固體物理第4章能帶理論1.ppt

第四章 能帶理論 能帶理論的出發(fā)點(diǎn)是固體中的電子不再束縛于個(gè)別原子，而是在 整個(gè)固體內(nèi)運(yùn)動(dòng)（這要求電子的平均自由程遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)），稱為 共有化電子。 能帶理論是近似理論。由于固體中大量電子的運(yùn)動(dòng)是相互關(guān)聯(lián)的， 每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)受到其他電子和原子的影響，在如此大量粒子的多體 系統(tǒng)嚴(yán)格求解是不可能的。大多數(shù)情況下我們關(guān)心的是價(jià)電子的運(yùn)動(dòng) 狀態(tài)，在單原子結(jié)合成固體的過(guò)程中價(jià)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生大的變化 ，而內(nèi)層電子的變化較小，可以把內(nèi)層電子和原子實(shí)近似看成離子實(shí)。 這樣價(jià)電子的等效勢(shì)場(chǎng)包括離子實(shí)的勢(shì)場(chǎng)，其他價(jià)電子的平均勢(shì)場(chǎng)以 及電子波函數(shù)反對(duì)稱性而帶來(lái)的交換作用。 能帶理論是單電子近似理論，即把每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)看成是獨(dú)立的 在一個(gè)等效勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。單電子近似理論最早用于研究多電子原子 ，又稱為哈特里（Hartree）-?？耍?）自洽場(chǎng)方法。 把多體問(wèn)題簡(jiǎn)化為單電子問(wèn)題需要進(jìn)行多次簡(jiǎn)化。1、絕熱近似： 原子核或者離子實(shí)的質(zhì)量比電子大的多，離子的運(yùn)動(dòng)速度慢，在討論 電子問(wèn)題時(shí)可以認(rèn)為離子是固定在瞬時(shí)位置上。這樣多種粒子的多體 問(wèn)題就簡(jiǎn)化為多電子問(wèn)題；,2、哈特里-福克自洽場(chǎng)方法：每個(gè)電子是在固定的離子勢(shì)場(chǎng)以及其他電子的平均勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)；3、所有的離子勢(shì)場(chǎng)和其他電子的平均場(chǎng)是周期性的勢(shì)場(chǎng)。 對(duì)于三維的周期場(chǎng)中的單電子問(wèn)題只能用各種近似方法求解。通常1、選取某個(gè)布洛赫函數(shù)形式的集合作為完備的基本函數(shù)族，2、把晶體電子的波函數(shù)用此函數(shù)的集合展開(kāi)，然后代入薛定諤方程，3、確定展開(kāi)式的系數(shù)所滿足的久期方程，據(jù)此求能量本征值，4、再依照逐個(gè)本征值確定波函數(shù)展開(kāi)式的系數(shù)。不同的方法僅在于選擇不同的函數(shù)集合。 能帶理論取得相當(dāng)?shù)某晒?，但也有他的局限性。如過(guò)渡金屬化合物的價(jià)電子遷移率較小，相應(yīng)的自由程和晶格常數(shù)相當(dāng)，這時(shí)不能把價(jià)電子看成共有化電子，周期場(chǎng)的描述失去意義，能帶理論不再適用。此外，從電子和晶格相互作用的強(qiáng)弱程度來(lái)看，在離子晶體中的電子的運(yùn)動(dòng)會(huì)引起周圍晶格畸變，電子是帶著這種畸變一起前進(jìn)的，這些情況都不能簡(jiǎn)單看成周期場(chǎng)中單電子運(yùn)動(dòng)。,4-1 布洛赫定理 對(duì)于理想晶體，原子規(guī)則排列成晶格，晶格具有周期性，由此 等效勢(shì)場(chǎng),也具有周期性，晶體中的共有化電子所滿足的波動(dòng)方程,在坐標(biāo)表象中為：,這里,為正格子空間是格矢量，考慮的是定態(tài)薛定諤方程。,布洛赫定理指出：當(dāng)勢(shì)場(chǎng)具有周期性時(shí)，波函數(shù)具有如下形式：,即波函數(shù)是按晶格周期函數(shù)調(diào)幅的平面波。具有該形式的函數(shù)又稱為 布洛赫函數(shù)。,布洛赫定理的證明,如果用,代表使位矢,平移到,的平移操作算符（,為,格矢），則單電子在周期性勢(shì)場(chǎng)中的勢(shì)能具有：,在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的單電子滿足的定態(tài)薛定諤方程為：,其中：,為體系哈密頓量。,對(duì)于任意函數(shù),在平移算符的作用下有：,由此可知體系哈密頓量和平移算符是對(duì)易的，即,根據(jù)量子力學(xué)知識(shí)可知：哈密頓量和平移算符有共同的本征態(tài)，可選 擇哈密頓量的本征態(tài) 為共同本征態(tài)。,采用波恩-卡曼周期性邊界條件有：,這里,分別為,在本征態(tài),的本征值；,分別為正格子空間的基矢。,由上式可以得到：,取,的整數(shù)，,引入倒矢量：,，則有：,于是：,=,這里,為簡(jiǎn)約波矢，可將其限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)取值，其在倒格子,空間的取值點(diǎn)是均勻分布的，其在每一個(gè)布里淵區(qū)取值