高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案(含解析)新人教A版.docx_第1頁
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文檔簡介

3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)極值的概念,會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,并會(huì)靈活應(yīng)用.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件知識(shí)點(diǎn)一極值點(diǎn)與極值的概念思考觀察函數(shù)f(x)x32x的圖象f()的值是多少?在x左、右兩側(cè)的f(x)有什么變化?f()的值是多少,在x左、右兩側(cè)的f(x)又有什么變化?答案f()0,在x的左側(cè)f(x)0,在x的右側(cè)f(x)0;f()0,在x的左側(cè)f(x)0.梳理(1)極小值點(diǎn)與極小值如圖,函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f(a)0;而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0,則把點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)極大值點(diǎn)與極大值如(1)中圖,函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f(b)0;而且在點(diǎn)xb的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極大值(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極小值1導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)()2極大值一定比極小值大()3函數(shù)f(x)有極值()4函數(shù)的極值點(diǎn)一定是其導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)()類型一極值與極值點(diǎn)的判斷與求解例1已知函數(shù)yf(x),其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示,則yf(x)()A在(,0)上為減函數(shù)B在x0處取極小值C在(4,)上為減函數(shù)D在x2處取極大值考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案C解析由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知:當(dāng)x(,0)(2,4)時(shí),f(x)0,當(dāng)x(0,2)(4,)時(shí),f(x)0,因此f(x)在(,0),(2,4)上為增函數(shù),在(0,2),(4,)上為減函數(shù),所以在x0處取得極大值,在x2處取得極小值,在x4處取得極大值,故選C.反思與感悟通過導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)號(hào)確定函數(shù)單調(diào)性,然后進(jìn)一步明確導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練1如圖為yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,則下列判斷正確的是()f(x)在(3,1)上為增函數(shù);x1是f(x)的極小值點(diǎn);f(x)在(2,4)上為減函數(shù),在(1,2)上為增函數(shù);x2是f(x)的極小值點(diǎn)ABCD考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案B解析當(dāng)x(3,1)時(shí),f(x)0,f(x)在(3,1)上為減函數(shù),在(1,2)上為增函數(shù),不對(duì);x1是f(x)的極小值點(diǎn);當(dāng)x(2,4)時(shí),f(x)0,此時(shí)f(x)為增函數(shù);當(dāng)x(3,1)時(shí),f(x)0,此時(shí)f(x)為增函數(shù)故f(x)在x1處取得極小值,a2,b9.(2)f(x)x22xa,由題意得方程x22xa0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,44a0,解得a1.反思與感悟已知函數(shù)極值的情況,逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時(shí),應(yīng)注意以下兩點(diǎn):(1)根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)a(x1)(xa),若f(x)在xa處取到極大值,則a的取值范圍是()A(,1) B(0,)C(0,1) D(1,0)考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案D解析若a1,f(x)a(x1)(xa),f(x)在(,a)上單調(diào)遞減,在(a,1)上單調(diào)遞增,f(x)在xa處取得極小值,與題意不符;若1a0,則f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減,在(a,)上單調(diào)遞增,與題意矛盾,故選D.類型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例4已知函數(shù)f(x)x33ax1(a0)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值,直線ym與yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求m的取值范圍考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根解因?yàn)閒(x)在x1處取得極值且f(x)3x23a,所以f(1)3(1)23a0,所以a1,所以f(x)x33x1,f(x)3x23,由f(x)0,解得x11,x21.當(dāng)x0;當(dāng)1x1時(shí),f(x)1時(shí),f(x)0.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,1),(1,);單調(diào)減區(qū)間為(1,1),f(x)在x1處取得極大值f(1)1,在x1處取得極小值f(1)3.作出f(x)的大致圖象如圖所示因?yàn)橹本€ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),結(jié)合f(x)的圖象可知,m的取值范圍是(3,1)引申探究若本例“三個(gè)不同的交點(diǎn)”改為“兩個(gè)不同的交點(diǎn)”結(jié)果如何?改為“一個(gè)交點(diǎn)”呢?解由本例解析可知當(dāng)m3或m1時(shí),直線ym與yf(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn);當(dāng)m1時(shí),直線ym與yf(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值情況,并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象,從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問題提供了方便跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)x36x29x3,若函數(shù)yf(x)的圖象與yf(x)5xm的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根解由f(x)x36x29x3,可得f(x)3x212x9,f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m,則由題意可得x36x29x3x2x3m有三個(gè)不相等的實(shí)根,即g(x)x37x28xm的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)g(x)3x214x8(3x2)(x4),令g(x)0,得x或x4.當(dāng)x變化時(shí),g(x),g(x)的變化情況如下表:x4(4,)g(x)00g(x)m16m則函數(shù)g(x)的極大值為gm,極小值為g(4)16m.由yf(x)的圖象與yf(x)5xm的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn),得解得16m.即m的取值范圍為.1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)()A無極大值點(diǎn),有四個(gè)極小值點(diǎn)B有三個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)C有兩個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)D有四個(gè)極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn)考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案C解析f(x)的符號(hào)由正變負(fù),則f(x0)是極大值,f(x)的符號(hào)由負(fù)變正,則f(x0)是極小值,由圖象易知有兩個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)2已知函數(shù)f(x)x,則f(x)()A有極大值2,極小值2B有極大值2,極小值2C無極大值,但有極小值2D有極大值2,無極小值考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案B解析函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0,因?yàn)閒(x)x,所以f(x)1,令f(x)10,得x1.當(dāng)x1時(shí),f(x)0;當(dāng)1x0或0x1時(shí),f(x)0.所以當(dāng)x1時(shí)函數(shù)有極大值2;當(dāng)x1時(shí)函數(shù)有極小值2.3已知函數(shù)f(x)x3ax23x9,且f(x)在x3時(shí)取得極值,則a等于()A5B3C4D2考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案A解析因?yàn)閒(x)3x22ax3,則f(3)3(3)22a(3)30,所以a5.4已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值,則a的取值范圍為()A1a2B3a6Ca2Da6考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案D解析f(x)3x22axa6,因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值,則(2a)243(a6)0,解得a6或a0,f(x)在(,)上是單調(diào)遞增函數(shù),所以函數(shù)f(x)無極值當(dāng)a0時(shí),令f(x)0,得exa,xlna.當(dāng)x(,lna)時(shí),f(x)0,所以f(x)在(,lna)上是單調(diào)遞減的,在(lna,)上是單調(diào)遞增的,故f(x)在xlna處取得極小值,且極小值為f(lna)lna,無極大值綜上,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a0時(shí),f(x)在xlna處取得極小值lna,無極大值1在極值的定義中,取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值點(diǎn)指的是自變量的值,極值指的是函數(shù)值2函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處取得極值的充要條件是f(x0)0且在xx0兩側(cè)f(x)符號(hào)相反3利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值,解決一些方程的解和圖象的交點(diǎn)問題一、選擇題1已知函數(shù)yf(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),則函數(shù)yf(x)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)處取得極值的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)極值存在性問題答案B解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可知,若函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)處取得極值,則f(x)0,即必要性成立;反之不一定成立,如函數(shù)f(x)x3在R上是增函數(shù),f(x)3x2,則f(0)0,但在x0處函數(shù)不是極值,即充分性不成立故函數(shù)yf(x)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)處取得極值的必要不充分條件,故選B.2函數(shù)f(x)x2lnx的極值點(diǎn)為()A0,1,1BC.D.,考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案C解析由已知,得f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)3x,令f(x)0,得x.當(dāng)x時(shí),f(x)0;當(dāng)0x時(shí),f(x)0,解得x3或x2,所以函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(3,)4設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),函數(shù)yxf(x)的圖象的一部分如圖所示,則()Af(x)極大值為f(),極小值為f()Bf(x)極大值為f(),極小值為f()Cf(x)極大值為f(3),極小值為f(3)Df(x)極大值為f(3),極小值為f(3)考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案D解析當(dāng)x0,即f(x)0;當(dāng)3x3時(shí),f(x)0.f(x)的極大值是f(3),f(x)的極小值是f(3)5函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10,則點(diǎn)(a,b)為()A(3,3) B(4,11)C(3,3)或(4,11) D不存在考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案B解析f(x)3x22axb,當(dāng)x1時(shí),f(x)有極值10,解得或驗(yàn)證知當(dāng)a3,b3時(shí),在x1處無極值,a4,b11.6函數(shù)yx32axa在(0,1)內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(0,3) B(,3)C(0,) D.考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)極值存在性問題答案D解析令y3x22a0,得x.由題意知,(0,1),即01,解得0a.7已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn),則f(x)的極大值、極小值分別為()A.,0B0,C,0D0,考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案A解析f(x)3x22pxq.由f(1)0,f(1)0,得解得所以f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10,得x或x1,易得當(dāng)x時(shí)f(x)取極大值.當(dāng)x1時(shí)f(x)取極小值0.8已知aR,且函數(shù)yexax(xR)有大于零的極值點(diǎn),則a的取值范圍為()Aa1Ca考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案A解析因?yàn)閥exax,所以yexa.令y0,即exa0,則exa,即xln(a),又因?yàn)閤0,所以a1,即a1.二、填空題9函數(shù)yxex在其極值點(diǎn)處的切線方程為_考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案y解析令yexxex(1x)ex0,得x1,y,函數(shù)yxex在極值點(diǎn)處的切線方程為y.10.已知函數(shù)f(x)ax3bx22,其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)的極小值是_考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案2解析由圖象可知,當(dāng)x0時(shí),f(x)0,當(dāng)0x0,故當(dāng)x0時(shí),函數(shù)f(x)取極小值f(0)2.11若直線ya與函數(shù)f(x)x33x的圖象有三個(gè)相異的公共點(diǎn),則a的取值范圍是_考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根答案(2,2)解析令f(x)3x230,得x1,可得f(x)的極大值為f(1)2,極小值為f(1)2,所以當(dāng)2a0),故f(x)x1.當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(2,)時(shí),f(x)0,x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí),有f(x)0,曲線yf(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)由(1)知f(x)極大值fa,f(x)極小值f(1)a1.曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),f(x)極大值0,即a0,a1,當(dāng)a(1,)時(shí),曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)四、探究與拓展14已知函數(shù)f(x)x(lnxax)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(,0) B.C(0,1) D(0,)考點(diǎn)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案B解析由題意知,x0,f(x)lnx12ax,由于函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則f(x)0有兩個(gè)不等的正根,即函數(shù)ylnx1與y2ax的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則a0.設(shè)函數(shù)ylnx1的圖象上任一點(diǎn)(x0,1lnx0)處的切線為l,則k1,當(dāng)l過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),解得x01,令2a1a,結(jié)合圖象知,0a,故選B.15已知函數(shù)f(x)x22lnx,h(x)x2xa.(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)設(shè)函數(shù)k(x)f(x

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