2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第7節(jié)雙曲線教學(xué)案文含解析北師大版.docx

第七節(jié)雙曲線考綱傳真1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡單應(yīng)用1雙曲線的定義(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|的點(diǎn)的集合叫作雙曲線，定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0.當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|2a，線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)3.等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為yx，離心率為e.三種常見雙曲線方程的設(shè)法(1)若已知雙曲線過兩點(diǎn)，焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為Ax2By21(AB0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線(m0，n0，0)的漸近線方程是0，即0()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于()答案(1)(2)(3)(4)2雙曲線1的焦距為()A5BC2D1C由雙曲線1，易知c2325，所以c，所以雙曲線1的焦距為2.3(教材題改編)已知雙曲線1(a0)的離心率為2，則a()A2 B C D1D依題意，e2，2a，則a21，a1.4設(shè)P是雙曲線1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點(diǎn)，若|PF1|9，則|PF2|_.17由題意知|PF1|9ac10，所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.5已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為_y21由題意可得解得a2，則b1，所以雙曲線的方程為y21.雙曲線的定義及應(yīng)用1. 已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2()ABCDC由雙曲線的定義有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，則cosF1PF2.選C2若雙曲線1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，A(1,4)，則|PF|PA|的最小值是()A8 B9 C10 D12B由題意知，雙曲線1的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線且P在A，B之間時(shí)取等號規(guī)律方法 雙曲線定義的兩個應(yīng)用一是判定平面內(nèi)動點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程；二是在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合|PF1|PF2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|，|PF2|的聯(lián)系雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】設(shè)雙曲線與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，其中一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_1 法一：橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，根據(jù)雙曲線的定義知2a|4，故a2.又b232225，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，則a2b29，又點(diǎn)(，4)在雙曲線上，所以1，聯(lián)立解得a24，b25.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法三：設(shè)雙曲線的方程為1(271，則雙曲線y21的離心率的取值范圍是()A(，)B(，2)C(1，)D(1,2)(2)(2018全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()AB2 CD(1)C(2)C(1)由題意得雙曲線的離心率e.e21.a1，01，112，1e.故選C(2)不妨設(shè)一條漸近線的方程為yx，則F2到y(tǒng)x的距離db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a.又|F1O|c，所以在F1PO與RtF2PO中，根據(jù)余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.考法2雙曲線的漸近線問題【例3】(1)(2019合肥質(zhì)檢)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為_(2)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的兩個焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小內(nèi)角的大小為30，則雙曲線C的漸近線方程是_(1)yx(2)xy0(1)因?yàn)閑，所以c2a2b23a2，故ba，則此雙曲線的漸近線方程為yxx.(2)由題意，不妨設(shè)|PF1|PF2|，則根據(jù)雙曲線的定義得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以有|PF2|0，b0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()A1B1C1D1B由離心率為，可知ab，ca，所以F(a,0)，由題意知kPF1，所以a4，解得a2，所以雙曲線的方程為1.規(guī)律方法與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略(1)求雙曲線的離心率或范圍依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式或不等式，解方程或不等式即可求得(2)求雙曲線的漸近線方程依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程 (1)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)(2)已知雙曲線E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四個頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個焦點(diǎn)，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_(1)A(2)2(1)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則又(m2n)(3m2n)4，m21，1n3m2且n0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()AyxByxCyxDyxA因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即ca.又c2a2b2，所以(a)2a2b2，化簡得2a2b2，所以.因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為yx，所以yx.故選A2(2018全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()AB2CD2D法一：由離心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以雙曲線C的漸近線方程為yx.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4,0)到C的漸近