三值邏輯函數(shù)的基本表式及其 Karnaugh 圖分析.doc

精品論文大全三值邏輯函數(shù)的基本表式及其 karnaugh 圖分析李裕信 湖南省長(zhǎng)沙市郵政局，湖南長(zhǎng)沙 (410001) e-mail：摘要：本文窮舉了單變量三值邏輯函數(shù)的 27 種表示式，設(shè)計(jì)了它的“正八面形”形式的karnaugh 圖；明確了由它可衍生出三種二值邏輯變量；提出了獨(dú)立的 m 元三值邏輯函數(shù)個(gè) 數(shù)的計(jì)算公式；特別指出二變量三值邏輯函數(shù)的數(shù)目是 19683 個(gè)，它的 karnaugh 圖十分復(fù)雜，其主要框架是多個(gè) 6 頂點(diǎn)完全圖及正八面形按三層嵌套與交叉的圖形。關(guān)鍵詞：三值邏輯，m 變量的三值邏輯函數(shù)，karnaugh 圖，衍生的二值邏輯變量， 中圖分類(lèi)號(hào): o1，110。14文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: a引論：一個(gè)三值邏輯變量 a，除了可取“0”和“1”（也可寫(xiě)為 f假和 t真）兩個(gè)值之外，還可 取一個(gè)乏晰值。按照 j. lukasiewicz 和 e. l. post 的規(guī)定，可用“0、1、2”三個(gè)值 分別表示“假、 乏晰、真”（或順序反過(guò)來(lái)）三個(gè)邏輯狀態(tài);還可以用“0”“”“1” 三個(gè)值 分別表示“假、乏晰、真”。本文采用最后一種表示碼，以使其最接近二值 bool 代數(shù)的習(xí)慣1 2 。對(duì)“”這個(gè)邏輯 值的理解應(yīng)是“非 0 非 1”和“亦 0 亦 1”它是“0”與“1”之間的過(guò)渡邏輯狀態(tài)值。對(duì)于這樣的三值 邏輯變量 a 與 b,可和 bool 代數(shù)一樣定義“邏輯加”（“或”）a+b(即 aub),和“邏輯乘”（“與”）ab即 ab ，按下面真值表定義：表 0-1： a+b 的真值表表 0-2： ab 的真值表a+bab01abab010010000101111101但是，對(duì)于一個(gè)獨(dú)立的三值邏輯變量，如果不附加任何條件，則不存在 bool 代數(shù)中的“邏輯非”運(yùn)算。然而，卻可以定義一種“轉(zhuǎn)移”運(yùn)算，它的定義是：三值邏輯變量 a 的“邏 輯轉(zhuǎn)移 量記為a, 而且：0 = 1，1 = ， = 0.(當(dāng)然也可反過(guò)來(lái)定義：0 = ， = 0，. 1 = )。 即有下面真值表：表 0-3“轉(zhuǎn)移”邏輯真值表a01a10三值邏輯變量 a 的函數(shù) p（a）可視為一種變換，：當(dāng) a 依次取 0、1 時(shí)，p（a）依次取、 ，（、是可取0、.1.的常數(shù) ）故 p（a）可用向量（、 ）表 示。-9-.根據(jù)定義可知（，、）=（ 、 、）；.(、 ) = ( 、 、)；.而.(、 ) =（、）。. .(1).即矢量的“轉(zhuǎn)移”運(yùn)算可等價(jià)地分配到各個(gè)分量上去。下面的定理將指出 , 只要定義了“或”“與 關(guān)系作完備的描述。”“轉(zhuǎn)”，就可對(duì)任意的三值邏輯變量的設(shè) a 為任意三值邏輯變量，由于它是一種類(lèi)似于 bool 代數(shù)的“格”，下列基本恒等式成立1.30.1、并項(xiàng)律.：.a. 1 = a；a. a = a； a. 0 = 0；a +1 = 1；a + a = a；.a+ 0 = a；a + a + a = 1；a + a + a = ；.a + a + a = 1；.a + a + a = ；. (2).a + a = ；.a + a = 1；.a + a = 1；.aa + aa + aa = 1；0.2、轉(zhuǎn)移律：a = a.；.a.a.a = 0；.a a = a + a；.a + a = a.a + aa.(3)上述所有的恒等式都可通過(guò)“與”“或”“轉(zhuǎn)”的真值表得到驗(yàn)證。1. 單變量三值邏輯函數(shù)表示式“總表”分析：13 .定理 1：三值邏輯代數(shù)中，變量 a 的函數(shù) p（a）可寫(xiě)成三個(gè)基底 . a 、. a 、. a的線(xiàn)性組合表式：p（a）= . . a+ . a + . a (4)其中、是可取0、.1.的常數(shù).?？蓪⑷齻€(gè)基底依次記為 p1、p2、p3 。將 p1、 p2、 p3 用p4、p5、p. 6 表示。則所有不恒為0的單變量函數(shù)，都可以 通過(guò)p1、p2、p3、p4、p5、p6 這六個(gè)函數(shù)中的 1 - -3個(gè)函數(shù)迭加得到。證明：由于三值邏輯變量 a 可取 0、 、.1.三個(gè)值中的任一個(gè)值，那么能夠?qū)懗龅腶 的函數(shù) p （ a ）的個(gè)數(shù)應(yīng)等于從0、 、.1.三個(gè)元素中任取三個(gè)（允許取相同的）的排列數(shù) 3 3 ，即 27 個(gè)。在這里，可以窮舉這 27 個(gè)函數(shù)的形式及真值表表 1.1 三值邏輯變量 a 的函數(shù) p(a)的表達(dá)式總表ap(a)01函數(shù)表示式備注p1100p1 = a .三項(xiàng)之和等于 1p2010p2 . = ap3 .001p = a3p 400p 4 = . a = a . a = p1三項(xiàng)之和等于 p500p5 . = a = a a = p 2p 600p 6 . = a = a a = p 3p 71p7 = .a = a.a = p1 + p2 . + p3 .1p 81p8 . = . a = a. a = p1 + p2 . + p3p 91p9 . = . a = a. a = p1 + p2 . + p3p10011p10 = . a . = a . a . = p2 + p3三項(xiàng)之和等于p 11101p11 = .a = aa = p1 + p3三項(xiàng)之和等于 1p12110p12 = . a = a a = p1 + p 2p130p13 = a = p 2 . + p 3三項(xiàng)之和等于 p 14 .0p14 . = a = p1 . + p 3p15 .0p15 = a = p1 . + p 2p16 .11p = a . = p + p + p .16 1 2 3三項(xiàng)之和等于 1p1711p17 = a . = p1 + p2 + p3p18 .11 p18 = a. = p1 + p2 + p3p19 .01p19 = a = p2 + p3三項(xiàng)之和等于 1p 20 .10p20 = a = p1 + p3p 21 .10p 21 = a = p1 + p 2p 22 .01 p22 = a.a = p2 + p3三項(xiàng)之和等于 1p 23 .10p23 = a.a = p1 + p2p 24 .01p24 = a.a = p1 + p3p 25 .p25 = = p1 + p2 + p.常量 p 26 .111p26 = 1 = p1 + p2 + p3常量 1p27.000p27 = 0 = 0p1 + 0p2 + 0p常量 0借助于“或”“與”“轉(zhuǎn)”的真值表和恒等式（1）（2）（3），可以列出表 1.1。并由表 1.1 可知，所有 27 種函數(shù)都可寫(xiě)成p1、p2、p3 的線(xiàn)性組合，而 p1、p2、p3 就是三個(gè)“基底”，即（4）式得證。由于、 中等于 1 的項(xiàng)就是 p1、p2、p3 中的項(xiàng)，而、 中等于 的項(xiàng)就是 p4、p5、p6 中的項(xiàng)。這 27 個(gè)函數(shù)中的所有不恒為 0 的單變量函數(shù)，都可通過(guò)p1、 p2、 p3、 p4、 p5、 p6中的1 - -3個(gè)函數(shù)迭加得到。 .因此，定理的后一斷語(yǔ) 理 2全部得證。也成立。故定定理 1 列出了所有 27 個(gè)單變量三值邏輯函數(shù)表示式的總表，此表囊括了單變量三值邏輯函數(shù)所有的單項(xiàng)式和恒等變換關(guān)系。從定理 1 還可看出， （、 ）就是函數(shù) p（a）的向量表示。任一函數(shù) p（a）除了可用“與”“或”“轉(zhuǎn)”表示之外，還可用向量（、 ）表 示。因此三個(gè)基底各有三種寫(xiě)法：p1 = a = (100);.p2 = a = (010);.p3 = a = (001);.而其它函數(shù)也可寫(xiě)為p4 = p1 = a = ( 00 )；.p5 = p2 = a = (0 0)；.p6= p3 = a = (00 ).等等?？蓪?p1、p2、p3、p4、p5、p6 這六個(gè)函數(shù)項(xiàng)稱(chēng)為三值邏輯函數(shù)的“最小項(xiàng)” 。在本文設(shè)計(jì)的卡諾圖(karnaughmap)中“,最小項(xiàng)”用“點(diǎn)”表示，而二個(gè)最小項(xiàng)之和（或）用連接兩點(diǎn) 形表示。的線(xiàn)段表示，三個(gè)最小項(xiàng)之和（或）則可用連接三點(diǎn)的三角2. 三值邏輯單變量函數(shù)的卡諾圖的分析由定理 1 可以確定的是，三值邏輯的單變量函數(shù)應(yīng)是 6 個(gè)最小項(xiàng)中 1-3 個(gè)之和。同時(shí)要考慮，6個(gè)最小項(xiàng)是p1、p2、p3、p1、p2、p3，而且pk + pk = pk (k = 1、2、3);pj + pk + pk = pj + pk ;.pj + pk + pk = pj + pk。即三個(gè)最小項(xiàng)（點(diǎn)）中若含有pk 和pk 則它們之和實(shí)際上是二個(gè)最小項(xiàng)（點(diǎn)）之和；二個(gè)最小項(xiàng)（點(diǎn)）之和6也可能實(shí)際上是一個(gè)最小項(xiàng)（點(diǎn)）。在6點(diǎn)中取3個(gè)的函數(shù)共有c 3 = 20個(gè)，但要除去實(shí)際上是退化為兩個(gè)點(diǎn)之和的函數(shù)，這種需要除去的函數(shù)個(gè)數(shù)共有c1 c1 + c 2 c1 = 12,3 23 2即獨(dú)立存在的三點(diǎn)函數(shù)（三角形面）的個(gè)數(shù)為c 3 （c1 c1 + c 2 c1）= 20 - 12 = 8個(gè)；在6點(diǎn)63 23 2中取2個(gè)的函數(shù)共有c 2 = 15個(gè)，需要減去“實(shí)際上是退化為一點(diǎn)的函數(shù)”的個(gè)數(shù)c1 = 363個(gè)，即獨(dú)立存在的二點(diǎn)函數(shù)（線(xiàn)段）的個(gè)數(shù)為c 2 c1 = 15 3 = 12；獨(dú)立存在的一點(diǎn)63函數(shù)（最小項(xiàng)）的個(gè)數(shù)是6。所以反映獨(dú)立的單變量函數(shù)個(gè)數(shù)及它們之間關(guān)系的幾何圖 形具有8個(gè)三角形面、12條棱線(xiàn)、6個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)、線(xiàn)、面總數(shù)是8 + 12 + 6 = 26正是不為0的單變量函數(shù)的總數(shù)。顯然，它就是本文設(shè)計(jì)的三值邏輯單變量函數(shù)的卡諾圖(karnaugh map)。從它的點(diǎn)線(xiàn)面數(shù)量可知，它是一個(gè)正六角八面體。因此，有下面的定理：定理 2：三值邏輯單變量函數(shù)的卡諾圖（圖 2.1）的點(diǎn)、線(xiàn)、面具有如下邏輯與數(shù)量關(guān)系：2.1 三值邏輯單變量函數(shù)的卡諾圖有 6 個(gè)“點(diǎn)”，12 條“邊”，8 個(gè)“三角形”。它們代表 26 個(gè)不 恒為 0 的函數(shù)。它形成一個(gè)“正八面體”。每條邊就是它兩個(gè)端點(diǎn)的邏輯函數(shù)（最小項(xiàng)）之和（或），每個(gè)三角形就是它三個(gè)端點(diǎn)的邏輯函數(shù)（最小項(xiàng)）之和（或），也等于它三條邊或任 意兩條邊的邏輯函數(shù)（最小項(xiàng)）之和（或）。每個(gè)頂點(diǎn)的函數(shù)項(xiàng)等于匯交于此點(diǎn)的“邊”所代 表函數(shù)之“積”（與）。2.2、26 個(gè)不恒為 0 的函數(shù)中有 2 個(gè)常量（ p26 =1 和 p25 =）；18 個(gè)衍生的二值邏輯函數(shù)（“1、0”，“、0”，“1、”三種類(lèi)型各 6 個(gè)）和 6 個(gè)真三值函數(shù)（ p19-24 ）。圖 2.1 三值邏輯單變量函數(shù)的卡諾圖2.3、以 p7、p8、p9為三頂點(diǎn)，以 p16、p17、p18為三邊, 可組成滿(mǎn)足 2.1的點(diǎn)線(xiàn)關(guān)系的三角形。它是“1、”類(lèi)型的二值邏輯三角形。故共有三個(gè)二值邏輯三角形（見(jiàn)圖 2.1）圖 2.2 三值邏輯變量 a 衍生的（0、1）（0、）（、1）三種類(lèi)型二值邏輯變量關(guān)系圖證明:定理的 2.1 實(shí)際上是三值邏輯單函數(shù)卡諾圖的定義規(guī)則，其合理性已經(jīng)在前面證明，它是定理 1 的推論，可從卡諾圖驗(yàn)證。2.2 也可從卡諾圖和表 1.1 推出。實(shí)際上，在卡諾圖 中，6 個(gè)點(diǎn)與 12 條邊所代表的邏輯函數(shù)都用（、 ）標(biāo)記（見(jiàn)圖 2.1），而 8 個(gè)三角形代表的邏輯函數(shù)分別是 p1p2 p3 =（111）=1， p4 p5 p6 =（）=， p4 p2 p3 =（11）=p16 ， p5 p1p3 =（11）=p17 ， p1p2 p6 =（11）=p18 ， p1p5 p6 =（1）=p7 ， p4 p2 p6 . =（1）=p8 . p4 p5 p3 . =（1）=p9 。前二個(gè)三角形分別代表 1 和 兩個(gè)常數(shù)，每個(gè)三角形的六要素(三“點(diǎn)”三“邊”)分別是“1、0”和“、0”類(lèi)型的二值邏輯函數(shù)；后六個(gè)三角形所 代表的函數(shù)都是“1、”型的二值邏輯函數(shù).。顯然 2.2 成立。將 2.2 中所指的 18 個(gè)二值邏輯 函數(shù)，按類(lèi)型分別組成三個(gè)三角形，即得 2.3 的結(jié)論。因此，圖 2.1 畫(huà)出的三值邏輯單變量 函數(shù)的卡諾圖概括了三值邏輯單變量函數(shù)所有的邏輯變換關(guān)系。3. 任意三值邏輯變量衍生的三種類(lèi)型二值邏輯變量分析：定理 3：任意三值邏輯變量可衍生如圖 2.2 所示的（0、1）（0、）（、1）三種類(lèi)型二值 邏輯變量。它們符合下表（表 3.1）所示的規(guī)律：表 3.1 三值邏輯變量衍生的（0、）（0、1）（、1）三種類(lèi)型二值邏輯變量的基本邏輯規(guī)則最簡(jiǎn)二值變量取值反演（非）運(yùn)算重迭律反演的意義 a ,. a0，.a. = a 0.a ， .a0， 1.a = a1 0.a,.a 即.a，1.a = a1 證明：當(dāng)三值邏輯變量 a 依次取值 0、1 時(shí)， 由“與”“轉(zhuǎn)”運(yùn)算的真值表表 0.2 和表 0.3可直接算得 a 與 .a 分別依次取為 1、0、0 與 0、1、1。即它們是只取 0、1 的二值邏 輯變量，而且它們是互反的；一般地，當(dāng) x 是(0,1)型的二值變量時(shí)，x. 是與 x 互反的(0,1)型的二值變量。用同樣的方法可證（0、）（、1）兩種類(lèi)型二值邏輯變量的基本邏輯規(guī)則。此外，通過(guò)直接運(yùn)算還可以證明圖 2.2 的三個(gè)三角形中，任一邊的函數(shù)等于其兩端點(diǎn)函數(shù)之 和，而且它與所對(duì)的頂點(diǎn)的函數(shù)互反；任一頂點(diǎn)的函數(shù)等于其兩匯交邊函數(shù)之積，而且它與 所對(duì)的邊的函數(shù)互反。4. 三值邏輯多變量函數(shù)的表示及其卡諾圖框架圖：定理 4：m 個(gè)獨(dú)立的三值邏輯變量形成的“m 元函數(shù)”可寫(xiě)成3m 個(gè)“基底”的線(xiàn)性組合形式： p（a、b、.) = 1442443 m個(gè)變量1 p1+ 2 p2+ . + 3m p3m . . . . . .( 5)其中 1、2、.3m 是可取 0、 、1中任一值得常數(shù)。p（a、b、.)的不同單項(xiàng)函數(shù)個(gè)數(shù)1442443 m個(gè)變量m共有33個(gè)；而不恒為 0的“最小項(xiàng)”個(gè)數(shù)共為2 3 m 項(xiàng)。證明：以 m=2 為例。對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的三值邏輯變量 a、b 形成的“二元函數(shù)”p（a、b）而言，由于 a、b 都是三值邏輯變量，可獨(dú)立取 0、1中任一值，它們有 9 種組合狀態(tài)：00、0、01、0、1、10、1、11（即 3 中取 2、允許重復(fù)的排列數(shù)）。即 p（a、b） 函數(shù)空間的基底應(yīng)是 9 維單位向量：（100000000）（010000000）（001000000）（000100000）（000010000）（000001000）（000000100）（000000010）（00000001），這 9 個(gè)基底也可寫(xiě)為： a b、. a b、. a b .、 a b.、. a b、. a b、. a b、. a b、. a b .它們依次簡(jiǎn)記為p1、 p2、. p9 .。于是 p （ a 、 b ）= 1 p1 + 2 p2 + . + 9 p9 . . .( 6 )由于 1 2 . 9 是從 0、 、1三個(gè)值中每次取出允許重復(fù)的 9個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，它共有3 3 2= 3 9= 19683 個(gè)。將 9 個(gè)基底分別乘以 ，可得到另外9個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)： p1、 p2、. p9 ,(記為 p10 、 p11、. p18 )它們與基底組成18 個(gè)“最小項(xiàng)”，顯然，任意的 p （ a 、 b ）可寫(xiě)為這18 個(gè)最小項(xiàng)中若干個(gè)(不超過(guò) 9個(gè)）的迭加。至此，已證明當(dāng) m = 2時(shí)定理成立。可以用數(shù)學(xué)歸納法證明一般情況下定理成立。對(duì)于二變量三值函數(shù)，18 個(gè)最小項(xiàng)的表式及基本關(guān)系如下:p1 = ab；.p2 = .ab；.p3 = a b.；(7)p4 = ab.；.p5 = .ab；.p6 = .a b；.(8)p7 = .ab；.p8 = .ab；.p9 = a b；.(9) p10 = p1 = ab；.p11 = p2 = .ab；.p12 = .p3 = a b；.(10) p13 = p4 = ab；.p14 = p5 = .ab；.p15 = .p6 = a b；.(11) p16 = p7 = ab；.p17 = p8 = .ab；.p18 = .p9 = a b；.(12)p19 = p1 + p2 + p3 = a；.(13a).p20 = p4 + p5 + p6 = a.(13b).p21 = p7 + p8 + p9 = a；.(13c). p22 = p10 + p11 + p12 = a；.(14a).p23 = p13 + p14 + p15 = a；.(14b).p24 = p16 + p17 + p18 = a；.(14c). p25 = p1 + p4 + p7 = b；.(15a).p26 = p2 + p5 + p8 = b；.(15b).p27 = p3 + p6 + p9 = b；.(15c). p28 = p10 + p13 + p16 = b；.(16a).p29 = p11 + p14 + p17 = b；.(16b).p30 = p12 + p15 + p18 = b；.(16c).從（13）-（-16）表示三個(gè)函數(shù)項(xiàng)之和（或）pi + pj + pk 當(dāng) i=1(mod. 3)、j=2(mod. 3)、k=3(mod.3).時(shí)，可消去一個(gè)變量。.這是簡(jiǎn)化三值邏輯函數(shù)的最基本法則。 由于二變量三值邏輯函數(shù)的個(gè)數(shù)多達(dá)19683個(gè) ，邏輯關(guān)系十分復(fù)雜，要畫(huà)出所有的函數(shù)的邏輯圖是不可能的，也是不必要的。但可以根據(jù)單變量三值邏輯函數(shù)的卡諾圖的特點(diǎn)構(gòu)造 二變量三值邏輯函數(shù)卡諾圖的基本框架，它可以是如圖 4.1 這樣的多個(gè) 6 頂點(diǎn)完全圖及正八 面形按三層嵌套與交叉的圖形。也可畫(huà)出如圖4.2的卡諾圖框架圖。圖中，a1 = a,.a 2 = a,.a3 = a,.a4 = a1.a5 = a 2 .a6 = a3.b1 = b,.b2 = b,.b3 = b,.b4 = b1.b5 = b2 .b6 = b3.以a1。b1、a 2。b1、a3。b1、a 4。b1、a5。b1、a6。b1和a1。b2、a2。b2、a3。b2、a 4。b2、a5。b2、a6。b2及a1。b3、a2。b3、a3。b3、a4。b3、a5。b3、a6。b3這18個(gè)點(diǎn)組成的三個(gè)六角正八面形為基準(zhǔn)，按三層嵌套畫(huà)成圖4.2所示。其中除了這三個(gè)六角正八面形外，還有三個(gè)軸（圖上箭頭）上每軸6個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)八面形.。它們中的每一個(gè)八面形的頂點(diǎn) 都是三層嵌套三個(gè)六角正八面形沿一軸（箭頭）各取相對(duì)的兩頂點(diǎn)組成，即它們與三層 嵌套的三個(gè)正八面形是共頂點(diǎn)的。圖 4.2 三值邏輯二元函數(shù) karnaugh map（卡諾圖）框架圖 25. 結(jié)論與說(shuō)明：5.1 本文對(duì)單變量三值邏輯函數(shù)作了較完備的描述。表 1.1 及圖 2.1 所示的卡諾圖囊括了單變 量三值邏輯函數(shù)所有邏輯關(guān)系和公式。可作為基本公式記憶或存儲(chǔ)，以備隨時(shí)調(diào)用。應(yīng)該指出：有多種三值邏輯系統(tǒng)1 ，它們的邏輯代數(shù)結(jié)構(gòu)取決于“與”“或”“轉(zhuǎn)”的不同定義（真值表）， 特別是“轉(zhuǎn)”運(yùn)算的定義。本文研究的只是其中的一種。但所得的結(jié)論只需稍加改變即可在其 它系統(tǒng)成立。5.2 三值邏輯多變量函數(shù)的表示與性質(zhì)隨變量數(shù)目的增加而急劇復(fù)雜化?？梢赃\(yùn)用圖論的方 法和定理更深人地探討多變量函數(shù)的邏輯特性。由定理 1 和定理 4 可知，所有的 m 變量邏輯函數(shù)由 1- 3m 個(gè)最小項(xiàng)決定，即完全由其邏輯圖的 1- 3m 個(gè)頂點(diǎn)所決定。由圖論可知 45 ， 頂點(diǎn)相同而邊數(shù)不同的圖形有很多，即使邊數(shù)一定，圖形也可有多個(gè)，故有很多圖形都代表 同一個(gè)邏輯函數(shù)，只要這些圖形連通了相同的頂點(diǎn)。這是運(yùn)用圖論時(shí)最要注意的一點(diǎn)。5.3 本文只討論了三值邏輯的代數(shù)性質(zhì)，未涉及對(duì)三個(gè)邏輯值的詮釋問(wèn)題。不過(guò)，可以設(shè)想： 生物學(xué)中的基因理論應(yīng)該與三值邏輯理論有聯(lián)系。每個(gè)基因可取三個(gè)“值”：“0（無(wú)）”、“（隱性）”、“1（顯性）”確是邏輯三值的一種解釋。這種解釋的合理性研究是未來(lái)的新的課 題。參考文獻(xiàn)1朱玉成 ：三值 邏輯 理論 ，多值 數(shù)字 邏輯 理論 m ，杭州 ，浙 江 大 學(xué) 出 版社 ，2006 ， 5.2 5.6 2張毅：邏輯代數(shù)，數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)m，北京，人民郵電出版社，1982，83-1413 耿素云，屈婉玲，張立昂：格與布爾代數(shù)，離散數(shù)學(xué)m,北京，清華大學(xué)出版社，1992，210-2164 f.哈拉里著，李蔚萱譯：附錄 1：圖的圖解，圖論m，上海，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，206203、247-25 5王朝瑞： 完全圖；圖的代數(shù)表示，圖論m，北京，人民教育出版社 1981，8-12analysis of basic expression and the karnaugh map of threevalues logical functionli yuxinchangsha post office, chang