函數的單調性[上學期]江蘇教育版1.ppt

函數的單調性,創(chuàng)設情境，引入新課 建立函數的目的是研究函數值與自變量的關系，自變量的變化對函數值變化的影響是經常受到關注的問題例如水位的漲落隨時間變化的規(guī)律，是防澇抗旱工作中必須解決的實際問題下面我們開始研究函數在這方面的一個主要性質函數的單調性,下面是某一天溫度的變化圖象：,1、在上午6時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？,2、什么時刻氣溫是0度？,3、在什么時段內，氣溫在0度以上？,4、說出這一天的氣溫變化趨勢，怎樣用數 學語言刻畫這一特征。,問題1:,問題1、觀察自己所作函數圖象，并指出圖象的變化的趨勢,學生活動,自己作出下列函數的圖象：,-1,問題2：你能明確說出“圖象呈下降趨勢”的意思嗎？,在某一區(qū)間內； 當x的增大時，函數值y反而減小,學生討論,圖象在該區(qū)間內呈下降趨勢；,問題3：你能明確說出“圖象呈上升趨勢”的意思嗎？,在某一區(qū)間內； 當x的增大時，函數值y也增大,學生討論,結論,圖象在該區(qū)間內呈上升趨勢；,在某一區(qū)間內 當x的增大時，函數值y反而減小,圖象在該區(qū)間內呈下降趨勢；,在某一區(qū)間內 當x的增大時，函數值y也增大,圖象在該區(qū)間內呈上升趨勢；,函數的這 種性質稱為函數的單調性。,X不斷增大，f(x)也不斷增大,0,X,Y,X1,X2,f(X1),f(X2),Y,X,0,X不斷增大，f(x)不斷減小,X1,X2,f(X2),f(X1),函數f (x)在給定區(qū)間上為增函數。,如何用x與 f(x)來描述上升的圖象？,如何用x與 f(x)來描述下降的圖象？,函數f (x)在給定區(qū)間上為減函數。,如果對于屬于定義域I內的某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1 、x2，當x1x2時，都有f（x1） f（x2），那么就說f（x）.,在這個區(qū)間上是增函數.,如果對于屬于定義域I內的某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1 、x2，當x1x2時，都有f（x1） f（x2），那么就說f（x） .,在這個區(qū)間上是減函數.,增函數與減函數定義,建構數學,說明1,函數y=f(x)在區(qū)間D上是增函數或減函數，就稱函數y=f(x)在區(qū)間D上具有單調性， D稱為函數的單調區(qū)間。,說明2,說函數的單調性必須指出所對應的單調區(qū)間,單調區(qū)間可能是定義域的一部分(如:y=x2),也可能是全部定義域(如:y=x3);一個函數在定義域內可以劃分出若干個單調區(qū)間,不同的單調區(qū)間上可以表現(xiàn)出不同的單調性.,增函數和減函數的定義中兩個變量x1,x2: 1. 必須在同一單調區(qū)間上; 2. 必須是任意的,不能用定值代替; 3. 必須設定它們的大小關系后,比 較y1,y2 的大小才有意義.,例:下圖是定義在5，5上的函數yf（x）的圖象，根據圖象說出yf（x）的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上， yf（x）是增函數還是減函數.,解：,yf（x）的單調區(qū)間有,5，3），3，1）,1，3），3，5.,其中yf（x）在5，3）， 1，3）上,是減函數，,在3，1）， 3，5）上是增函數.,數學應用,1. 如圖,已知y=f(x) 的圖象(包括端點),根據圖象說出函數的單調區(qū)間,以及在每一單調區(qū)間上,函數是增函數還是減函數.,作圖是發(fā)現(xiàn)函數單調性的法之一,演練反饋,單調遞增區(qū)間：,單調遞減區(qū)間：,例1：證明函數f(x)=2x+1在區(qū)間(-,+)上是增函數。,注意：我們在證明函數的單調性時，不能“以圖代證”, 而是嚴格按照定義證明.,回想一下,定義的本質是什么?本題怎樣用定義來證明?,證明：,（條件）,（論證結果）,（結論）,例1：證明函數f(x)=2x+1在區(qū)間(-,+)上是增函數。,證明函數單調性的步驟：,第一步：取值.即任取區(qū)間內的兩個值，且x1x2,第二步：作差變形.將f(x1)f(x2)通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形。,第三步：定號.確定差的符號，適當的時候需要進行討論。,第四步：判斷.根據定義作出結論。,取值,作差變形,定號,判斷,證明：,設x1，x2（0，+），且x1x2，則,減函數,例2：判斷函數f(x)=1/x在區(qū)間(0,+)上是增函數還是減函數？并證明你的結論。,f(x)在定義域 上是減函數嗎？,解：,函數 f（x） x21 在（0，）上是增函數.,下面給予證明：,設x1，x2（0，），且x1x2,函數f（x）x21在（0，）上是增函數.,例3：判斷函數f(x)=x2+1在區(qū)間(0,+)上是增函數還是減函數？并給予證明。,演練反饋,2.求證：函數y= - 5x+3在R上為減函數.,3.求證：函數f (x) = -x3 + 1在(- , + )上是減函數. (能力提高題),證明: 設x1 ,x2R 且 x1 x2, x1 x2 x1 x2 0,則 f (x2)f (x1) =(x23 + 1) (x13 + 1) = x13 x23 = (x1 x2)(x12 + x1x2 + x22),f(x1) f (x2),f(x) = x3 + 1在(, + )上是減函數.,小結：,（1）單調遞增函數的定義：一般地，設函數f(x)的定義域為I,如果對于屬于I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1x2時都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數。,（2）單調遞減函數的定義：一般地，設函數f(x)的定義域為I,如果對于屬于I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數。,x1,x2,y1,y2,x2,x1,y1,y2,小結