高中數(shù)學(xué)第二章雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第2課時雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

第2課時雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線與雙曲線的位置關(guān)系.2.了解與直線、雙曲線有關(guān)的弦長、中點等問題知識點一直線與雙曲線的位置關(guān)系思考直線與圓(橢圓)有且只有一個公共點，則直線與圓(橢圓)相切，那么，直線與雙曲線相切，能用這個方法判斷嗎？答案不能梳理設(shè)直線l：ykxm(m0)，雙曲線C：1(a0，b0)，把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)當(dāng)b2a2k20，即k時，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(2)當(dāng)b2a2k20，即k時，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直線與雙曲線有兩個公共點，此時稱直線與雙曲線相交；0直線與雙曲線有一個公共點，此時稱直線與雙曲線相切；0直線與雙曲線沒有公共點，此時稱直線與雙曲線相離知識點二弦長公式若斜率為k(k0)的直線與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|.1若直線與雙曲線交于一點，則直線與雙曲線相切()2直線l：yx與雙曲線C：2x2y22有兩個公共點()類型一直線與雙曲線的位置關(guān)系例1已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，且過點(，1)(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C恒有兩個不同的交點A，B，求k的取值范圍考點直線與雙曲線的位置關(guān)系題點直線與雙曲線的位置關(guān)系解(1)由e，可得，所以a23b2，故雙曲線方程可化為1.將點P(，1)代入雙曲線C的方程，解得b21，所以雙曲線C的方程為y21.(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去y，得(13k2)x26kx90.由題意得，解得1k0，m23.設(shè)直線l與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則x1x2m，x1x2.由弦長公式|AB|x1x2|，得，即m5，滿足m23，直線l的方程為yx5.(2)設(shè)直線l與雙曲線交于A(x3，y3)，B(x4，y4)兩點，點P(3,1)為AB的中點，則x3x46，y3y42.由x4y4，x4y4，兩式相減得(x3x4)(x3x4)4(y3y4)(y3y4)0，l的方程為y1(x3)，即3x4y50.把此方程代入雙曲線方程，整理得5y210y0，滿足0，所求直線l的方程為3x4y50.反思與感悟(1)使用弦長公式時，一般可以利用根與系數(shù)的關(guān)系，解決此類問題，一定不要忽略直線與雙曲線相交這個條件，得到的k要保證滿足相交，即驗證0.(2)與弦中點有關(guān)的問題主要用點差法跟蹤訓(xùn)練2設(shè)雙曲線的頂點是橢圓1的焦點，該雙曲線又與直線x3y60交于A，B兩點，且OAOB(O為坐標(biāo)原點)(1)求此雙曲線的方程；(2)求|AB|.考點直線與雙曲線的位置關(guān)系題點弦長及弦中點問題解(1)已知橢圓的焦點為(0，1)，即是雙曲線的頂點，因此設(shè)雙曲線方程為y2mx21(m0)，又直線x3y6，A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程組成的方程組的兩個解由得x2x30，當(dāng)m時，顯然不滿足題意當(dāng)m時，則又OAOB，0，x1x2y1y20，x1x2y1y2x1x2(x1x2)40，40，m，經(jīng)驗證，此時0.雙曲線的方程為y21.(2)|AB|4.類型三由直線與雙曲線相交求參數(shù)的取值范圍(值)例3已知中心在坐標(biāo)原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(，0)(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C恒有兩個不同的交點A，B，且2(其中O為原點)，求k的取值范圍考點直線與雙曲線的位置關(guān)系題點直線與雙曲線的位置關(guān)系解(1)設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，由已知得a，c2，所以b1.故所求雙曲線方程為y21.(2)將ykx代入y21，可得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線交于不同的兩點，得故k2且k22，得x1x2y1y22.又因為y1y2(kx1)(kx2)k2x1x2k(x1x2)222.所以22，所以0.又因為k2且k21，所以k21.所以k的取值范圍是.反思與感悟當(dāng)與直線有關(guān)時，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)數(shù)量關(guān)系式求解跟蹤訓(xùn)練3已知雙曲線C：x2y21及直線l：ykx1.(1)若l與C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若l與C交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，且AOB的面積為，求實數(shù)k的值考點直線與雙曲線的位置關(guān)系題點直線與雙曲線相交弦長與三角形面積解(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點，則方程組有兩個不同的實數(shù)根，整理得(1k2)x22kx20，解得k|x2|時，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；當(dāng)A，B在雙曲線的兩支上且x1x2時，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.SOAB|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即28，解得k0或k.又k0，符合題意，所求直線方程為3x4y50.5過雙曲線x21的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|4，則滿足條件的直線l有_條考點直線與雙曲線的位置關(guān)系題點直線與雙曲線相交弦長與三角形面積答案3解析當(dāng)直線l交雙曲線于左右兩支時，因為2a2，而|AB|4，故可有兩條若直線l交雙曲線于同支，當(dāng)直線l垂直于x軸時，|AB|4，故只有一條，所以滿足條件的直線有3條雙曲線的綜合問題常涉及其離心率、漸近線、范圍等，與向量、三角函數(shù)、不等式等知識交匯考查綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力(1)當(dāng)與向量知識結(jié)合時，注意運用向量的坐標(biāo)運算，將向量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)問題，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問題與條件建立關(guān)系求解(2)當(dāng)與直線有關(guān)時，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)關(guān)系求解.一、選擇題1雙曲線C與橢圓1有相同的焦距，一條漸近線的方程為x2y0，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y21B.y21或y21Cx21或y21Dy21考點雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點雙曲線與橢圓結(jié)合的有關(guān)問題答案B2設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()A.B.C2D3考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案B解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直，直線l的方程為xc或xc，代入1，得y2b2，y，故|AB|.依題意4a，2，e212，e.3雙曲線1(ab0)的一條漸近線與橢圓1交于點M，N，則|MN|等于()AabB.aC.D.考點雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點雙曲線與橢圓結(jié)合的有關(guān)問題答案C解析雙曲線1的一條漸近線方程為yx，由得xa.所以|MN|x2x1|a4已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2y22的左、右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2等于()A.B.C.D.考點雙曲線的定義題點雙曲線的焦點三角形答案C解析由雙曲線定義知，|PF1|PF2|2，又|PF1|2|PF2|，|PF2|2，|PF1|4.|F1F2|2c2 4.cosF1PF2.5已知雙曲線方程為x21，過P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則l的條數(shù)為()A4B3C2D1考點直線與雙曲線的位置關(guān)系題點直線與雙曲線的位置關(guān)系答案B解析由雙曲線x21的漸近線方程為y2x，點P(1,0)是雙曲線的右頂點，則直線x1與雙曲線只有一個公共點，過點P(1,0)且平行于漸近線y2x時，直線l與雙曲線只有一個公共點，有2條，故滿足題意的直線共3條6已知雙曲線E：1(a0，b0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交雙曲線于A，B兩點，若AB的中點坐標(biāo)為N(12，15)，則E的方程為()A.1B.1C.1D.1考點直線與雙曲線的位置關(guān)系題點弦長及弦中點問題答案C解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1，兩式相減可得.線段AB的中點坐標(biāo)為N(12，15)，.直線的斜率為1，1.右焦點為F(3,0)，a2b29，解得a24，b25，E的方程為1.7已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點若0，則y0的取值范圍是()A.B.C.D.考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點雙曲線范圍的應(yīng)用答案A解析由題意知a22，b21，所以c23，不妨設(shè)F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，所以(x0，y0)，(x0，y0)，所以x3y3y10，所以y00，b0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點B，A，若ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A.B4C.D.考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案A解析因為ABF2為等邊三角形，不妨設(shè)|AB|BF2|AF2|m，A為雙曲線上一點，|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，B為雙曲線上一點，則|BF2|BF1|2a，|BF2|4a，|F1F2|2c，由ABF260，得F1BF2120，在F1BF2中，由用余弦定理，得4c24a216a222a4acos120，得c27a2，則e27，即e.二、填空題9雙曲線1的離心率e，則其兩條漸近線方程為_考點雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點以離心率或漸近線為條件的簡單問題答案yx解析雙曲線1，b3，又雙曲線的離心率e，解得a4，雙曲線的兩條漸近線方程為yxx.10雙曲線1的右頂點為A，右焦點為F，過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則AFB的面積為_考點雙曲線的定義題點雙曲線的焦點三角形答案解析雙曲線右頂點A(3,0)，右焦點F(5,0)，雙曲線一條漸近線的斜率是，則直線FB的方程是y(x5)，與雙曲線方程聯(lián)立解得點B的縱坐標(biāo)為，故AFB的面積為|AF|yB|2.11若雙曲線1(a0，b0)與直線y2x無交點，則離心率e的取值范圍是_考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線離心率的取值范圍答案(1，解析由題意可得，雙曲線的漸近線的斜率2，所以e.又e1，則離心率e的取值范圍是(1，12過P(8,3)作雙曲線9x216y2144的弦AB，且P為弦AB的中點，那么直線AB的方程為_考點直線與雙曲線的位置關(guān)系題點弦長及弦中點問題答案3x2y180解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由P(8,3)為弦AB的中點，可得x1x216，y1y26，又9x16y144,9x16y144，兩式相減，可得9(x1x2)(x1x2)16(y1y2)(y1y2)0，即為9(x1x2)6(y1y2)0，可得kAB，則直線AB的方程為y3(x8)，即3x2y180.三、解答題13已知雙曲線的漸近線方程為y2x，且雙曲線過點(3,4)(1)求雙曲線的方程；(2)若直線4xy60與雙曲線相交于A，B兩點，求|AB|的值考點直線與雙曲線的位置關(guān)系題點直線與雙曲線的位置關(guān)系解(1)雙曲線的漸近線方程為y2x，則設(shè)雙曲線的方程為x2(0)，把(3,4)代入方程，得9，解得1，雙曲線的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則整理得3x212x100，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x24，x1x2，由弦長公式可知|AB|，|AB|的值為.四、探究與拓展14過雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點F作一條與其漸近線平行的直線l，交C于點P.若點P的橫坐標(biāo)為2a，求雙曲線C的離心率考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率解如圖所示，不妨設(shè)與漸近線平行的直線l的斜率為，又直線l過右焦點F(c,0)，則直線l的方程為y(xc)因為點P的橫坐標(biāo)為2a，代入雙曲線方程得1，化簡得yb或yb(點P在x軸下方，故舍去)，故點P的坐標(biāo)為(2a，b)，代入直線方程得b(2ac)，化簡可得離心率e2.15直