直線的斜率與直線方程.ppt

第一節(jié) 直線的斜率與直線方程,完全與教材同步，主干知識精心提煉。素質(zhì)和能力源于基礎，基礎知識是耕作“半畝方塘”的工具。視角從【考綱點擊】中切入，思維從【考點梳理】中拓展，智慧從【即時應用】中升華。科學的訓練式梳理峰回路轉(zhuǎn)，別有洞天。去盡情暢游吧，它會帶你走進不一樣的精彩！,三年3考 高考指數(shù): 1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式； 2.掌握確定直線位置的幾何要素； 3.掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關系.,1.直線的斜率、直線方程是高考的重點； 2.本部分內(nèi)容常與圓錐曲線綜合命題，重點考查函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想； 3.多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目.,1.直線的傾斜角與斜率 (1)直線的傾斜角 一個前提：直線l與x軸_； 一個基準：取_作為基準； 兩個方向：x軸正方向與直線l向上方向. 當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定：它的傾斜角為_.,相交,x軸,0,(2)直線的斜率 定義：若直線的傾斜角不是90,則斜率k=_; 計算公式：若由A(x1,y1),B(x2,y2)確定的直線不垂直于x 軸，則k=_.,tan,【即時應用】 (1)過點M(-2,m)，N(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為 _； (2)直線 的傾斜角為_.,【解析】(1)由斜率公式得： ，解得m=1. (2) 的斜率 即傾斜角的正切值tan= 又0，= . 答案：(1)1 (2),2.直線方程的幾種形式,斜率k與點 （x1,y1）,斜率k與直線在y軸上的截距b,兩點（x1,y1） ，（x2,y2）,直線在x軸、y軸上的截距分別為a、b,不含直線x=x1,不含垂直于x軸的直線,不含直線x=x1（x1=x2)和直線y=y1(y1=y2),不含垂直于坐標軸和過原點的直線,平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用,【即時應用】 (1)思考：過A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點的直線方程能否寫成(x2- x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)？ 提示：能寫成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1). 當x1x2且y1y2時，直線方程為： 可化為上式； 當x1x2，y1=y2時，直線方程為：y=y1也適合上式； 當y1y2，x1=x2時，直線方程為：x=x1也適合上式； 綜上可知：過A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點的直線方程能寫成(x2-x1) (y-y1)=(y2-y1)(x-x1).,(2)已知直線l經(jīng)過點P(-2,5),且斜率為 ，則直線l的方程為 _. 【解析】由直線的點斜式方程得，直線l的方程為： y-5= (x+2)，即3x+4y-14=0. 答案：3x+4y-14=0,(3)經(jīng)過兩點M(1,-2)，N(-3,4)的直線方程為_. 【解析】經(jīng)過兩點M(1,-2)，N(-3,4)的直線方程為 即3x+2y+1=0. 答案：3x+2y+1=0,例題歸類全面精準，核心知識深入解讀。本欄目科學歸納考向，緊扣高考重點?！痉椒c睛】推門只見窗前月：突出解題方法、要領、答題技巧的指導與歸納；“經(jīng)典例題”投石沖破水中天：例題按層級分梯度進行設計，層層推進，流暢自然，配以形異神似的變式題，幫你舉一反三、觸類旁通。題型與方法貫通，才能高考無憂！,直線的傾斜角與斜率 【方法點睛】 1.斜率的求法 (1)定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值,一 般根據(jù)k=tan求斜率； (2)公式法：若已知直線上兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，一般根據(jù) 斜率公式 求斜率.,2.直線的斜率k與傾斜角之間的關系,0,k0,不存在,k 0,【提醒】對于直線的傾斜角，斜率k=tan(90)，若已知其一的范圍可求另一個的范圍.,【例1】(1)已知兩點A(m,n)，B(n,m)(mn)，則直線AB的傾斜 角是_. (2)已知點A(2,-3)，B(-3,-2)，直線l過點P(1,1)且與線段AB有 交點，則直線l的斜率k的取值范圍為_. (3)(2012西安模擬)直線y=tanx+1( )的傾 斜角的取值范圍是_.,【解題指南】(1)先由公式法求出斜率，再求傾斜角； (2)直線l的斜率的取值范圍，可由直線PA、PB的斜率確定；也 可先寫出直線l的方程，再由點A、B在直線l的異側(cè)(或一點在l 上)求解;(3)直線傾斜角與直線的斜率有關，可先求直線斜率 的取值范圍，再求直線傾斜角的取值范圍. 【規(guī)范解答】(1)因為A(m,n)，B(n,m)(mn)，所以直線AB的 斜率 所以直線的傾斜角為 ； 答案：,(2)方法一：因為A(2,-3)、B(-3,-2)、P(1,1)， 所以 如圖所示： 因此，直線l斜率k的取值范圍為k-4或,方法二：依題設知，直線l的方程為：y-1=k(x-1)，即kx-y+1- k=0, 若直線l與線段AB有交點，則A、B兩點在直線l的異側(cè)(或A、B之 一在l上) 故(2k+4-k)(-3k+3-k)0， 即(k+4)(4k-3)0, 解得：k-4或k 答案：k-4或k,(3)直線的斜率k=tan,設直線的傾斜角為， , k . 0,), . 答案： ,【互動探究】本例(3)中的取值范圍改為“ ”， 結(jié)果如何？ 【解析】由直線的傾斜角和斜率的關系知，就是直線的傾斜角，直線的傾斜角的取值范圍為 .,【反思感悟】1.直線的斜率與傾斜角之間的關系是重要的解 題線索，如本例第(3)題由直線斜率的取值范圍可求出直線傾斜 角的取值范圍，但一定要注意傾斜角的取值范圍為0，)； 2.已知傾斜角的取值范圍，求斜率的取值范圍，實質(zhì)上是求 k=tan的值域問題；已知斜率k的取值范圍求傾斜角的取值范 圍，實質(zhì)上是在0， )( ，)上解關于正切函數(shù)的三角 不等式問題.由于函數(shù)k=tan在0， )( ，)上不單 調(diào)，故一般借助函數(shù)圖像來解決此類問題.,【變式備選】已知兩點A(-1,2)，B(m,3)，且 求直線AB的傾斜角的取值范圍. 【解析】當直線AB的斜率不存在時，m=-1，此時傾斜角為 當直線AB的斜率存在時，m-1，由題意知直線AB的斜率,又 直線AB的傾斜角的取值范圍為 綜上所述，直線AB的傾斜角的取值范圍為,直線的方程及應用 【方法點睛】直線方程綜合問題的類型及解法 (1) 與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中的x、y的關系，將問題轉(zhuǎn)化為關于x(或y)的某函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決； (2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關知識(如方程解的個數(shù)、根的存在問題，不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來解決.,【例2】已知直線l過點P(3,2),且與 x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩 點,如圖所示, (1)若ABO的面積為12，求直線l的方程； (2)求ABO的面積的最小值及此時直線l的方程.,【解題指南】先設出AB所在的直線方程，再求A、B兩點的坐 標，(1)根據(jù)ABO的面積為12列方程組求解；(2)寫出表示 ABO的面積的表達式，最后利用相關的數(shù)學知識求出最值. 【規(guī)范解答】(1)方法一：設直線l的方程為 (a0,b0), A(a,0),B(0,b), 解得 所求直線l的方程為 即2x+3y-12=0.,方法二：設直線l的方程為y-2=k(x-3), 令y=0，得直線l在x軸的正半軸上的截距a=3- , 令x=0,得直線l在y軸的正半軸上的截距b=2-3k, (3- )(2-3k)=24,解得k=- . 所求直線l的方程為y-2=- (x-3), 即2x+3y-12=0.,(2)方法一：由題可設A(a,0),B(0,b)(a0,b0),則直線l的 方程為 l過點P(3,2), 且a3,b2. 從而,故有SABO= 當且僅當 即a=6時,(SABO)min=12, 此時 此時直線l的方程為 即2x+3y-12=0.,方法二：由題可設直線方程為 (a0,b0), 代入P(3,2),得 得ab24,從而SABO= ab12, 當且僅當 時,等號成立,SABO取最小值12， 此時 此時直線l的方程為2x+3y-12=0.,方法三：依題意知,直線l的斜率存在. 設直線l的方程為y-2=k(x-3)(k0), 則有A(3- ,0),B(0,2-3k), SABO= (2-3k)(3- ) = 12+(-9k)+ ,= (12+12)=12, 當且僅當 即 時,等號成立，SABO取最小值12. 此時，直線l的方程為2x+3y-12=0.,方法四：如圖所示,過P分別作x軸,y軸 的垂線PM,PN,垂足分別為M,N. 設=PAM=BPN, 顯然(0, )， 則SABO=SPBN+S四邊形NPMO+SPMA = 33tan+6+ 22 =,當且僅當 即tan= 時,SABO取最小值12, 此時直線l的斜率為- , 其方程為2x+3y-12=0.,【反思感悟】1.此題是直線方程的綜合應用，解題時，可靈活運用直線方程的各種形式，以便簡化運算. 2.以直線為載體的面積、距離的最值問題，一般要結(jié)合函數(shù)、不等式的知識或利用對稱性解決.,【變式訓練】已知直線l:kx-y+1+2k=0(kR). (1)證明：直線l過定點； (2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍; (3)若直線l交x軸負半軸于A,交y軸正半軸于B,AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程.,【解析】(1)直線l的方程是： k(x+2)+(1-y)=0, 令 解得 無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(-2,1). (2)由方程知，當k0時直線在x軸上的截距為 在y軸上 的截距為1+2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有 解之得k0; 當k=0時，直線為y=1，符合題意，故k0.,(3)由l的方程，得 B(0,1+2k). 依題意得 解得k0. S= |OA|OB|= | |1+2k| (22+4)=4, “=”成立的條件是k0且4k= ,即k= Smin=4,此時l的方程為:x-2y+4=0.,把握高考命題動向，體現(xiàn)區(qū)域化考試特點。本欄目以最新的高考試題為研究素材，解析經(jīng)典考題，洞悉命題趨勢，展示現(xiàn)場評卷規(guī)則。對例題不僅僅是詳解評析，更是從命題層面評價考題，從備考角度提示規(guī)律方法，拓展思維，警示誤區(qū)?！究碱}體驗】讓你零距離體驗高考，親歷高考氛圍，提升應戰(zhàn)能力。為你順利穿越數(shù)學高考時空增添活力，運籌帷幄、決勝千里。,【創(chuàng)新探究】與直線方程有關的創(chuàng)新命題 【典例】(2011安徽高考)在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(x,y)為整點，下列命題中正確的是_(寫出所有正確命題的編號). 存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點 如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點,直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點 直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù) 存在恰經(jīng)過一個整點的直線,【解題指南】存在性問題，只需舉出一種成立情況即可，恒成 立問題應根據(jù)推理論證后才能成立；注意數(shù)形結(jié)合，特例的取 得與一般性的檢驗應根據(jù)命題的特點選擇合適的情形. 【規(guī)范解答】正確.例如 當x是整數(shù)時,y是無理 數(shù),(x,y)不是整點；不正確,如 過整點(1,0)； 設y=kx(k0)是過原點的直線，若此直線過兩個整點 (x1,y1),(x2,y2)，則有y1=kx1，y2=kx2，兩式相減得y1- y2=k(x1-x2)，則點(x1-x2,y1-y2)也在直線y=kx上，通過這種,方法可以得到直線l經(jīng)過無窮多個整點，通過上下平移y=kx知 對于y=kx+b也成立，所以正確；不正確,如 當x為 整數(shù)時,y不是整數(shù),此直線不經(jīng)過無窮多個整點；正確,如直 線 只經(jīng)過整點(0,0). 答案：,【閱卷人點撥】通過對本題的深入研究，可以得到以下創(chuàng)新點撥和備考建議：,1.(2012黃山模擬)直線x-y+3=0的傾斜角是( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】選C.直線方程變形為y=x+3， 斜率k=1,直線的傾斜角是,2.(2012九江模擬)三點(1，1)，(-1，0)及(2,k)在同一條直線上，則k的值等于_. 【解析】方法一：由斜率相等得， 方法二：過點(1，1)及(-1，0)的直線方程為 即 由題意得 答案：,3.(2012漢中模擬)直線ax+my-2a=0(m0)過點(1,1),則該直線的傾斜角為_. 【解析】點(1,1