高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件知識(shí)點(diǎn)一極值點(diǎn)與極值的概念思考觀察函數(shù)f(x)x32x的圖象f()的值是多少？在x左、右兩側(cè)的f(x)有什么變化？f()的值是多少，在x左、右兩側(cè)的f(x)又有什么變化？答案f()0，在x的左側(cè)f(x)0，在x的右側(cè)f(x)0；f()0，在x的左側(cè)f(x)0.梳理(1)極小值點(diǎn)與極小值如圖，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0，則把點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)極大值點(diǎn)與極大值如(1)中圖，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點(diǎn)xb的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值1導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)()2極大值一定比極小值大()3函數(shù)f(x)有極值()4函數(shù)的極值點(diǎn)一定是其導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)()類型一極值與極值點(diǎn)的判斷與求解例1已知函數(shù)yf(x)，其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)()A在(，0)上為減函數(shù)B在x0處取極小值C在(4，)上為減函數(shù)D在x2處取極大值考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案C解析由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)x(，0)(2,4)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(0,2)(4，)時(shí)，f(x)0，因此f(x)在(，0)，(2,4)上為增函數(shù)，在(0,2)，(4，)上為減函數(shù)，所以在x0處取得極大值，在x2處取得極小值，在x4處取得極大值，故選C.反思與感悟通過導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)號(hào)確定函數(shù)單調(diào)性，然后進(jìn)一步明確導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練1如圖為yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是()f(x)在(3，1)上為增函數(shù)；x1是f(x)的極小值點(diǎn)；f(x)在(2,4)上為減函數(shù)，在(1,2)上為增函數(shù)；x2是f(x)的極小值點(diǎn)ABCD考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案B解析當(dāng)x(3，1)時(shí)，f(x)0，f(x)在(3，1)上為減函數(shù)，在(1,2)上為增函數(shù)，不對(duì)；x1是f(x)的極小值點(diǎn)；當(dāng)x(2,4)時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x(3，1)時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)故f(x)在x1處取得極小值，a2，b9.(2)f(x)x22xa，由題意得方程x22xa0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，44a0，解得a1.反思與感悟已知函數(shù)極值的情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時(shí)，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa處取到極大值，則a的取值范圍是()A(，1) B(0，)C(0,1) D(1,0)考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案D解析若a1，f(x)a(x1)(xa)，f(x)在(，a)上單調(diào)遞減，在(a，1)上單調(diào)遞增，f(x)在xa處取得極小值，與題意不符；若1a0，則f(x)在(1，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增，與題意矛盾，故選D.類型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例4已知函數(shù)f(x)x33ax1(a0)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根解因?yàn)閒(x)在x1處取得極值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1，所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.當(dāng)x0；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)1時(shí)，f(x)0.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，1)，(1，)；單調(diào)減區(qū)間為(1,1)，f(x)在x1處取得極大值f(1)1，在x1處取得極小值f(1)3.作出f(x)的大致圖象如圖所示因?yàn)橹本€ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合f(x)的圖象可知，m的取值范圍是(3,1)引申探究若本例“三個(gè)不同的交點(diǎn)”改為“兩個(gè)不同的交點(diǎn)”結(jié)果如何？改為“一個(gè)交點(diǎn)”呢？解由本例解析可知當(dāng)m3或m1時(shí)，直線ym與yf(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；當(dāng)m1時(shí)，直線ym與yf(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問題提供了方便跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)x36x29x3，若函數(shù)yf(x)的圖象與yf(x)5xm的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，則由題意可得x36x29x3x2x3m有三個(gè)不相等的實(shí)根，即g(x)x37x28xm的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x4(4，)g(x)00g(x)m16m則函數(shù)g(x)的極大值為gm，極小值為g(4)16m.由yf(x)的圖象與yf(x)5xm的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，得解得16m.即m的取值范圍為.1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A無極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)B有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)C有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)D有四個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案C解析f(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值，f(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值，由圖象易知有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)2已知函數(shù)f(x)x，則f(x)()A有極大值2，極小值2B有極大值2，極小值2C無極大值，但有極小值2D有極大值2，無極小值考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案B解析函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，因?yàn)閒(x)x，所以f(x)1，令f(x)10，得x1.當(dāng)x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x0或0x1時(shí)，f(x)0.所以當(dāng)x1時(shí)函數(shù)有極大值2；當(dāng)x1時(shí)函數(shù)有極小值2.3已知函數(shù)f(x)x3ax23x9，且f(x)在x3時(shí)取得極值，則a等于()A5B3C4D2考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案A解析因?yàn)閒(x)3x22ax3，則f(3)3(3)22a(3)30，所以a5.4已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為()A1a2B3a6Ca2Da6考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案D解析f(x)3x22axa6，因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，則(2a)243(a6)0，解得a6或a0，f(x)在(，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得exa，xlna.當(dāng)x(，lna)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，lna)上是單調(diào)遞減的，在(lna，)上是單調(diào)遞增的，故f(x)在xlna處取得極小值，且極小值為f(lna)lna，無極大值綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在xlna處取得極小值lna，無極大值1在極值的定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值2函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處取得極值的充要條件是f(x0)0且在xx0兩側(cè)f(x)符號(hào)相反3利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖象的交點(diǎn)問題一、選擇題1已知函數(shù)yf(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)yf(x)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)處取得極值的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)極值存在性問題答案B解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可知，若函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)處取得極值，則f(x)0，即必要性成立；反之不一定成立，如函數(shù)f(x)x3在R上是增函數(shù)，f(x)3x2，則f(0)0，但在x0處函數(shù)不是極值，即充分性不成立故函數(shù)yf(x)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)處取得極值的必要不充分條件，故選B.2函數(shù)f(x)x2lnx的極值點(diǎn)為()A0,1，1BC.D.，考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案C解析由已知，得f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)3x，令f(x)0，得x.當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，解得x3或x2，所以函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(3，)4設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，函數(shù)yxf(x)的圖象的一部分如圖所示，則()Af(x)極大值為f()，極小值為f()Bf(x)極大值為f()，極小值為f()Cf(x)極大值為f(3)，極小值為f(3)Df(x)極大值為f(3)，極小值為f(3)考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案D解析當(dāng)x0，即f(x)0；當(dāng)3x3時(shí)，f(x)0.f(x)的極大值是f(3)，f(x)的極小值是f(3)5函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10，則點(diǎn)(a，b)為()A(3，3) B(4,11)C(3，3)或(4,11) D不存在考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案B解析f(x)3x22axb，當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極值10，解得或驗(yàn)證知當(dāng)a3，b3時(shí)，在x1處無極值，a4，b11.6函數(shù)yx32axa在(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(0,3) B(，3)C(0，) D.考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)極值存在性問題答案D解析令y3x22a0，得x.由題意知，(0,1)，即01，解得0a.7已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則f(x)的極大值、極小值分別為()A.，0B0，C，0D0，考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案A解析f(x)3x22pxq.由f(1)0，f(1)0，得解得所以f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10，得x或x1，易得當(dāng)x時(shí)f(x)取極大值.當(dāng)x1時(shí)f(x)取極小值0.8已知aR，且函數(shù)yexax(xR)有大于零的極值點(diǎn)，則a的取值范圍為()Aa1Ca考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案A解析因?yàn)閥exax，所以yexa.令y0，即exa0，則exa，即xln(a)，又因?yàn)閤0，所以a1，即a1.二、填空題9函數(shù)yxex在其極值點(diǎn)處的切線方程為_考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案y解析令yexxex(1x)ex0，得x1，y，函數(shù)yxex在極值點(diǎn)處的切線方程為y.10.已知函數(shù)f(x)ax3bx22，其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極小值是_考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案2解析由圖象可知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，當(dāng)0x0，故當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)取極小值f(0)2.11若直線ya與函數(shù)f(x)x33x的圖象有三個(gè)相異的公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根答案(2,2)解析令f(x)3x230，得x1，可得f(x)的極大值為f(1)2，極小值為f(1)2，所以當(dāng)2a0)，故f(x)x1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有f(x)0，曲線yf(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)由(1)知f(x)極大值fa，f(x)極小值f(1)a1.曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，f(x)極大值0，即a0，a1，當(dāng)a(1，)時(shí)，曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)四、探究與拓展14已知函數(shù)f(x)x(lnxax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案B解析由題意知，x0，f(x)lnx12ax，由于函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則f(x)0有兩個(gè)不等的正根，即函數(shù)ylnx1與y2ax的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a0.設(shè)函數(shù)ylnx1的圖象上任一點(diǎn)(x0,1lnx0)處的切線為l，則k1，當(dāng)l過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，解得x01，令2a1a，結(jié)合圖象知，0a，故選B.15已知函數(shù)f(x)x22lnx，h(x)x2xa.(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)設(shè)函數(shù)k(x)f(x