人教版數(shù)學八年級上冊14.2.2完全平方公式 教案

第十四章 整式的乘法和因式分解14.2 乘法公式第二課時 14.2.2完全平方公式1 教學目標1.1 知識與技能：1 熟練掌握完全平方公式的結構特征，并能靈活運用完全平方公式進行相關計算。2 掌握完全平方公式的相關推論。1.2過程與方法 ：1 經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，并會根據(jù)多項式的乘法法則推導完全平方公式。2 會結合幾何圖形直觀解釋這一公式，滲透數(shù)形結合的思想。1.3 情感態(tài)度與價值觀 ：1 在數(shù)學運算中培養(yǎng)學生細致嚴謹?shù)木袼仞B(yǎng)。2 培養(yǎng)學生靈活運用知識、勇于探求科學規(guī)律的意識。2 教學重點/難點/易考點2.1 教學重點1 完全平方公式的結構及靈活運用。2.2 教學難點1 理解公式中字母的廣泛含義（可以是數(shù)字、單項式、多項式）。2 a，b，a+b，ab，ab， a2+b2，六者的關系。3 專家建議完全平方公式這一節(jié)內(nèi)容在整個初中數(shù)學乃至學生后續(xù)學習中占有十分重要的地位，它直接和因式分解，一元二次方程，二次函數(shù)等內(nèi)容相關，尤其是a，b，a+b，ab，ab， a2+b2六者的關系將在后續(xù)數(shù)學課程中非常多地見到。盡管教材內(nèi)容有限，但出于擴展、深入講解的要求，并考量之前剛剛學習過平方差公式，本節(jié)分為兩課時講述非常必要。這一課時最好只涉及完全平方公式的內(nèi)容，給學生降低臺階，使學生能充分認知新公式。4 教學方法情景引入探索新知概念延伸補充講解練習提高5 教學用具多媒體。6 教學過程6.1 引入新課【師】同學們好。上次課我們學習了平方差公式，大家還記得嗎？ 【生】(a+b)(ab)=a2b2 【師】沒錯。平方差公式可以看做是一類特殊的多項式相乘得到的結果，那我們今天繼續(xù)來學習另外一類特殊的多項式完全平方公式?！景鍟康谑恼?整式的乘法和因式分解14.2 乘法公式14.2.2 完全平方公式6.2 新知介紹1 情景引入：擴建花壇【師】正課開始之前，我們先來看這樣一個實際生活中的問題，請大家看投影。學校為了美化環(huán)境，決定把原來的一塊邊長為a米的正方形花壇擴大。擴建完的花壇仍為正方形，邊長增加b米。那新修建的花壇面積可以怎么表示呢？給大家兩分鐘時間想一想，學習小組之間可以交流和思考一下?！旧浚▋煞昼娝伎冀涣?，給出答案）。整個正方形的邊長為(a+b)，因此面積可以表示為(a+b)2。將整個正方形分為四部分，面積可以表示為a2+2ab+b2?！編煛看蠹覐膭偛胚@個例子中能得到什么樣的猜想呢？【生】(a+b)2=a2+2ab+b。2 探索和介紹：完全平方公式【師】大家剛才提出了一個猜想，那下面請看投影上給出的多項式的乘法，大家按照多項式乘以多項式的法則，把結果算出來。(p+1)2= (p+1)(p+1) = 。(m+2)2= 。【生】（計算并給出答案）?！編煛楷F(xiàn)在大家觀察一下這兩個等式，有什么共同的特點嗎？【生】左邊都是兩個完全相同的和相乘，右面是兩個平方項的和加上一個單項式?！編煛糠浅：谩Ｄ沁@樣的話，我們可以抽象出下面這個通式，它包括了剛才各位提出的式子的特點。請大家算一算：(a+b)2等于多少。【生】得出答案：(a+b)2=(a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 【師】好了，大家現(xiàn)在得到了結論：(a+b)2=a2+2ab+b。這正好印證了大家剛才的猜想。這就是兩數(shù)和的完全平方公式，也就是說兩數(shù)和的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，加上這兩個數(shù)的乘積的2倍。（板書并介紹概念）【板書/PPT】一、完全平方公式1.(a+b)2= a2+2ab+b2【師】那我們接著來看下面一組多項式，請大家算出它們的結果。(p1)2= (p1)(p1) = 。(m2)2= 。【生】（計算并給出答案）?！編煛窟@一組多項式和剛才有什么區(qū)別嗎？【生】左邊變成完全相同的兩個差相乘，右面變成了兩個平方項的和減去一個單項式?！編煛糠浅：?。那這樣的話，請直接根據(jù)剛才的兩數(shù)和的完全平方公式，大家算一算：(ab)2等于多少?！旧康贸龃鸢福?ab)2=a+(b)2=a2+2a(b)+(b)2 =a22ab+b2 【師】好了，大家現(xiàn)在得到了結論：(ab)2=a22ab+b2，這就是兩數(shù)差的完全平方公式，也就是說兩數(shù)差的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，減去這兩個數(shù)的乘積的2倍。（板書并介紹概念）【板書/PPT】(ab)2= a22ab+b2【師】剛才我們直觀地用圖形表示了兩數(shù)和的完全平方公式，那下面大家能仿照剛才的方法，用旁邊這幅圖，直觀說明(ab)2= a22ab+b2嗎？。【生】（給出答案，跟之前的例子類似，這里略）【師】我們剛才介紹的這一組公式，可以簡寫成(ab)2= a22ab+b2 ，這一組公式就叫做完全平方公式。（板書給出概念，以及記憶口訣）【板書/PPT】2. 簡寫：(ab)2= a22ab+b2 ，完全平方公式巧記：首平方，尾平方，積的2倍放中央，中間符號同前方?！編煛空埓蠹易⒁馔耆椒降男问?。這里的(ab)2和a2b2是有很大區(qū)別的。(ab)2讀作a與b的和（或差）的平方。a2b2讀作a與b的平方的和（或差）。(ab)2先算和差，再平方； a2b2先算各自的平方，再求和。另外，若a0且b0，則(ab)2a2b2，也就說，通常情況下，這兩個式子不相等！3 邊學邊練：相關例題講解【師】（教師給出教材110頁例題3和4的四個小題，并給出答案，這里注意強調(diào)學生怎樣對應運用公式，并可以指出公式里的a，b還可以是數(shù)字，用于簡化計算）。4 完全平方公式的變號法則?！編煛亢昧?，下面大家來思考這樣一組問題（教材110頁思考）。u (a+b)2和(ab)2相等嗎？u (ab)2和(ba)2相等嗎？u (a+b)2和(ab)2相等嗎？大家可以自己動手算一算，或者簡單一點的話，我們在學習有理數(shù)的時候曾經(jīng)講到過，(ab)和(ba)的關系，可以聯(lián)想并得到答案?！旧慷枷嗟?，因為：(ab)2=(a)22(a)b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(ba)2=b22ab+a2=a22ab+b2=(ab)2(a+b)2= (ba)2=(ab)2【師】沒錯。那剛才的這幾個問題就告訴我們，計算完全平方的結果時，最好先把括號里的首項化為正，這樣便于對應公式。如果我們根據(jù)冪的乘方，就可以把這上面的一組結論推廣到高次冪上（板書或PPT給出結論）?！綪PT/板書】二、變號法則及其擴展：1. 計算完全平方的結果時，最好先把括號里的首項化為正，可以簡便運算。2. 一般規(guī)律：(ab)2k=(a+b)2k ，(a+b)2k=(ab)2k= (ba)2k，其中，k為正整數(shù)【師】下面我們就根據(jù)剛才的這一組結論，來看下面兩道例題。（給出例題：(2a3b)2，(2x+5)2，并運用上述知識把首項變成正，再按照完全平方公式計算）5 重要推論【師】下面我們來挑戰(zhàn)一個稍稍有點難度的題目。大家看，已知：ab，且a+b=3，ab=2，則ab=？大家可以先前后桌思考和討論一下，看看這道題怎么做。【生】（給出答案，思路應如下）?！編煛磕歉鶕?jù)剛才的啟發(fā)，下面我們就來給出兩組重要的關系（板書或PPT）【板書/ppt】三、兩個重要關系1. a2+b2=(a+b)22ab=(ab)2+2ab2. (a+b)2(ab)2=4ab3. 知二推四：a，b，a+b，ab，ab， a2+b2【師】一般地，在a，b，a+b，ab，ab， a2+b2中，只要能夠知道其中兩個的式子取值，就能夠根據(jù)完全平方公式，求出另外四個式子的值！6 課堂小結（投影，給出知識脈絡圖）6.3 復習總結和作業(yè)布置1 課堂練習1. 利用完全平方公式計算下列各題(2x+5)2=(4x3y)2 =982=512=2. 計算(2x1)2(3x+1)23. 若(x1)2=x2+kx+1，則49k的值是多少?4. 解不等式： (2x5)2+(3x+1)213(x210) 5. 已知a+b=2，a2+b2=10，試利用完全平方公式，簡便地求ab，(ab)，a，b的值。答案：1. 4x220x+25，16x2+24xy+25x2，9604，26012. 原式= 4x24x+1(9x2+6x+1)= 4x24x+19x26x1= 5x210x3. k=2，49k =492=(501)2=2500+1100=24014. 解：(4x210x+25)+(9x2+6x+1)13x2130 4x210x+25+9x2+6x+113x2130 13x24x+2613x2130 4x156 x445. (a+b)2=a2+2ab+b2=4，a2+b2=10，ab=3(ab)2=(a+b)24ab=4+12=16ab=4或4若ab=4，解二元一次方程組，得a=3，b=1同理，若ab=4，則得a=1，b=32 作業(yè)布置1、完成配套課后練習題2、預習提綱：因式分解：公式法7 板書設計第十四章 整式的乘法和因式分解14.2 乘法公式14.2.2 完全平方公式一、 完全平方公式1. (a+b)2= a2+2ab+b2 (ab)2= a22ab+b2 2. 簡寫：(ab)2= a22ab+b2 ，完全平方公式巧記：首平方，尾平方，積的2倍放中央，中間符號同前方。二、 變號法則及其擴展：1. 計算完全平方的結果時，最