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矩陣的特征值與特征向量,一. 特征值與特征向量的求法,1.利用定義求特征值與特征向量,注：用定義求特征值與特征向量，最重要的是求出特征值. 為此，首先求出矩陣的特征多項(xiàng)式，并將它按降冪排列，然后通過試根或因式分解將其化為一次式的乘積，從而求出特征值. 求特征向量即求齊次方程組 (A-E)x=0 的基礎(chǔ)解系.,2.利用公式求特征值與特征向量,二. A 與對(duì)角陣相似的解題方法,注：當(dāng)矩陣有重特征值時(shí)，我們用定理“A 與對(duì)角陣相似的充要條件為 r(A-iE)=n-ri”來判定 A 能否與對(duì)角陣相似，其中ri為特征值 i的重?cái)?shù)，n 為矩陣 A 的階數(shù).,注：矩陣相似對(duì)角化的步驟：(1) 求出 A 的所有特征值 1, 2, n ，若 1, 2, n 互異，則 A 與對(duì)角陣相似；若1, 2, n中互異的為 1, 2, m，每個(gè)i 的重?cái)?shù)為 ri，當(dāng) r(A- i E)=n- ri時(shí)(i=1,2,m)，A 與對(duì)角陣相似；否則 A 不能與對(duì)角陣相似.,(2) 當(dāng) A 與對(duì)角陣相似時(shí)，求出 A 的 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 1, 2, , n，并令 P=(1, 2, , n)，則 P 可逆，且 P-1AP=.,注：對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣 A，一定有可逆陣 P，使 P1AP為對(duì)角陣，P的列向量為 A 的特征向量，對(duì)角陣中主對(duì)角線上的元素為 A 的特征值，而且也一定有正交陣 Q，使 Q1AQ 為對(duì)角陣. 當(dāng) A 的特征值互異時(shí)，其特征向量?jī)蓛烧?，只需將特征向量單位化，即可求得正交?Q；當(dāng) A 有 k 重特征值時(shí)，這個(gè)k 重特征值一定對(duì)應(yīng)有 k 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，用施密特正交化方法將其化為兩兩正交的向量并單位化，就求出正交陣 Q 來了.,三.

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