分別設(shè)為，此時故在軸上存在定點，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以 由得當(dāng)時，由得，將其代入有整理得當(dāng)時，點的坐標為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時，求得，也滿足上述方程故點的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點點，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時，由（I）有，以上同解法一的（II）13（湖北卷）雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準線為，焦點為與的一個交點為，則等于（ ）ABCDxyMF1F2DLO解：由題設(shè)可知點同時滿足雙曲線和拋物線的定義，且在雙曲線右支上,故 由定義可得 故原式，選A在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點（I）若點是點關(guān)于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由ABxyNCO（此題不要求在答題卡上畫圖）解法1：（）依題意，點的坐標為，可設(shè)，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得NOACByx由韋達定理得，于是，當(dāng)時，（）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，NOACByxl則，點的坐標為，令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線解法2：（）前同解法1，再由弦長公式得， 又由點到直線的距離公式得從而，當(dāng)時，（）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則設(shè)直線與以為直徑的圓的交點為，則有令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線14（江西卷）設(shè)橢圓的離心率為，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點（）必在圓內(nèi)必在圓上必在圓外以上三種情形都有可能解： 由=得a=2c，b=，所以，所以點到圓心（0，0）的距離為，所以點P在圓內(nèi)，選A設(shè)動點到點和的距離分別為和，且存在常數(shù)，使得（1）證明：動點的軌跡為雙曲線，并求出的方程；（2）過點作直線交雙曲線的右支于兩點，試確定的范圍，使，其中點為坐標原點解法一：（1）在中，即，即（常數(shù)），點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線方程為：（2）設(shè)，當(dāng)垂直于軸時，的方程為，在雙曲線上即，因為，所以當(dāng)不垂直于軸時，設(shè)的方程為由得：，由題意知：，所以，于是：因為，且在雙曲線右支上，所以由知，解法二：（1）同解法一（2）設(shè)，的中點為當(dāng)時，因為，所以；當(dāng)時，又所以；由得，由第二定義得所以于是由得因為，所以，又，解得：由知15（山東卷）設(shè)是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為 解：過A 作軸于D，令，則，。已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標準方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以 為直徑的圓過橢圓的右頂點.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標解：(I)由題意設(shè)橢圓的標準方程為， (II)設(shè)，由得 ，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，解得，且滿足.當(dāng)時，直線過定點與已知矛盾；當(dāng)時，直線過定點綜上可知，直線過定點，定點坐標為16(陜西卷) 拋物線y=x2的準線方程是（A）4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0解：P=，準線方程為y=，即，選A已知雙曲線C：(a0,b0),以C的右焦點為圓心且與C的浙近線相切的圓的半徑是A. B. C.a D.b解：圓的半徑是（C，0）到漸近線的距離，R=，選D.已知橢圓C:（ab0）的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為.()求橢圓C的方程;()設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值.解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為（）設(shè)，（1）當(dāng)軸時，（2）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為由已知，得把代入橢圓方程，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立當(dāng)時，綜上所述當(dāng)最大時，面積取最大值17（四川卷）如果雙曲線上一點到雙曲線右焦點的距離是2，那么點到軸的距離是（）（A）（B）（C）（D）解：由點到雙曲線右焦點的距離是2知在雙曲線右支上又由雙曲線的第二定義知點到雙曲線右準線的距離是，雙曲線的右準線方程是，故點到軸的距離是選A已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點、，則等于（）（A）3 （B）4 （C） （D）解：設(shè)直線的方程為，由，進而可求出的中點，又由在直線上可求出，由弦長公式可求出選C設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.（）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值;（）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.解：（）解法一：