哈爾濱工程大學-場論.ppt

第0章 場論（ FIELD ）,目的：場論是描述物理流動的數(shù)學工具。 內(nèi)容：介紹力學中常用的場論知識。 場： 具有物理量的空間。 流場：充滿流體物理量的空間。,物理量作為空間點位置M和時間t 的函數(shù)，t 作為參變量。,流體力學中常見的物理量,density,temperature,pressure,stress,velocity,strain,向量場（函數(shù)）,標量場（函數(shù)）,張量場（函數(shù)）,field 1:1 func.,space point,向量 ( vector ) ：3個元素表示的既有大小又有方向的量,0.1 標量、向量、張量,（1）概念 標量（scalar）：1個元素表示的只有大小沒有方向的量,二階張量（tensor of 2nd order）：9個元素表示的量,n階張量（tensor of nth order）：3n個元素表示的量,（2）場的幾何描述,標量場的等值線（面）： 時刻場 中數(shù)值相同的點組成的曲面。,等值線,在某一高度上沿什么方向高度變化最快？,表示標量在場中的分布。,向量場的向量線： 向量線上每一點處曲線與對應(yīng)于該點的向量 相切。,描述向量在場中的分布。,向量線連續(xù)分布，一般互不相交。,l,(1) Einstein求和符號：式子中成對出現(xiàn)的啞指標。,0.2向量及張量的基本運算,0.2.1 向量運算符號規(guī)定,式中i, j 是自由指標，表示坐標方向?？蓪懽?,任意兩個正交坐標軸單位向量的點積,(2) Kronecker 符號：, 參與表達式運算的結(jié)果： 沖掉一個自由指標,置換法則： 3個自由指標順時針排列為正，否則為負。 任意2個自由指標對換后差一個負號，如,式中i,j是自由指標， 稱為置換符號。,(3) Ricci（置換）符號：任意兩個正交單位向量的叉積,和符號之間有關(guān)系,兩個自由指標相同，如,自由指標偶次置換，如,自由指標奇次置換，如,0.2.2 向量運算的常用公式,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,0.2.3 向量分量的坐標轉(zhuǎn)換,討論新、老坐標軸中單位向量及向量分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。,(i, j=1,2,3),或,表0.1 坐標軸間方向余弦,又,點乘,得,單位向量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：,即可得如下六個關(guān)系式,或,向量分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：,表0.1 坐標軸間方向余弦,a與坐標系無關(guān)，有,0.2.4二階張量及其基本運算,二階張量及其基本運算規(guī)則,二階張量的坐標變換,(,),(,),eg.,方向?qū)?shù)：,l 方向單位向量,03 標量場的方向?qū)?shù)和梯度,剃度表示物理量在一點鄰域內(nèi)的變化。,（1）梯度的定義,Hamilton算子（ Nabla）,記,則,當 ,即 與 方向一致時, 為最大。,注：算子 具有微分和向量雙重運算性質(zhì)，適用于任意正交坐標系，在不同坐標系中表達形式不同。推導(dǎo)或證明公式時用直角坐標系簡便。,梯度(Gradient),高度場的梯度,與過該點的等位線垂直；,數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)；, 梯度 垂直于標量的等值面，且指向增大的方向。,（3）梯度的應(yīng)用（性質(zhì)） 梯度 在 方向的投影等于標量在該方向的方向?qū)?shù),計算增量,計算曲面法線,由梯度可計算物理量沿l方向經(jīng)過dl距離的增量。,（ 為常數(shù)）,（ 為常數(shù)）,（5）向量的梯度 是一個二階張量,（4）梯度運算的基本公式,Example 0.2 Given: Prove:,Example 0.1：求曲面 的法線單位向量,Solution:,Solution: （書p4）,稱為向量a通過曲面S的通量。若a為流速v，Q流量。,04 向量場的通量和散度,通量：在向量場a中曲面S的法向量為n，則,圖0.4.1 通量,物理量的散度可用來判別向量場是否有源。,若向量場中a=0，稱之為有源場，稱為源（強）密度；若向量場中處處a=0，稱之為無源場。,（ 為常數(shù)）,散度的基本運算公式：,（2),( 為標量）,（3),05向量場的環(huán)量和旋度,物理量的旋度可用來判別向量場是否有旋。,無源無旋的向量場是調(diào)和場,（Laplace operator）,（Laplace方程）,滿足Laplace方程,且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，這時向量場a稱為調(diào)和場。,Gauss公式Jonhan Gauss(1777-1855),n為體積V 閉邊界面S 的單位外法向量，若物理量a或在V+S上一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則有,散度定理,源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，體積分后，為穿出閉合面S的通量,06 廣義Gauss公式及Stokes公式,Stokes公式 Sir George Stokes(1819-1903）,若l為曲面S 的邊界線，且可縮，向量a在S+l上一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則,0.7 Hamilton算子、梯度、散度、旋度和調(diào)和量 在正交曲線坐標系中的表示式,向量： （正交曲線坐標系）,0.7.2