侯亞君版本《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》1-3章習(xí)題解答.doc

1 習(xí)習(xí) 題題 一一 1寫出下列隨機(jī)試驗的樣本空間.S 一枚硬幣擲兩次,觀察朝上一面的圖案. 向藍(lán)筐投球直到投中為止,記錄投籃的總次數(shù) 公交車五分鐘一輛,隨機(jī)到車站候車,記錄候車時間 解 ;樣本空間為 ； 1 S 正正，正反，反正，反反 2 1,2,3,.S 樣本空間為. 3 05Stt 2. 設(shè)表示三個事件,試用表示下列事件., ,A B C, ,A B C 與都發(fā)生,而不發(fā)生; ABC 至少有一個發(fā)生; , ,A B C 都發(fā)生; , ,A B C 都不發(fā)生; , ,A B C 不都發(fā)生; , ,A B C 至少有兩個發(fā)生; , ,A B C 中最多有一個發(fā)生. , ,A B C 解 ;ABCABCABCABCABCABBCCA 或.ABBCCAABBCCA 3.設(shè)是三個事件,計算下列各題., ,A B C 若求發(fā)生,但不發(fā)生的概率.( )0.4, ( )0.25, ()0.25,P AP BP ABBA 若,求都不發(fā)生的概率. ()0.2, ( )0.6,P ABP B,A B 若,求發(fā)生,但不發(fā)生的概率. ()0.7, ( )0.3,P ABP BAB 若,求至( )( )( )0.25, ()()0, ()0.125P AP BP CP ABP BCP AC, ,A B C 少有一個發(fā)生的概率;都不發(fā)生的概率; 發(fā)生, 都不發(fā)生的概率. , ,A B CC,A B 2 若求至少發(fā)生一個的概率. 111 ( ), (|), (|), 432 P AP B AP A B,A B 若分別求事件的概率.()0.2, (|)0.5, (|)0.6,P ABP B AP B A,A B 解 發(fā)生,但不發(fā)生的概率：()( )()()0.15,P ABP AP ABP ABBA ; ()( )()0.1P BAP BP AB ()1( )()0.2P ABP BP AB ; ，發(fā)生,但不發(fā)生的概率：；()( )( )()P ABP AP BP ABAB()0.4P AB ，至少有一個發(fā)生的概率：()0()0P ABP ABC, ,A B C ； ()( )( )( )()()()()0.625P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC 都不發(fā)生的概率：；, ,A B C()1()0.375P ABCP ABC 發(fā)生, 都不發(fā)生的概率：C,A B ;()( )()( )()()()0.125P CABP CP ACBCP CP ACP BCP ABC ()1 (|)(), ( )12 P AB P B AP AB P A ()1 (|)( ), ( )6 P AB P A BP B P B 至少發(fā)生一個的概率：; ,A B 1 ()( )( )() 3 P ABP AP BP AB , ( )() (|)( )0.4, ( ) P AP AB P B AP A P A ( )() (|)( )0.56. 1( ) P BP AB P B AP B P A 4.從 0,1,2,9 這十個數(shù)字中任意選出三個不同的數(shù)字,試求下列事件的概率. 三個數(shù)字中不含 0 和 5; 三個數(shù)字中不含 0 或 5; 三個數(shù)字中含 0 但不含 5. 解 設(shè)事件分別表示三個數(shù)字中不含 0 和 5，則三個數(shù)字中不含 0 和 5 的概率：,A B 3 ； 3 8 3 10 7 () 15 C P AB C 三個數(shù)字中不含 0 或的概率：; 333 998 3 10 14 ()( )( )() 15 CCC P ABP AP BP AB C 三個數(shù)字中含 0 但不含 5 的概率：. 33 98 3 10 7 ()( )() 30 CC P ABP BP AB C 5.把 3 個球隨機(jī)地放入 4 個杯子中,求有球最多的杯子中球數(shù)是 1,2,3 的概率各是多少. 解 設(shè)事件分別表示有球最多的杯子中球數(shù)是 1,2,3，則有球最多的杯子中球, ,A B C 數(shù)是 1 的概率是：；有球最多的杯子中球數(shù)是 3 的概率是： 3 4 3 3 ( ) 48 A P A ；有球最多的杯子中球數(shù)是 2 的概率是：. 3 41 ( ) 416 P C 9 ( )1( )( ) 16 P BP AP C 6.12 個球中有 4 個是白色,8 個是紅色.現(xiàn)從這 12 個球中隨機(jī)地取出兩個,求下列事件的 概率. 取到兩個白球; 取到兩個紅球; 取到一個白球, 一個紅球. 解 取到兩個白球的概率：； 2 4 2 12 1 ( ) 11 C P A C 取到兩個紅球的概率：； 2 8 2 12 14 ( ) 33 C P B C 取到一個白球, 一個紅球的概率：。 11 48 2 12 16 ( ) 33 C C P C C 7.有 50 件產(chǎn)品,已知其中有 4 件次品,從中隨機(jī)取 5 件,求（結(jié)果保留三位小數(shù)）: 恰有一件是次品的概率； 沒有次品的概率； 至少有一件是次品的概率. 解 恰有一件是次品的概率：； 14 446 5 50 ( )0.308 C C P A C 4 沒有次品的概率：； 5 46 5 50 ( )0.647 C P B C 至少有一件是次品的概率：。( )1( )0.353P BP B 8. 從 1,2,9 這九個數(shù)字中,有放回地取三次,每次取一個,試求下列事件的概率（結(jié)果保 留三位小數(shù)）. 三個數(shù)字全不同; 三個數(shù)字沒有偶數(shù); 三個數(shù)字中最大數(shù)字為 6; 三個數(shù)字形成一個嚴(yán)格單調(diào)數(shù)列; 三個數(shù)字之乘積能被 10 整除. 解 三個數(shù)字全不同的概率：; 3 9 3 ( )0.691 9 A P A 三個數(shù)字沒有偶數(shù)的概率：; 3 3 5 ( )0.171 9 P B 三個數(shù)字中最大數(shù)字的概率：; 33 3 65 ( )0.125 9 P C 三個數(shù)字形成一個嚴(yán)格單調(diào)數(shù)列的概率：; 3 9 3 2 ()0.230 9 C P D 三個數(shù)字之乘積能被 10 整除的概率： 。 32 4 3 8(3! 4 3)(4 3) 1156 ( )10.214 9729 C P E 9.擲兩顆骰子,已知兩顆骰子點數(shù)之和為 7,求其中有一顆為 1 點的概率. 解 設(shè)事件分別表示兩顆骰子點數(shù)之和為 7，兩顆骰子中有一顆為 1 點，則所求概率：,A B 21 () 63 P B A 10. 個人排成一排, 已知甲排在乙的前面,求甲乙相鄰的概率.n 解 設(shè)事件分別表示甲排在乙的前面，甲乙相鄰，則所求概率：,A B 5 . ()(1!)/ !2 () ( )1/ 2 P ABnn P B A P An 11. 已知在 10 件產(chǎn)品中有 2 件是次品，在其中取兩次，每次任取一件，作不放回抽樣, 求下列事件的概率. 兩件都是正品; 兩件都是次品; 一件是正品,一件是次品; 第二次取出的是次品. 解 兩件都是正品的概率：; 2 8 2 10 28 ( ) 45 C P A C 兩件都是次品的概率：; 2 2 2 10 1 ( ) 45 C P B C 一件是正品,一件是次品的概率：; 11 28 2 10 16 ( ) 45 C C P C C 設(shè)事件分別表示第一，二次取出的是次品，由全概率公式， 12 ,A A . 2121121 8 22 11 ()() ()() () 10 910 95 P AP A P A AP A P A A 12.袋中有 5 個紅球,4 個白球,從中取 3 次,每次取 1 個球. 如果作不放回抽樣,求前 2 次取到紅球,后 1 次取到白球的概率; 如果取到紅球,將紅球拿出,放回 2 個白球,否則不放回,求前 2 次取到紅球,后 1 次取 到白球的概率. 解 設(shè)事件表示第 次取出紅球，前 2 次取到紅球,后 1 次取到白球的概,1,2,3 i A i i 率：； 123121312 5 4 410 ()() () ()0.1587 9 8 763 P A A AP A P A A P A A A 前 2 次取到紅球,后 1 次取到白球的概率： 123121312 5 4 816 ()() () ()0.16 9101199 P A A AP A P A A P A A A 13. 8 支步槍中有 5 支已校準(zhǔn)過,3 支未校準(zhǔn).一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時,中靶的概 率為 0.8;用未校準(zhǔn)的槍射擊時, 中靶的概率為 0.3.現(xiàn)從 8 支步槍中任取一支,求擊中靶子 的概率;若已知中靶了,求所使用的槍是校準(zhǔn)過的概率. 解 設(shè)事件表示擊中靶子，事件表示校準(zhǔn)過步槍，則AB 6 ， ，()0.8, ()0.3P A BP A B 53 ( ), ( ) 88 P BP B ; . 5349 ( )0.80.3 8880 P A ( ) ()40 () ( )49 P B P A B P B A P A 14.現(xiàn)有 6 盒粉筆,其中的 3 盒,每盒有 3 只白粉筆,6 只紅粉筆,記作第一類;另外 2 盒, 每盒有 3 只白粉筆,3 只紅粉筆, 記作第二類;還有 1 盒,盒內(nèi)有 3 只白粉筆,沒有紅粉筆,記 作第三類.現(xiàn)在從這 6 盒中任取 1 只粉筆,求取到紅粉筆的概率;如果知道取到了紅粉筆,求 紅粉筆取自第一類的概率. 解 設(shè)事件表示取到紅粉筆，事件表示在第 類取出的，則A,1,2,3 i B i i 123 63 (), (), (), 96 P A BP A BP A B ; . 3623101 ( ) 6966632 P A 1 2 () 3 P B A 15.若事件相互獨立，證明：, ,A B C 與相互獨立；CAB 與相互獨立;CAB 與相互獨立.ABC 證明：，與相互獨( ()()( ) ( ) ( )( ) ()P C ABP CABP C P A P BP C P ABCAB 立； ( ()()()()()P C ABP CACBP ACP BCP ABC ，與相互獨立;( )( )( )()( ) ()P CP AP BP ABP C P ABCAB ( ()()()()P A BCP ABCP ABP ABC()(1( )P ABP C ，與相互獨立.( ) ( ) ( )( ) ()( ) ()P A P B P CP A P BCP A P BCABC 16 .若事件相互獨立, 計算:,A B( )0.5, ()0.8,P AP AB ;()P AB .()P AB 解 ()( )( )( ) ( )( )0.6P ABP AP BP A P BP B 7 ; .()( ) ( )0.2P ABP A P B()1()1( ) ( )0.7P ABP ABP A P B 17.證明: 若事件的概率,則與任意事件獨立;A( )0P A A 若事件的概率,則事件相互獨立的充分必要條件是A0( )1P A,A B .(|)(|)P B AP B A 證明 設(shè)是任一事件，則，得，與B()0ABAP AB()( ) ( )P ABP A P BA 任意事件獨立； 必要性：若事件相互獨立，則，有,A B()( ) ( )P ABP A P B ，因此， () (|)( ) ( ) P AB P B AP B P A () (|)( ) ( ) P AB P B AP B P A (|)(|)P B AP B A 充分性：若，則，(|)(|)P B AP B A ()( )() ()( ) ( ) ( )1( ) P ABP BP AB P ABP A P B P AP A 因此，事件相互獨立。,A B 18. 三個人獨立地去破譯一份密碼,他們譯出的概率分別為.問能譯出此密碼的 1 1 1 , 5 3 4 概率. 解設(shè)事件表示第 個人獨立地破譯了密碼，則能譯出此密碼的概率：,1,2,3 i A i i 123123 ()1() () ()0.6P AAAP A P A P A 19.當(dāng)危險情況發(fā)生時,自動報警器的電路即自動閉合而發(fā)出警報,我們可以用兩個或多 個報警器并聯(lián),以增加可靠性.當(dāng)危險情況發(fā)生時,這些并聯(lián)中的任何一個報警器電路閉合,就 能發(fā)出警報,已知當(dāng)危險情況發(fā)生時,每一警報器能閉合電路的概率為 0.96.試求: 如果兩個警報器并聯(lián),則報警器的可靠性是多少? 若想使報警器的可靠性達(dá)到 0.999 9,則需要用多少個報警器并聯(lián)? 解 設(shè)事件 表示第 個自動報警器能閉合電路,1,2, i A ini 兩個警報器并聯(lián),則報警器的可靠性是：; 1212 ()1() ()0.9984P AAP A P A 8 . 11 ()1()1 0.040.99993 n n n ii ii PAP An 若想使報警器的可靠性達(dá)到 0.999 9,則至少需要 3 個報警器并聯(lián). 20.設(shè)甲盒子中裝有 3 只藍(lán)球,2 只綠球,2 只白球;乙盒子中裝有 2 只藍(lán)球,3 只綠球,4 只白 球.獨立地分別在兩只盒子中各取一只球. 求至少有一只藍(lán)球的概率; 求有一只藍(lán)球一只白球的概率; 已知至少有一只藍(lán)球,求有一只藍(lán)球一只白球的概率. 解 至少有一只藍(lán)球的概率：； 323 25 ( ) 797 99 P A 有一只藍(lán)球一只白球的概率：； 3 42 216 ( ) 7 97 963 P B 已知至少有一只藍(lán)球,則有一只藍(lán)球一只白球的概率：。 16 () 35 P B A 21.一大樓裝有 5 臺同類型的供水設(shè)備,調(diào)查表明在一小時內(nèi)平均每個設(shè)備使用 6 分鐘, 問在同一時刻， 恰有 2 臺設(shè)備被使用的概率是多少? 至少有 2 臺設(shè)備被使用的概率是多少? 解 恰有 2 臺設(shè)備被使用的概率：； 223 55 19 (2)() ()0.0729 1010 PC 至少有 2 臺設(shè)備被使用的概率：。 55 1 (0)(1)0.08146PP 習(xí)題二習(xí)題二 1將一枚硬幣連拋三次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，記為正面出現(xiàn)的次數(shù),求X 的分布律.X 解 311 0( ), 28 P X ， 12 3 1 13 1( ) 2 28 P XC ， 22 3 113 2( ) 228 P XC 。 311 3( ) 28 P X 2.有 4 個小球和兩個杯子,將小球隨機(jī)地放入杯子中,隨機(jī)變量表示有小球的杯子數(shù),X 求的分布律.X 9 解 4 2 10.125, 2 P X 20.875,P X 3.一袋中裝有 5 只球,編號為 1,2,3,4,5.在袋中同時取 3 只, 隨機(jī)變量表示取出的 3 只X 球中的最大號碼,求的分布律.X 解 3 5 1 30.1,P X C 2 5 3 5 40.3, C P X C 50.6.P X 4一球隊要經(jīng)過四輪比賽才能出線.設(shè)球隊每輪被淘汰的概率為，記表示0.5p X 球隊結(jié)束比賽時的比賽次數(shù)，求的分布律.X 解 10.5,P X 2 20.50.25,P X 3 30.5 ,P X 40.125.P X 5.進(jìn)行重復(fù)獨立試驗,設(shè)每次試驗成功的概率為,失敗的概率為.1qp (1)將試驗進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止,以表示所需的試驗次數(shù),求的分布律(此時稱XX 服從參數(shù)為的幾何分布).Xp (2)將試驗進(jìn)行到出現(xiàn)次成功為止,以表示所需的試驗次數(shù),求的分布律(此時稱rYY 服從參數(shù)為的負(fù)二項分布分布或巴斯卡分布).Y, r p 解 (1) ； 1 ,1,2, k P Xkpqk (2) 1 1 ,1, rrk r k P YkCp qkr r 6.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為X 2 ( ) ,1,2, 3 k P XkAk 求 A 的值及概率.13PX 解 ， 1 21 ( )1 32 k k AA 19 13123 27 PXP XP XP X 7.一大批電子元件有 10%已損壞,若從這批元件中隨機(jī)選取 20 只來組成一個線路,問這 線路能正常工作的概率是多少？ 解 設(shè)隨機(jī)變量表示線路中電子元件損壞的個數(shù)，則，線路能正常X(20,0.1)XB 工作的概率：。 20 0(0.9)0.12158P X 10 8某高速公路每周發(fā)生的汽車事故數(shù)服從參數(shù)為 3 泊松分布， (1)求每周事故數(shù)超過 4 個的概率； (2)求每周事故數(shù)不超過 3 個的概率. 解 設(shè)隨機(jī)變量表示事故數(shù)，則，(1)每周事故數(shù)超過 4 個的概率：X(3)XP ， 4 1 410.1847 i P XP Xi (2)每周事故數(shù)不超過 3 個的概率：。 3 1 30.6472 i P XP Xi 9某城市在長度為 （單位：小時）的時間間隔內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)服從參數(shù)為tX 的泊松分布，且與時間間隔的起點無關(guān)，求下列事件的概率：0.5t （1）某天中午 12 時至下午 15 時發(fā)生火災(zāi)； （2）某天中午 12 時至下午 16 時至少發(fā)生兩次火災(zāi). 解 (1) ，中午 12 時至下午 15 時發(fā)生火災(zāi)的概率：(1.5)XP 1.5 11.50.334695;P Xe (2) ，中午 12 時至下午 16 時至少發(fā)生兩次火災(zāi)的概率：(2)XP 2 21011 30.59399.P XP XP Xe 10一工廠有 20 臺機(jī)器，每臺機(jī)器在某日發(fā)生故障的概率是 005，每臺機(jī)器是否發(fā) 生故障相互獨立。 (1)用二項分布計算其中有 2 臺機(jī)器發(fā)生故障的概率； (2)用泊松分布近似計算 2 臺機(jī)器發(fā)生故障的概率。 解 設(shè)隨機(jī)變量表示機(jī)器發(fā)生故障的個數(shù)，則，(1)有 2 臺機(jī)器發(fā)X(20,0.05)XB 生故障的概率： 2218 20 2(0.05) (0.95)0.1887.P XC (2)用泊松分布近似計算 2 臺機(jī)器發(fā)生故障的概率： 11 20.1839. 2 P Xe 11若一年中某類保險者里面每個人死亡的概率等于 0.005，現(xiàn)有 10000 個人參加這類人壽 保險，試求在未來一年中在這些保險者里面， 有 40 個人死亡的概率; 死亡人數(shù)不超過 70 個的概率. 11 解 設(shè)隨機(jī)變量表示死亡人數(shù)，則，X(10000,0.005)XB （1）有 40 個人死亡的概率； 40409960 10000 40(0.005) (0.995)0.0214P XC （2）死亡人數(shù)不超過 70 個的概率。 70 10000 10000 0 70(0.005) (0.995)0.997 kkk k P XC 12. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X X0 2 4 k p 0.04 0.32 0.64 求隨機(jī)變量的分布函數(shù).X 解 0,0 0.04, 02 ( ) 0.36,23 1,3 x x F x x x 13. 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度X ,( )f x 2 2 1,11 0, xx 其他 求 隨機(jī)變量 的分布函數(shù). X( )F x 解 。 22 1 0,10,1 211 ( )1, 111arcsin,11 2 1,11,1 x xx x F xx dxxxxx xx 14. 已知隨機(jī)變量的概率密度X ( )f x ,01 0, c x x 其他 (1)確定常數(shù)c； (2)求分布函數(shù) ；( )F x （3）求概率PX 0.5和PX=0.5. 解 (1); 1 0 11 1 2 cdxc x 12 (2) ; 0 0,0 0,0 1 ( ),01,01 2 1,1 1,1 x x x F xdxxxx x x x (3) PX 0.5，PX=0.5=0. 2 0.5(0.5) 2 P XF 15.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度X ,01 ( ),12 0, xx f xAxx 其他 （1）確定常數(shù)A； （2）求分布函數(shù) ；( )F x （3）求概率.) 15 . 0( XP 解(1) ; 12 01 ()12xdxAx dxA (2) ; 2 0 12 01 0,0 0,0 , 01 , 01 2 ( ) (2),12 21,12 2 1,2 1,2 x x x x x x xdxx F x x xdxx dxx xx x x (3) . 3 (0.51)(1)(0.5) 8 PXFF 16.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為.求：XxBAxFarctan)( （1）常數(shù) A，B； （2）隨機(jī)變量的概率密度. X)(xf 解 (1)； 1 ()1 11 2 , ()02 0 2 AB F AB F AB (2) . 2 111 ( )( )(arctan ) 2 (1) f xF xx x 17.設(shè)隨機(jī)變量X 在 2，5 上服從均勻分布， 現(xiàn)對X 進(jìn)行三次獨立觀測，試求至少有 13 兩次觀測值大于3 的概率. 解 隨機(jī)變量X 在 2，5 上服從均勻分布，； 2 3 3 P X 設(shè)隨機(jī)變量表示三次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù)，則Y 2 (3, ) 3 YB 至少有兩次觀測值大于3 的概率：。 223 3 21220 2( )( ) 33327 P YC 18.設(shè)某類日光燈管的使用壽命X (小時) 服從參數(shù)為1/2000的指數(shù)分布， (1) 任取一只這種燈管，求能正常使用1000 小時以上的概率； (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時以上，求還能使用1000 小時以上的概 率. 解（1）； 11 20002 1000 1 10000.607 2000 x P Xedxe （2） 11 2 1 2 2000 200010000.607 1000 P Xe P XXe P X e （這是指數(shù)分布的重要性質(zhì)：“無記憶性”）. 19從某地乘車往火車站有兩條路線可走,第一條路線穿過市區(qū),路程較短,但交通擁擠,所 需時間；第二條路線走環(huán)線,路程較遠(yuǎn),但意外阻塞少,所需時間X(50,100)NY .(60,16)N 若有 70 分鐘時間可用,問應(yīng)走哪條路線? 若只有 65 分鐘時間可用,問又應(yīng)走哪條路線？ 解 ， 7050 (70)()(2)0.9772 10 P X ， 7060 (70)()(2.5)0.9938 4 P Y 若有 70 分鐘時間可用,走線路一趕到的概率是 0.9772, 走線路二趕到的概率是 0.9938,應(yīng) 走第二條路線. ， 6550 (65)()(1.5)0.9332 10 P X ， 6560 (65)()(1.25)0.8944 4 P Y 若只有 65 分鐘時間可用, 走線路一趕到的概率是 0.9332, 走線路二趕到的概率是 0.8944, 應(yīng)走第一條路線. 14 20. 設(shè)，求的概率密度.1,2XU 2x Ye y fy 解 ； 22411 ln , 22 xdx yexyeye dyy 1,12 0, X x fx 其他 241 , 2 0, y eye yfy 其他 21. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度X 其它,0 10),1(6 )( xxx xfX 求隨機(jī)變量的概率密度.12XY)(yfY 解 ； 11 21,13 22 ydx yxxy dy 11 13 6(1),13(1)(3),13 2224 0,0, y yy yyyy fy 其他其他 22. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度X ,0 ( ) 0,0 x X ex fx x （1）求隨機(jī)變量的概率密度； X Ye( ) Y fy (2）求概率.(12)PY 解 （1）； 1 ln ,1 x dx yexyy dyy ； ln 2 11 ( ),1 y Y fyey yy （2） . 2 2 1 1 (12)0.5PYdy y 23. 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨立，且服從同一分布，X 的分布律為 PX = 0 = P X = 1 )= 1/2，求：Z = max X, Y 的分布律. 解 15 0, 00,00.25P ZP max X YP XY 75 . 0 25 . 0 10 ),max(YXZ 習(xí)題三習(xí)題三 1. 設(shè)隨機(jī)變量在 1，2，3，4 四個整數(shù)中等可能地取一個值，另一個隨機(jī)變量在XY 1X 中等可能取一整數(shù)值。試求的分布律.),(YX 解 的分布律：),(YX X Y 12 3 4 11/41/8 1/12 1/16 201/8 1/12 1/16 300 1/12 1/16 400 01/16 2. 若甲袋中有 3 個黑球 2 個白球，乙袋中有 2 個黑球 8 個白球。現(xiàn)拋擲一枚均勻硬幣， 若出現(xiàn)正面則從甲袋中任取一球，若出現(xiàn)反面則從乙袋中任取一球，設(shè) 0,0, 11 XY 反面向上取到白球 正面向上取到黑球 ， ， 求:（1）的聯(lián)合分布律；(, )X Y （2）判斷與是否獨立.XY 解 （1），聯(lián)合分布律： 1 84 (0,0)(0) (00) 21010 P XYP XP YX(, )X Y X Y 0 1 04/102/10 11/103/10 （2），與不獨立. 4 (0,0) 10 P XY 1 33 (0) (0) 2 510 P XP YXY 3. 將一枚均勻硬幣拋擲三次，以表示在 3 次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示在 3 次中XY 出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值. 求:（1）的聯(lián)合分布律； (, )X Y （2）判斷與是否獨立.XY 16 解 ，的取值有 1 和 3. (3)23YXXXY ，(0,0)(0,12)0P XYP XXX ， 1 (0,3)(0,03)(0) 8 P XYP XXXP X 的聯(lián)合分布律：(, )X Y X Y 0123 103/83/80 31/8001/8 （2），與不獨立。(0,1)0P XY 1 33 (0) (1) 8 432 P XP YXY 4. 設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為),(YX ( , )(arctan )(arctan )F x yA Bx Cy 求:（1）常數(shù)、；ABC （2）的概率密度;),(YX),(yxf (3)邊緣分布函數(shù).( ),( ) XY Fx Fy 解 (1) ，, (,)()()1 22 (0,)()0 2 (,0)()0 2 FA BC FAB C FA BC 2 1/A/ 2BC (2) ，, 2 ( , ) ( , ) F x y f x y x y 222 1 ( , ) (1)(1) f x y xy (3) . 1 ( )( ,)(arctan ), 2 X FxF xx ( )(, ) Y FyFy 1 (arctan ) 2 y 5. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為YX, (6),02,24 0, kxyxy f x 其他 求:(1)常數(shù);k (2)概率;1,3P XY 17 (3) 概率.4P XY 解 (1) , 24 02 (6)1kdxxy dy 1 8 k (2) 3/8, 13 02 13 1,3(6) 88 P XYdxxy dy (3) . 24 02 12 4(6) 83 x P XYdxxy dy 6. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度YX, . 其它, 0 0, 0, ),( )( yxe yxf yx 求：（1）隨機(jī)變量和的邊緣概率密度和；XY)(xfX)(yfY （2）概率.)(YXP 解 (1) , () 0 ,0 ,0 0,0 0,0 x y x X edy x ex fx x x , () 0 ,0 ,0 0,0 0,0 x y y Y edx y ey fy y y (2) () 0 ()0.5 x y x P XYdxedy 7.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度YX, 其它, 0 0, 0,6 ),( )32( yxe yxf yx 求:（1）隨機(jī)變量和的邊緣概率密度，；XY)(xfX)(yfY （2）隨機(jī)變量與獨立是否獨立？ XY 解（1）， (23 )2 0 6,020 ( ) 0,0 0,0 xyx X edy xe fx x x ， (23 )3 0 6,03,0 ( ) 0,0 0,0 xyy Y edx yey fy y y （2），與獨立。( , )( )( ) XY f x yfx fyXY 8. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 YX, 18 . 其他, 0 0 , ),( yxe yxf y 求:(1)邊緣密度函數(shù);）（），（yfxf YX (2)概率;）（1YXP (3) 是否獨立?YX, 解 (1) , ,0 ,0 0,0 0,0 y x x X e dy x ex fx x x 0 ,0 ,0 0,0 0,0 y y y Y e dx y yey fy y y (2) =, 1 1 2 0 1 x y x P XYdxe dy （）= 11/2 12ee (3) ，不獨立.( , )( )( ) XY f x yfx fyYX, 9. 甲乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)的 時刻是等可能的。如果甲船的停泊時間是一小時，乙船的停泊時間是兩小時，求它們中的 任何一艘都不需要等候碼頭空出的概率（結(jié)果保留使三位小數(shù) ）. 解 設(shè)甲船到達(dá)的時刻是，乙船到達(dá)的時刻是，則獨立同分布均勻分布，XYYX,(0,24)U 任何一艘都不需要等候碼頭空出： ，D1,2XYYX 任何一艘都不需要等候碼頭空出的概率： 。 22 22 11 2223 1 22 (, )0.879 2424 D PX YDdxdy 10. 一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時間均勻分布在 812 時，他的秘書到達(dá)辦公室的時間均勻 分布在 79 時，設(shè)他們兩人到達(dá)的時間相互獨立。求他們到達(dá)辦公室的時間相差不超過 5 分鐘的概率. 解 設(shè)負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時間是，秘書到達(dá)辦公室的時間是，則獨立，XYYX, ，他們到達(dá)辦公室的時間相差不超過 5 分鐘：(8,12),(7,9)XUYUD 1 12 XY 他們到達(dá)辦公室的時間相差不超過 5 分鐘的概率： 19 。 11 11 124 248 D PXYdxdy 11. 設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的概率密度為X2 . 0 , 0UY 0, 0 0,5 )( 5 y ye yf y Y 且與相互獨立.求：XY （1）的聯(lián)合概率密度；),(YX