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第一節(jié) 行列式,主對角線,副對角線,對角線法則,1、二階行列式的計算,二、三階行列式,定義,記,（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.,三階行列式的計算,(2)對角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三 元素的乘積冠以負號,說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式,例1,解,按對角線法則，有,3、 三角行列式,二、行列式的性質(zhì),性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.,行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式.,記,故,證畢,性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號.,證明,設(shè)行列式,說明 行列式中行與列具有同等的地位,因此行列 式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.,是由行列式 變換 兩行得到的,推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.,證明,互換相同的兩行，有,性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行列式.,推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面,性質(zhì) 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零,證明,性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.(克萊姆法則),則D等于下列兩個行列式之和：,例如,性質(zhì) 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變,例如,例2 計算 階行列式,解,三、行列式按行（列）展開法則,叫做元素 的代數(shù)余子式,例如,引理 一個 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 ,例如,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,例5,一、克拉默法則,如果線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零，即,其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程 組右端的常數(shù)項代替

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