云南省2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題題庫：立體幾何(4)

61. 在正方體ABCD-ABCD中,與棱AA異面的直線共有幾條（ ）A.4 B.6C.8 D.10解析：A62.在正方體ABCD-ABCD中12條棱中能組成異面直線的總對(duì)數(shù)是（ ）A.48對(duì) B.24對(duì)C.12對(duì) D.6對(duì)解析：B棱AA有4條與之異面,所以,所有棱能組成412=48對(duì),但每一對(duì)都重復(fù)計(jì)算一次,共有24對(duì).63. 正方體ABCD-ABCD中,異面直線CD和BC所成的角的度數(shù)是（ ）A.45 B.60C.90 D.120解析：BADC=60即為異面直線CD和BC所成的角的度數(shù)為6064.異面直線a、b，ab，c與a成30角，則c與b成角的范圍是 （ ）A. B. C. D. 解A直線c在位置c2時(shí),它與b成角的最大值為90,直線c在c1位置時(shí),它與b成角的最小值是6065.如圖，空間四邊形ABCD的各邊及對(duì)角線長都是1，點(diǎn)M在邊AB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)Q在邊CD上運(yùn)動(dòng)，則P、Q的最短距離為（ ）解析：B當(dāng)M,N分別為中點(diǎn)時(shí)。因?yàn)锳B, CD為異面直線，所以M, N的最短距離就是異面直線AB,CD的距離為最短。連接BN,AN則CDBN,CDAN且AN=BN,所以NMAB。同理，連接CM,MD可得MNCD。所以MN為AB,CD的公垂線。因?yàn)锳N=BN所以在RTBMN中，MN求異面直線的距離通常利用定義來求，它包括兩個(gè)步驟:先證一條線段同時(shí)與兩異面直線相交垂直；再利用數(shù)量關(guān)系求解。在做綜合題時(shí)往往大家只重視第二步，而忽略第一步。66. 空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，EF3，則AD,BC所成的角為（ ）A.30 B.60C.90 D.120解B注：考察異面直線所成角的概念，范圍及求法，需注意的是，異面直線所成的角不能是鈍角，而利用平行關(guān)系構(gòu)造可求解的三角形，可能是鈍角三角形，望大家注意。同時(shí)求角的大小是先證明再求解這一基本過程。67. 直線a是平面的斜線，b在平內(nèi)，已知a與b成60的角，且b與a在平內(nèi)的射影成45角時(shí)，a與所成的角是（ ）A.45 B.60C.90 D.135解A68. m和n是分別在兩個(gè)互相垂直的面、內(nèi)的兩條直線，與交于l，m和n與l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置關(guān)系是 A.可能垂直，但不可能平行 B.可能平行，但不可能垂直 C.可能垂直，也可能平行 D.既不可能垂直，也不可能平行解析：這種結(jié)構(gòu)的題目，常常這樣處理，先假設(shè)某位置關(guān)系成立，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，若無矛盾，且推理過程可逆，就肯定這個(gè)假設(shè)；若有矛盾，就否定這個(gè)假設(shè)。 設(shè)m/n,由于m在外，n在內(nèi)， m/ 而過m與交于l m/l，這與已知矛盾， m不平行n. 設(shè)mn，在內(nèi)作直線l, , a, ma. 又由于n和a共面且相交（若a/n 則nl，與已知矛盾） m, ml與已知矛盾， m和n不能垂直. 綜上所述，應(yīng)選（D）.69. 如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，E、F分別是AD、DD1的中點(diǎn)，則面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于 解析：為了作出二面角E-BC1-C的平面角，需在一個(gè)面內(nèi)取一點(diǎn)，過該點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線（這是用三垂線定理作二面角的平面角的關(guān)鍵步驟）。從圖形特點(diǎn)看，應(yīng)當(dāng)過E（或F）作面BCC1的垂線.解析：過E作EHBC，垂足為H. 過H作HGBC1，垂足為G.連EG.面ABCD面BCC1，而EHBCEH面BEC1，EG是面BCC1的斜線，HG是斜線EG在面BCC1內(nèi)的射影.HGBC1， EGBC1， EGH是二面角E-BC1-C的平面角。 在RtBCC1中：sinC1BC= 在RtBHG中：sinC1BC= HG=（設(shè)底面邊長為1）. 而EH=1， 在RtEHG中：tgEGH= EGH=arctg 故二面角E-BC1-C 等于arctg.70. 將邊長為1的正方形ABCD，沿對(duì)角線AC折起，使BD=.則三棱錐D-ABC的體積為 解析：設(shè)AC、BD交于O點(diǎn)，則BOAC 且DOAC，在折起后，這個(gè)垂直關(guān)系不變，因此BOD是二面角B-AC-D的平面角.由于DOB中三邊長已知，所以可求出BOD： 這是問題的一方面，另一方面為了求體積，應(yīng)求出高，這個(gè)高實(shí)際上是DOB中，OB邊上的高DE，理由是： DEOB DE面ABC. 由cosDOB=，知sinDOE= DE= 應(yīng)選（B）71. 球面上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C. A和B，A和C間的球面距離等于大圓周長的. B和C間的球面距離等于大圓周長的.如果球的半徑是R，那么球心到截面ABC的距離等于 解析：本題考查球面距離的概念及空間想像能力. 如圖所示，圓O是球的大圓，且大圓所在平面與面ABC垂直，其中弦EF是過A、B、C的小圓的直徑，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距離，OE是球的半徑，因此，欲求OD，需先求出截面圓ABC的半徑. 下一個(gè)圖是過A、B、C的小圓.AB、AC、CB是每兩點(diǎn)之間的直線段.它們的長度要分別在AOB、AOC、COB中求得（O是球心）.由于A、B間球面距離是大圓周長的，所以AOB=2=，同理AOC=，BOC=.|AB|=R， |AC|=R， |BC|=. 在ABC中，由于AB2+AC2=BC2. BAC=90,BC是小圓ABC的直徑. |ED|= 從而|OD|=. 故應(yīng)選B.72. 如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA底面ABCD，該圖中，互相垂直的面有 A.4對(duì) B.5對(duì) C.6對(duì) D.7對(duì)答案（D）解析：要找到一個(gè)好的工作方法，使得計(jì)數(shù)時(shí)不至于產(chǎn)生遺漏73. ABCD是各條棱長都相等的三棱錐.M是ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于_ 解析：90連CM交AB于N，連DN，易知N是AB中點(diǎn)，ABCN，ABDN.74. 已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).（1）求證：MNCD；（2）若PDA=45，求證MN面PCD.(12分)解析：75. 設(shè)P、Q是單位正方體AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。如圖：（1）證明：PQ平面AA1B1B；（2）求線段PQ的長。（12分）評(píng)注：本題提供了兩種解法，方法一，通過平行四邊形的對(duì)邊平行得到“線線平行”，從而證得“線面平行”；方法二，通過三角形的中位線與底邊平行得到“線線平行”，從而證得“線面平行”。本題證法較多。76. 如圖，已知求證al解析：77. 如圖，ABCD為正方形，過A作線段SA面ABCD，又過A作與SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求證：E、H分別是點(diǎn)A在直線SB和SD上的射影。（12分）解析：78. 在正方體ABCDA1B1C1D1，G為CC1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心。求證：A1O平面GBD（14分）解析：79. 如圖，已知a、b是兩條相互垂直的異面直線，其公垂線段AB的長為定值m，定長為n（nm）的線段PQ的兩個(gè)