高中數(shù)學(xué)第三章變化率與導(dǎo)數(shù)3.1.1_3.1.2變化率問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

3.1變化率與導(dǎo)數(shù)3.1.1變化率問(wèn)題3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率.3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率假設(shè)如圖是一座山的剖面示意圖，并建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)是出發(fā)點(diǎn)，H是山頂爬山路線用函數(shù)yf(x)表示自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值yf(x)表示此時(shí)旅游者所在的高度設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2，y2)思考1若旅游者從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，自變量x和函數(shù)值y的改變量分別是多少？答案自變量x的改變量為x2x1，記作x，函數(shù)值的改變量為y2y1，記作y.思考2怎樣用數(shù)量刻畫(huà)彎曲山路的陡峭程度？AB與BC哪一段更陡峭？答案對(duì)山路AB來(lái)說(shuō)，用可近似地刻畫(huà)其陡峭程度BC更陡峭梳理(1)定義式：，叫函數(shù)f(x)在區(qū)間x1，x2上的平均變化率(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量增量之比(3)作用：刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化的快慢(4)平均變化率的幾何意義：設(shè)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲線yf(x)上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)yf(x)的平均變化率為割線AB的斜率，如圖所示特別提醒：x是變量x2在x1處的改變量，且x2是x1附近的任意一點(diǎn)，即xx2x10，但x可以為正，也可以為負(fù)知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率定義式實(shí)質(zhì)瞬時(shí)變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，平均變化率趨近的值作用刻畫(huà)函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢特別提醒：“x無(wú)限趨近于0”的含義x趨于0的距離要多近有多近，即|x0|可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終x0.知識(shí)點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的概念定義式記法f(x0)或y|xx0實(shí)質(zhì)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率1函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與x值的正、負(fù)無(wú)關(guān)()2瞬時(shí)變化率是刻畫(huà)某函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化快慢的物理量()3在導(dǎo)數(shù)的定義中，x，y都不可能為零()類型一函數(shù)的平均變化率命題角度1求函數(shù)的平均變化率例1求函數(shù)y2x23在x0到x0x之間的平均變化率，并求當(dāng)x02，x時(shí)該函數(shù)的平均變化率考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率解當(dāng)自變量從x0變化到x0x時(shí)，函數(shù)的平均變化率為4x02x.當(dāng)x02，x時(shí)，平均變化率的值為4227.反思與感悟求平均變化率的主要步驟(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量yf(x2)f(x1)(2)再計(jì)算自變量的改變量xx2x1.(3)得平均變化率.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)x22x5的圖象上的一點(diǎn)A(1，6)及鄰近一點(diǎn)B(1x，6y)，則_.(2)如圖所示是函數(shù)yf(x)的圖象，則函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為_(kāi)；函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為_(kāi)考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案(1)x(2)解析(1)x.(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為.由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為.命題角度2平均變化率的幾何意義例2過(guò)曲線yf(x)x2x上的兩點(diǎn)P(1,0)和Q(1x，y)作曲線的割線，已知割線PQ的斜率為2，求x的值考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用解割線PQ的斜率即為函數(shù)f(x)從1到1x的平均變化率.yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(121)x(x)2，割線PQ的斜率k1x.又割線PQ的斜率為2，1x2，x1.反思與感悟函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率的實(shí)質(zhì)是函數(shù)yf(x)圖象上兩點(diǎn)P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)連線P1P2的斜率，即kP1P2.跟蹤訓(xùn)練2(1)甲、乙兩人走過(guò)的路程s1(t)，s2(t)與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，則在0，t0這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人的平均速度v甲，v乙的關(guān)系是()Av甲v乙Bv甲v乙Cv甲v乙D大小關(guān)系不確定(2)過(guò)曲線yf(x)圖象上一點(diǎn)(2，2)及鄰近一點(diǎn)(2x，2y)作割線，則當(dāng)x0.5時(shí)割線的斜率為_(kāi)考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案(1)B(2)解析(1)設(shè)直線AC，BC的斜率分別為kAC，kBC，由平均變化率的幾何意義知，s1(t)在0，t0上的平均變化率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平均變化率v乙kBC.因?yàn)閗ACkBC，所以v甲v乙(2)當(dāng)x0.5時(shí)，2x2.5，故2y，故k.類型二求瞬時(shí)速度例3某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)t2t1表示，則物體在t1s時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi)m/s.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)瞬時(shí)速度答案3解3t， (3t)3.物體在t1處的瞬時(shí)變化率為3，即物體在t1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.引申探究1若本例中的條件不變，試求物體的初速度解求物體的初速度，即求物體在t0時(shí)的瞬時(shí)速度1t， (1t)1.物體在t0處的瞬時(shí)變化率為1，即物體的初速度為1m/s.2若本例中的條件不變，試問(wèn)物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.解設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s，(2t01)t， (2t01t)2t01，則2t019，t04.則物體在4s時(shí)的瞬時(shí)速度為9m/s.反思與感悟求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟(1)求時(shí)間改變量t和位移改變量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度.(3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)t無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于的常數(shù)v即為瞬時(shí)速度，即vs(t0)跟蹤訓(xùn)練3一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)at21做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若質(zhì)點(diǎn)M在t2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，則常數(shù)a_.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)瞬時(shí)速度答案2解析質(zhì)點(diǎn)M在t2時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t2處的瞬時(shí)變化率質(zhì)點(diǎn)M在t2附近的平均變化率4aat，4a8，即a2.類型三求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例4(1)設(shè)函數(shù)yf(x)在xx0處可導(dǎo)，且a，則f(x0)_.考點(diǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)答案a解析(3)3f(x0)a，f(x0)a.(2)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)解yf(1x)f(1)1，f(1).反思與感悟(1)求函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟簡(jiǎn)稱：一差，二比，三極限(2)瞬時(shí)變化率的變形形式f(x0)跟蹤訓(xùn)練4已知f(x)3x2，f(x0)6，求x0.考點(diǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)值求坐標(biāo)或參數(shù)解f(x0) (6x03x)6x0，又f(x0)6，6x06，即x01.1如果質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s3t2運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)間段2,2.1中相應(yīng)的平均速度是()A4B4.1C0.41D3考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案B解析4.1.2.如圖，函數(shù)yf(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率是()A1B1C2D2考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案A解析1.3設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b為常數(shù))，則()Af(x)aBf(x)bCf(x0)aDf(x0)b考點(diǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)答案C解析f(x0) (abx)a.4若一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s7t28，則其在t_時(shí)的瞬時(shí)速度為1.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)瞬時(shí)速度答案解析7t14t，當(dāng) (7t14t)14t1時(shí)，t.5已知函數(shù)f(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)為2，則實(shí)數(shù)a的值是_考點(diǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)值求坐標(biāo)或參數(shù)答案2解析f(1)a.由題意知a2，a2.理解平均變化率要注意以下幾點(diǎn)：(1)平均變化率表示點(diǎn)(x1，f(x1)與點(diǎn)(x2，f(x2)連線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”(2)為求點(diǎn)x0附近的平均變化率，上述表達(dá)式常寫(xiě)為的形式(3)函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢(shì)自變量的改變量x取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)時(shí)要特別注意：(1)取極限前，要注意化簡(jiǎn)，保證使x0時(shí)分母不為0.(2)函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)只與x0有關(guān)，與x無(wú)關(guān)一、選擇題1f(x)2x1在1,2內(nèi)的平均變化率為()A0B1C2D3考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案C解析f(x)2x1在1,2內(nèi)的平均變化率為2.2已知函數(shù)f(x)x2x的圖象上一點(diǎn)(1，2)及鄰近一點(diǎn)(1x，2y)，則等于()A3B3x(x)2C3(x)2D3x考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案D解析3x.3一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s53t2，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段1，1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為3t6，則該質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度是()A3B3C6D6考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)瞬時(shí)速度答案D解析由平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系可知，質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度為s (3t6)6.4若f(x0)2，則等于()A1B2CD.考點(diǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)答案B解析f(x0)2.5.甲、乙兩廠污水的排放量W與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，則治污效果較好的是()A甲B乙C相同D不確定考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案B解析在t0處，雖然W1(t0)W2(t0)，但是在t0t處，W1(t0t)W2(t0t)，即，所以在相同時(shí)間t內(nèi)，甲廠比乙廠的平均治污率小所以乙廠的治污效果較好6設(shè)函數(shù)f(x)ax3，若f(1)3，則a等于()A2B2C3D3考點(diǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)值求坐標(biāo)或參數(shù)答案C解析f(1)a，f(1)3，a3.7若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且滿足1，則f(0)等于()A2B1C1D2考點(diǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)答案B解析f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，f(0)0，f(0)1.8物體的運(yùn)動(dòng)方程是s4t216t，在某一時(shí)刻的速度為0，則相應(yīng)時(shí)刻為()At1Bt2Ct3Dt4考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)瞬時(shí)速度答案B解析設(shè)在t0時(shí)刻速度為0，s(t0) (8t0164t)8t0160，t02.二、填空題9.汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時(shí)間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為1，2，3，則三者的大小關(guān)系為_(kāi)考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案123解析1kOA，2kAB，3kBC，由圖象知，kOAkAB0)上的平均變化率不大于1，求x的取值范圍考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用解函數(shù)f(x)在2,2x上的平均變化率為3x，由3x1，得x2.又x0，x的取值范圍是(0，)13已知f(x)x2，g(x)x3，求適合f(x0)2g(x0)的x0的值考點(diǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)值求坐標(biāo)或參數(shù)解由導(dǎo)數(shù)的定義知，f(x0)2x0，g(x0)3x.因?yàn)閒(x0)2g(x0)，所以2x023x，即3x2x020.解得x0或x0.四、探究與拓展14函數(shù)yx2在x0到x0x(x0)之間的平均變化率為k1，在x0x到x0之間的平均變化率為k2，則k1與k2的大小關(guān)系是()Ak1k2Bk10，所以k1k2.15若一物體的運(yùn)動(dòng)方程如下(s單位：m，t