測(cè)量誤差及其產(chǎn)生的原因.ppt

1,測(cè)量誤差及其產(chǎn)生的原因 測(cè)量誤差的分類與處理原則 偶然誤差的特性 精度評(píng)定的指標(biāo) 誤差傳播定律及其應(yīng)用,第五章 測(cè)量誤差基本知識(shí),本章主要內(nèi)容如下：,2,一、觀測(cè)誤差 當(dāng)對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行觀測(cè)，其觀測(cè)值與真值(客觀存在或理論值)之差，稱為測(cè)量誤差。 用數(shù)學(xué)式子表達(dá)： i = Li X (i=1,2n) L 觀測(cè)值 X真值,5-1 測(cè)量誤差概述,1、儀器的原因 儀器結(jié)構(gòu)、制造方面，每一種儀器具有一定的精確度，因而使觀測(cè)結(jié)果的精確度受到一定限制。,二、測(cè)量誤差的來(lái)源 測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因很多，但概括起來(lái)主要有以下三個(gè)方面：,3,例 如： DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀基本分劃為1，難以確保分以下 估讀值完全準(zhǔn)確無(wú)誤。 使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，難以保證厘米以下估讀值的準(zhǔn)確性。,儀器構(gòu)造本身也有一定誤差。 例 如： 水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)軸不平行，則測(cè)量結(jié)果中含有i 角誤差或交叉誤差。 水準(zhǔn)尺的分劃不均勻，必然產(chǎn)生水準(zhǔn)尺的分劃誤差。,4,2、人的原因 觀測(cè)者感官鑒別能力有一定的局限性。觀測(cè)者的習(xí)慣因素、工作態(tài)度、技術(shù)熟練程度等也會(huì)給觀測(cè)者成果帶來(lái)不同程度的影響。,人、儀器和外界環(huán)境通常稱為觀測(cè)條件； 觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)稱為等精度觀測(cè)； 觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)稱為不等精度觀測(cè)。,3、外界條件 例如：外界環(huán)境如溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素的變化，均使觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生誤差。 例如：溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮陽(yáng)光曝曬使水準(zhǔn)氣泡偏移，大氣折光使望遠(yuǎn)鏡的瞄準(zhǔn)產(chǎn)生偏差，風(fēng)力過(guò)大使儀器安置不穩(wěn)定等。,5,三、測(cè)量誤差的分類,先作兩個(gè)前提假設(shè)： 觀測(cè)條件相同. 對(duì)某一量進(jìn)行一系列的直接觀測(cè)在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值 、符號(hào)及變化規(guī)律。,6,先看兩個(gè)實(shí)例： 例1：用名義長(zhǎng)度為30米而實(shí)際長(zhǎng)度為30.04米的鋼尺量距。 丈量結(jié)果見(jiàn)下表5-1： 表5-1,可以看出： 誤差符號(hào)始終不變，具有規(guī)律性。 誤差大小與所量直線成 正比，具有累積性。 誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的危害性很大。,7,例 2： 在厘米分劃的水準(zhǔn)尺上估讀毫米時(shí)，有時(shí)估讀過(guò)大，有時(shí)估過(guò)小，每次估讀也不可能絕對(duì)相等，其影響大小，純屬偶然。 大氣折光使望遠(yuǎn)鏡中目標(biāo)成像不穩(wěn)定，則瞄準(zhǔn)目標(biāo)有時(shí)偏左、有時(shí)偏右。,可以看出： 從個(gè)別誤差來(lái)考察，其符號(hào)、數(shù)值始終變化，無(wú)任 何規(guī)律性。 多次重復(fù)觀測(cè)，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。,8,1.系統(tǒng)誤差 - 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果出現(xiàn)的誤差在符號(hào)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。 系統(tǒng)誤差具有規(guī)律性。,2.偶然誤差-在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列 的觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面 上看沒(méi)有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差”。 個(gè)別偶然誤差雖無(wú)規(guī)律，但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,3.粗差-觀測(cè)中的錯(cuò)誤叫粗差。 例如：讀錯(cuò)、記錯(cuò)、算錯(cuò)、瞄錯(cuò)目標(biāo)等。 錯(cuò)誤是觀測(cè)者疏大意造成的，觀測(cè)結(jié)果中不允許有錯(cuò)誤。 一旦發(fā)現(xiàn)，應(yīng)及時(shí)更正或重測(cè)。,引進(jìn)如下概念：,9,(二) 測(cè)量誤差的處理原則,在觀測(cè)過(guò)程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時(shí)產(chǎn)生。 系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響尤為顯著，應(yīng)盡可能地加以改正、抵消或削弱。 對(duì)可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時(shí)間的多次觀測(cè)，消弱其影響。 消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法： 檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 求改正數(shù)：將觀測(cè)值加以改正，消除其影響。 采用合理的觀測(cè)方法：如對(duì)向觀測(cè)。 研究偶然誤差是測(cè)量學(xué)的重要課題。 消除或削弱偶然誤差的有效方法： 適當(dāng)提高儀器等級(jí)。 進(jìn)行多余觀測(cè)，求最或是值。,10,四、 偶然誤差的特性,若i= Li X （i=1,2,3,358）,表5-2,11,從表5-2中可以歸納出偶然誤差的特性, 在一定觀測(cè)條件下的有限次觀測(cè)中，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值； 絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的頻率?。?絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率； 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的理論平均值趨近于零。 用公式表示為： 實(shí)踐表明：觀測(cè)誤差必然具有上述四個(gè)特性。而且，當(dāng)觀測(cè)的個(gè)數(shù)愈大 時(shí)，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。,為了直觀地表示偶然誤差的正負(fù)和大小的分布情況，可以按表5-2的數(shù)據(jù)作誤差頻率直方圖(圖5-1)。,12,-24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 圖5-1 頻率直方圖,13,若誤差的個(gè)數(shù)無(wú)限增大(n)，同時(shí)又無(wú)限縮小誤差的區(qū)間d，則圖5-1中各小長(zhǎng)條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為“正態(tài)分布曲線”，它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率P。 即當(dāng)n時(shí)，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。 正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式為 : (5-3) 為標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差的平方為 方差。,14,從5-3式可以看出正態(tài)分布具有前述的偶然誤差特性。即: 1.f()是偶函數(shù)。即絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差求得的f()相等，所以曲線對(duì)稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。 2.愈小，f()愈大。當(dāng)=0時(shí)，f()有最大值; 反之，愈大，f()愈小。當(dāng)n時(shí)，f() 0,這就是偶然誤差的第一和第二特性。 3.如果求f()二階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐點(diǎn)橫坐標(biāo)： 拐= 如果求f()在區(qū)間 的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的相對(duì)次數(shù)是某個(gè)定值 ，所以當(dāng) 愈小時(shí)，曲線將愈陡峭，即誤差分布比較密集；當(dāng) 愈大時(shí)，曲線將愈平緩，即誤差分布比較分散。由此可見(jiàn)，參數(shù) 的值表征了誤差擴(kuò)散的特征。,15,f(),+,-,1,1,1,2,1,-,+,f(),2,+,-,2,2,1,2,2,1,16,觀測(cè)條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù) ； 觀測(cè)條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù) ； 具有較小 的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較陡的趨勢(shì)迅速下降； 具有 較大 的誤差曲線，自最大縱坐標(biāo)點(diǎn)向兩側(cè)以較平緩的趨勢(shì)伸展。,最大縱坐標(biāo)點(diǎn)：,17,5-2 衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn),一.中誤差 誤差的概率密度函數(shù)為： 標(biāo)準(zhǔn)差,在測(cè)量工作中，觀測(cè)個(gè)數(shù)總是有限的，為了評(píng)定精度，一般采用下述誤差公式： 標(biāo)準(zhǔn)差中誤差 m 的不同在于觀測(cè)個(gè)數(shù) n 上； 標(biāo)準(zhǔn)差表征了一組同精度觀測(cè)在(n)時(shí)誤差分布的擴(kuò)散特征，即理論上的觀測(cè)指標(biāo)； 而中誤差則是一組同精度觀測(cè)在為 n 有限個(gè)數(shù)時(shí)求得的觀測(cè)精度指標(biāo)； 所以中誤差是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值估值； 隨著 n 的增大，m 將趨近于。,18,必須指出： 同精度觀測(cè)值對(duì)應(yīng)著同一個(gè)誤差分布，即對(duì)應(yīng)著同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值即為中誤差。 同精度觀測(cè)值具有相同的中誤差。 例3: 設(shè)對(duì)某個(gè)三角形用兩種不同的精度分別對(duì)它進(jìn)行了10次觀測(cè)，求得每次觀測(cè)所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為 第一組： +3, -2, -4,+2,0,-4,+3, +2, -3, -1； 第二組： 0, -1, -7,+2,+1,+1,- 8, 0, +3, -1. 試求這兩組觀測(cè)值的中誤差。 由 解得：m1=2.7 m2=3.6 可見(jiàn)：第一組的觀測(cè)精度較第二組觀測(cè)精度高。,19,二、容許誤差（極限誤差）,根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d中的概率： p()=f()d 設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為： 分別以k=1,2,3代入上式，可得： P(m)=0.683=68.3 P(2m)=0.955=95.5 P(3m)=0.997=99.7 由此可見(jiàn)：偶然誤差的絕對(duì)值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5，而大于3倍的誤差僅占誤差總數(shù)的0.3。 由于一般情況下測(cè)量次數(shù)有限，3倍中誤差很少遇到， 故以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“容許誤差”，或 稱為“限差”即容=2m,20,三、相對(duì)誤差,在某些測(cè)量工作中，對(duì)觀測(cè)值的精度僅用中誤差來(lái)衡量還不能正確反映觀測(cè)的質(zhì)量。 例如: 用鋼卷尺量200米和40米兩段距離，量距的中誤差都是2cm，但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的，因?yàn)榱烤嗟恼`差與其長(zhǎng)度有關(guān)。 為此，用觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比的形式來(lái)描述觀測(cè)的質(zhì)量。即m/L來(lái)評(píng)定精度，通常稱此比值為相對(duì)中誤差。 相對(duì)中誤差又可要求寫成分子為1的分式，即 。 上例為 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可見(jiàn): 前者的精度比后者高。 與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對(duì)誤差。,21,5-3 誤差傳播定律,若 Z=F（x1,x2,x3,，xn） 式中xi(i=1,2,3,，n)為獨(dú)立觀測(cè)值，其中誤差為mi (i=1,2,3,，n),求觀測(cè)值函數(shù)的中誤差mz。當(dāng)觀測(cè)值xi分別具有真誤差xi時(shí)，則函數(shù)z也隨之產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差z 。 由數(shù)學(xué)分析可知，變量與函數(shù)的之間的誤差關(guān)系可近似用函數(shù)的全微分表達(dá)，即,22,一般函數(shù)： 倍數(shù)函數(shù)： 和差函數(shù)： 線性函數(shù)：,一、誤差傳播定律主要公式,23,二、誤差傳播定律的應(yīng)用,應(yīng)用誤差傳播定律求觀測(cè)值函數(shù)的精度時(shí)，可按下述步驟進(jìn)行： 1、按問(wèn)題性質(zhì)先列出函數(shù)式： 2、對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分，得出函數(shù)真誤差與觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式 3、將真誤差形式轉(zhuǎn)換成中誤差形式 注意：各觀測(cè)值之間必須互相獨(dú)立。,24,誤差傳播定律的應(yīng)用,例題：設(shè)有函數(shù) 式中:s =150.11m，其中誤差ms =0.05m =1194500， 其中誤差m=20.6；求z的中誤差mz 解：因?yàn)?所以：,25,誤差傳播定律的應(yīng)用,水準(zhǔn)測(cè)量的高差中誤差： 若 hAB=h1+h2+hn 設(shè)每站高差中誤差均為m站，則有 mhAB=n m站 即水準(zhǔn)測(cè)量高差中誤差與測(cè)站數(shù)的平方根成正比。 若水準(zhǔn)路線為平坦地區(qū)，則每測(cè)站間距離S大致相等，設(shè)AB路線總長(zhǎng)為L(zhǎng)，則測(cè)站數(shù)n=L/S，則： 即水準(zhǔn)測(cè)量高差中誤差與距離的平方根成正比。,26,由三角形閉和差求測(cè)角中誤差,27,5-4 等精度直接觀測(cè)平差,直接平差 等精度直接平差 不等精度直接平差 一、平差原則 按最小二乘原理 例如：測(cè)的某三角形的三個(gè)內(nèi)角的觀測(cè)值： 其閉合差 為消除閉合差，須對(duì)三個(gè)角度進(jìn)行改正，即,28,滿足條件的改正數(shù)可以有無(wú)限多組，見(jiàn)下表： 根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)使,29,二、等精度直接平差 （一）求最或然值算術(shù)平均值 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行n次觀測(cè)，其值分別為l1，l2，ln，其算術(shù)平均值為 （二）觀測(cè)值的改正數(shù) 算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差稱為觀測(cè)值的改正值（v）: 一組觀測(cè)值取算術(shù)平均值后，其改正值之和恒等于零。,30,（三）精度評(píng)定 1、觀測(cè)值的中誤差： 2、算術(shù)平均值的中誤差：,31,5-5、不等精度直接平差,（一）權(quán)與單位權(quán),例如：對(duì)某量分兩組觀測(cè)，第一組觀測(cè)2次，第二組觀測(cè)4次。每次觀測(cè)精度同，其中誤差都為m，求由兩組觀測(cè)結(jié)果計(jì)算該量的最或然值。,32,33,（二）不等精度觀測(cè)值的最或然值 （三）不等精度觀測(cè)值最或然值的中誤差 （四）單位權(quán)中誤差,34,本章小結(jié)： 1.測(cè)量誤差及其產(chǎn)生的原因 儀器的原因 人的原因 外界環(huán)境的影響 2.測(cè)量誤差的分類與處理原則 系統(tǒng)誤差 - 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果出現(xiàn)的誤差在符號(hào)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。 偶然誤差-在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒(méi)有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差”。,35, 誤差的處理原則 系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響顯著，應(yīng)盡可能地加以改正、抵消或削弱。對(duì)情況不明的系統(tǒng)誤差，采用不同時(shí)間的多次觀測(cè)。 消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法： 檢校儀器： 求改正數(shù) 采用合理的觀測(cè)方法。 研究偶然誤差是測(cè)量學(xué)的重要課題。 消除或削弱偶然誤差的有效方法： 適當(dāng)提高儀器等級(jí) 進(jìn)行多余觀測(cè)，求最或是值。,36, 在一定觀測(cè)條件下的有限次觀測(cè)中，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值； 絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的頻率?。?絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的頻率； 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的理論平均值趨近于零。