【高考輔導(dǎo)資料】物理奧賽輔導(dǎo)：第3講_動力學(xué)一般問題與特殊問題

第3講 動力學(xué) 一般問題與特殊問題一、知識點(diǎn)擊1慣性系與牛頓運(yùn)動定律 慣性系：牛頓運(yùn)動定律成立的參考系稱為慣性參考系地球參考系可以很好地近似視為慣性參考系一切相對地面靜止或勻速直線運(yùn)動的參考系均可視為慣性參考系牛頓運(yùn)動定律牛頓第一定律：一切物體總保持勻速直線運(yùn)動狀態(tài)或靜止?fàn)顟B(tài)，直到有外力迫使它改變這種狀態(tài)為止牛頓第一定律也稱為慣性定律牛頓第二定律：物體的加速度與其所受外力的合力成正比，與物體的質(zhì)量成反比，其方向與合外力的方向相同即常作正交分解成：Fx=max Fy=may Fz=maz牛頓第三定律：兩個物體之間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，作用在同一直線上2聯(lián)結(jié)體所謂“聯(lián)結(jié)體”就是一個系統(tǒng)內(nèi)有若干個物體，它們的運(yùn)動情況和受力情況都一種關(guān)系聯(lián)系起來若聯(lián)結(jié)體內(nèi)（即系統(tǒng)內(nèi)）各物體只有相同的加速度時應(yīng)先把這聯(lián)結(jié)體當(dāng)成一個整體（看成一個質(zhì)點(diǎn)）分析這類問題的一般方法是：（l）將系統(tǒng)中的每個物體隔離開來分別進(jìn)行受力分析；（2）對每個物體用牛頓第二、三定律列方程，有的物體可以列互為正交方向上的兩個方程； （3）根據(jù)具體情況確定各物體的運(yùn)動特征量般（如速度、加速度）之間的關(guān)系在解決聯(lián)結(jié)體問題時確定齊物體加速度之間的關(guān)系是分幣要的3非慣性系牛頓第一、二定律只適用十某一類參考系、這類參考系叫慣性系比如地面就是一個相當(dāng)好的慣性系，太陽是一個非常好的慣性系，一般我們認(rèn)為，相對地面沒有加速度的參考系，都可視為慣性系，相對地而有加速度的參考系，都可視為非慣性系在非慣性系中，為了使牛頓第一、二定律在形式上仍然成立，我們可以給每個物體加上一個慣性力F0F0的大小為ma0（m為研究的物體，a0為所選參考系相對地而的加速度）， F0的方向和a0的方向相反如果取一個轉(zhuǎn)動的參考系，則要加上慣性離心力F0=m2 R。慣性力是一個假想的力，完全是為了使牛頓第一、二定律在非慣性系中也能成立而人為地想象出來的，實(shí)際上并不存在慣性力不存在施力物體，也沒有反作用力慣性力從其性質(zhì)上來說，也是一個保守力，所以在有些場合也會討論慣性力的勢能3質(zhì)心運(yùn)動問題質(zhì)心是物體質(zhì)量中心，由幾個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，若這幾個質(zhì)點(diǎn)所在的位置分別是(x1，y1，z1）、(x2，y2，z2)則系統(tǒng)的質(zhì)心位置為 二、方法演練 類型一、牛頓第二定律是動力學(xué)的核心，特別是質(zhì)點(diǎn)系的牛頓第二定律解題時應(yīng)用起來特別靈活多變，是解決復(fù)雜的動力學(xué)問題的主要手段。例1如圖31所示，車廂B底面放一個物體A，已知它們的質(zhì)量mA =20 kg，mB =30 kg，在水平力F120 N作用下，B由靜止開始運(yùn)動，2s內(nèi)移動5 m，不計地面摩擦，求A在B內(nèi)移動的距離分析和解：本題中由于不計地面摩擦，系統(tǒng)的和外力就 為F，而在和外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)A、B都要產(chǎn)生加速度，故須應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的牛頓第二定律求解。對整體（質(zhì)點(diǎn)系）利用牛頓第二定律有F=mAaA+mBaB，即 120=20aA+30aB又，即例2一繩跨過裝在天花板上的滑輪，繩的一端吊一質(zhì)量為M的物體，另一端掛一載人梯子，人的質(zhì)量為m，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，不計摩擦及滑輪與繩的質(zhì)量，如圖32所示，要使天花板受力為零，試求人應(yīng)該如何運(yùn)動分析和解：本題中要天花板受力為零，意味著質(zhì)點(diǎn)系（整體）質(zhì)心的加 速度為g，豎直向下，處于完全失重狀態(tài)因運(yùn)動前系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，所以梯子的質(zhì)量為M-m。由題意知，M向下的加速度為g，而梯子與人的質(zhì)心向下的加速度也應(yīng)為g，才能使天花板受力為零利用質(zhì)點(diǎn)系的牛頓第二定律有 （取向下為正）（方向向下）類型二、聯(lián)結(jié)體的動力學(xué)問題是一類常見的問題，解題時除應(yīng)考慮用整體法和隔離法外，還要特別注意是桿系、繩系速度、加速度的關(guān)聯(lián)的類別以及物系內(nèi)各物體之間是否存在相對速度和相對加速度例3繩EF一端系于輕桿AB中間，如圖33所示，一端固定在天花板上，輕桿兩端各有一質(zhì)量為m的小球，并通過AC、BC兩繩系住一質(zhì)量為M的小球C，不計繩的質(zhì)量及繩的體積且AC=BC=AB，求剪斷BC繩的瞬間，EF繩的張力T。分析和解：本題首先是一個聯(lián)結(jié)體的問題，物體系通過桿、繩連結(jié)，受力比較復(fù)雜，但同時還是一個力的瞬時性問題，連結(jié)的桿繩一發(fā)生狀態(tài)或連結(jié)情況的變化，所受力立即發(fā)生變化，物系的加速度也將發(fā)生瞬時性變化。設(shè)正三角形ABC邊長為，剪斷BC繩瞬間AC繩張力為T。如圖34， A球的加速度可分解為水平方向及豎直方向注意到剪斷BC瞬間TEF方向豎直向上。 由以上三式得：，對于C，設(shè)其沿繩方向加速度為，則有，又 剪斷BC后，AC繩仍繃緊，且A、C無相對轉(zhuǎn)動，所以A、C在沿繩方向加速度相等，即將、，值代人上式，解得對于TEF，考慮AB桿，注意到其在EF繩限制下質(zhì)心無豎直方向加速度例4如圖35所示，裝有滑輪的桌子，質(zhì)量m1=15kg。桌子可以無摩擦地沿水平面上滑動，桌子上放質(zhì)量m2=10 kg的重物A，重物A與桌面間的摩擦因數(shù)=0.6，當(dāng)繞過滑輪的繩受到F=78.4 N的水平拉力時，求：（1）桌的加速度；（2）當(dāng)拉力沿豎直方向時，桌的加速度分析和解：本題為聯(lián)結(jié)體問題，但本題的關(guān)鍵是重物與桌面間是否發(fā)生相對運(yùn)動，解題時要先通過計算作出判斷，才能最后確定列式解題的依據(jù)。（1）當(dāng)拉力為水平方向時，桌子在水平方向受到三個力作用：上滑輪的繩子拉力，水平向左；下滑輪繩子的拉力F，水平向右；重物對桌的摩擦力，水平向右由牛頓第二定律，得式中為桌子加速度重物A水平方向受到的力有：繩的拉力F，摩擦力。當(dāng)時，重物開始沿桌面運(yùn)動，這時，對重物A，有；由桌子受力情況，可求出，于是得進(jìn)一步求出。代人有關(guān)數(shù)字，得F98N而實(shí)際作用繩上的力僅為78.4 N。因此，重物并未沿桌面滑動，重物隨桌子一起以同一加速度運(yùn)動(2)當(dāng)拉力沿豎直向上方向時，只有在重物沿桌面滑動情況下，桌子才可能沿水平地面運(yùn)動（當(dāng)重物靜止時，在水平方向它所受的上滑輪繩子拉力與靜摩擦力大小相等、方向相反這樣一來，也使桌子所受繩子拉力與靜摩擦力恰好平衡）為此，作用于繩的拉力不得小于重物與桌面間的最大靜摩擦力在所討論的情況下滿足這一條件桌子水平方向受兩個力作用：上滑輪繩子拉力，方向向左；重物對桌面的摩擦力，方向向右因?yàn)?，所以桌子將向左作加速運(yùn)動類型三、非慣性系的問題在正常的高中物理學(xué)習(xí)中是不牽涉到的內(nèi)容，但在解題時利用了參考系的變換，在選擇的參考系為非慣性參考系時注意引如慣性力可以是問題得到最大程度的簡化。例5如圖36所示，質(zhì)點(diǎn)A沿半圓弧槽B由靜止開始下滑，已知B的質(zhì)量為M，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，槽的半徑為R且光滑，而槽與地面的接觸面也是光滑的，試求質(zhì)點(diǎn)A下滑到任意位置角時B對A的作用力分析和解：由于槽與地面的接觸面是光滑的，質(zhì)點(diǎn)A沿半圓弧槽B下滑時槽B必然后退，如果要求的是狀態(tài)量，可以考慮動量和能量的觀點(diǎn)來解題，但如果要求的是瞬時量，則常規(guī)的解題方法會有很大的困難，利用了參考系的變換，在以B為參考系時注意引入慣性力是解決這類問題的基本方法。設(shè)M的加速度向左，大小為，有 對m以B為參考系，其相對B的速度為u，且必定與圓弧相切 根據(jù)動量與能量守恒，并設(shè)M的速度為，同時注意m的速度u應(yīng)轉(zhuǎn)換為對地速度 (水平方向動量守恒） 由以上式可解得例6半徑為r=9.81 cm的空心球形器皿，內(nèi)部有一個不大的物體，圍繞穿過對稱中心的豎直軸旋轉(zhuǎn)在角速度1=5 rad/s時，物體在平衡狀態(tài)對器壁的壓力為N1=10-2N.在平衡狀態(tài)，物體在什么角速度2下對器壁的壓力N2410-2N?物體和器壁內(nèi)表面的摩擦可忽略不計重力加速度為g=981 m/s2分析和解：此處的平衡狀態(tài)是對旋轉(zhuǎn)參考系（非慣性系）而言的圖37上示出了缽和位于A點(diǎn)的物體0點(diǎn)表示球面的中心，所研討的缽就是這個球的一部分轉(zhuǎn)動軸是用過0點(diǎn)的豎直斷續(xù)直線表示的，研究平衡狀態(tài)，較為方便的是利用半徑OA和豎直方向的夾角顯然， 。在旋轉(zhuǎn)的非慣性系中，這個不大的物體處于平衡狀態(tài)，作用在該物體上的重力（mg）和慣性離心力（）的合力，必須和缽的表面垂直，或者說必須沿半徑OA的方向作用假若我們用表示缽與物體的共同角速度，則在平衡狀態(tài)，從圖3一7可知由上式得式中為平衡狀態(tài)角的值從此式可知有兩種情況：1），即這個解是始終存在的物體那時停止缽底上它對缽壁的壓力N=mg2），即這個解只有在，或者說時才可能存在gr的數(shù)值可以算出，為10 rad/s.題中給出的1gr這意味著物體開始停在缽底因此它的重量（力）為N1，質(zhì)量為?，F(xiàn)在來計算2在2時，對器壁的壓力為N2很明顯，2必須大于gr，否則N2就必須等于N1了而根據(jù)題意，存在不等式N2N1假若物體在A點(diǎn)（sinA0）處于平衡狀態(tài)，則式中，由此得三、小試身手1 如圖38所示，滑輪左右兩邊原掛有質(zhì)量均為M的物塊，在右物塊上又放有質(zhì)量為m的小物塊，忽略滑輪和繩的質(zhì)量及滑輪軸上的摩擦，求左物塊上升的加速度，m、M之間的作用力及支點(diǎn)A所受的力2 如圖39所示，彈簧S1的上端固定在天花板上，下端連一小球A，球A與球B之間用線相連.球B與球C之間用彈簧S2相連.A、B、C的質(zhì)量分別為mA、mB、mC，彈簧與線的質(zhì)量均可不計.開始時它們都處在靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)將A、B間的線突然剪斷，求線剛剪斷時A、B、C的加速度.3 如圖310所示的輕滑輪跨有一輕繩，繩的兩端連接著質(zhì)量分別為1 kg和2 kg的物體A和B,現(xiàn)以50 N的恒力F向上提起滑輪的軸，A和B的加速度各為多少？不計滑輪質(zhì)量及滑輪與繩間摩擦。4 質(zhì)量為M的長平板以速度在水平面上作直線運(yùn)動，長板與地面間的動摩擦因數(shù)為2，現(xiàn)將速度為零、質(zhì)量為m的木塊放在長平板上，如圖311所示設(shè)木塊與板之間的滑動摩擦因數(shù)為1，試問木塊在長平板上滑行多長的距離才能與板取得相同的速度？5兩個相同的條形磁鐵，放在平板AB上，磁鐵的N、S極如圖312所示.開始時平板及磁鐵皆處于水平位置，且靜止不動.(i)現(xiàn)將AB突然豎直向下平移(磁鐵與平板間始終相互接觸)，并使之停在AB處，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個條形磁鐵碰在一起.(ii)如果將AB從原位置突然豎直向上平移，并使之停在AB位置處，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩條形磁鐵也碰在一起.試定性地解釋上述現(xiàn)象. 6 如圖3一13中，是一帶有豎直立柱的木塊，總質(zhì)量為M，位于水平地面上，B是一質(zhì)量為m的小球，通過一不可伸長的輕繩掛于立柱的頂端，現(xiàn)拉動小球使繩伸直并處于水平位置，然后讓小球從靜止?fàn)顟B(tài)下擺，如在小球與立柱發(fā)生碰撞前，木塊A始終未發(fā)生移動，則木塊與地面之間的靜摩擦因數(shù)至少為多大？（設(shè)A不會發(fā)生轉(zhuǎn)動）7 在20 cm長的細(xì)棒正中間固定著一個質(zhì)點(diǎn)棒貼著光滑的墻站著，棒的下端可以沿地面滑動，沒有摩擦棒處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，將棒稍微歪一點(diǎn)，讓它的下端從墻滑開，棒在整個時間內(nèi)都處于一個平面內(nèi)棒的中心接觸地面時，就馬上站住不動求棒的中心離墻的最后距離（棒的質(zhì)量可以忽略不計）8 一半徑為R=1.00 m的水平光滑圓桌面，圓心為0，有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線C，如圖3一14所示一根不可伸長的柔軟的細(xì)輕繩，一端固定在封閉曲線上的某一點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m=7.510-2kg的小物塊將小物塊放在桌面上并把繩拉直，再給小物塊一個方向與繩垂直、大小為的初速度物塊在桌面上運(yùn)動時，繩將纏繞在立柱上已知當(dāng)繩的張力為T02.0 N時，繩即斷開，在繩斷開前物塊始終在桌面上運(yùn)動(1)若繩剛要斷開時，繩的伸直部分的長度為多少？(2)若繩剛要斷開時，桌面圓心O到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點(diǎn)的連線正好與繩的伸直部分垂直，問物塊的落地點(diǎn)到桌面圓心O的水平距離為多少？已知桌面高度H=080 m物塊在桌面上運(yùn)動時未與立柱相碰取重力加速度大小為10 m/s2 9 勻速運(yùn)動著的水平傳送帶，其速度為=5 m/s.從不太高的地方放下一個粉筆骰子，它的一個面是水平的發(fā)現(xiàn)在傳送帶上粉筆留下一個長度s=5m的劃線稍后，傳動裝置受阻滯，傳送帶呈減速運(yùn)動，加速度為a=5 m/s2粉筆在傳送帶上是否還繼續(xù)留下劃線？有多長？能否準(zhǔn)確地計算出，為使粉筆不留劃線，傳送帶的減速值應(yīng)在什么限度內(nèi)？10一根不可伸長的細(xì)輕繩，穿上一粒質(zhì)量為m的珠子（視為質(zhì)點(diǎn)），繩的下端固定在A點(diǎn)，上端系在輕質(zhì)小環(huán)上，小環(huán)可沿固定的水平細(xì)桿滑動（小環(huán)的質(zhì)量及與細(xì)桿摩擦皆可忽略不計）細(xì)桿與A在同一豎直平面內(nèi)開始時，珠子緊靠小環(huán)，細(xì)繩被拉直，如圖3一15所示已知繩長為，A點(diǎn)到桿的距離為h，繩能承受的最大張力為Td，珠子下滑過程中到達(dá)最低點(diǎn)前繩子被拉斷求細(xì)繩被拉斷時珠子的位置和速度的大?。ㄖ樽优c繩之間無摩擦）11圖316中的是游樂場中的滑道模型，它位于豎直平面內(nèi),由兩個半徑都是的1/4圓周連接而成，它們的圓心、與兩圓弧的連接點(diǎn)在同一豎直線上沿水池的水面一小滑塊可由弧的任意點(diǎn)從靜止開始下滑 （1）若小滑塊從開始下滑到脫離滑道過程中，在兩個圓弧上滑過的弧長相等，則小滑塊開始下滑時應(yīng)在圓弧上的何處？（用該處到的連線與豎直線的夾角表示）（2）凡能在點(diǎn)脫離滑道的小滑塊，其 落水點(diǎn)到的距離如何？12如圖317所示，在一個勁度系數(shù)為 k的輕質(zhì)彈簧兩端分別拴著一個質(zhì)量為 m 的小球A和質(zhì)量為 2m的小球BA用細(xì)線拴住懸掛起來，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時彈簧長度為現(xiàn)將細(xì)線燒斷，并以此時為計時零點(diǎn)，取一相對地面靜止的、豎直向下為正方向的坐標(biāo)軸Ox，原點(diǎn)O與此時A球的位置重合如圖試求任意時刻兩球的坐標(biāo)參考解答1解：對左右兩物體和m，整體應(yīng)用牛頓第二定律有：mg=(2M+m)a，所以左物塊上升的加速度，對m：mg-N=ma，解得m與M之間的作用力，對左邊物體：F-Mg=Ma，所以，支點(diǎn)A所受的力2 解：剪斷前線的張力大小為（mBmC）g，前斷瞬間，彈簧的彈力大小不變，所以球A所受合力為向上的（mBmC）g，其加速度為豎直向上的（mBmC）g /mA，球B所受合外力為向下的（mBmC）g，其加速度為豎直向下的（mBmC）g /mB，球C所受合外力仍為零，所以其加速度仍為零。3解：設(shè)連接AB的細(xì)繩上的張力為T，則對A有： 對B有： 對AB整體有： 由代入數(shù)據(jù)得：A的加速度為，B的加速度為（方向均垂直向上）。4解：對m：，得：對M：，則：由運(yùn)動學(xué)知識可知：，解以上各式可得：5解：開始時每一磁鐵受到另一磁鐵的磁吸引力與板對它的靜摩擦力平衡，所以靜止不動。（1）從板突然向下平移到停下是先向下加速后向下減速運(yùn)動，板向下加速時，磁鐵對板的彈力減小，最大靜摩擦力也減小，當(dāng)最大靜摩擦力小于磁吸引力時，磁鐵就沿板相向運(yùn)動并吸在一起。（2）從板突然向上平移到停下是先向上加速后向上減速運(yùn)動，板向上減速時，磁鐵對板的彈力減小，最大靜摩擦力也減小，當(dāng)最大靜摩擦力小于磁吸引力時，磁鐵就沿板相向運(yùn)動并吸在一起。6解：設(shè)當(dāng)小球擺至與水平方向的夾角為時小球的速度為，則此時小球受到繩的拉力為T，由于小球做圓周運(yùn)動，有對于木塊，設(shè)地面對木塊的支持力為N，摩擦力為，故有設(shè)地面的靜摩擦因數(shù)為，則有：聯(lián)立以上各式解得：式中已令，又令于是，即關(guān)于的函數(shù)，現(xiàn)要求不論取何值，不塊均不發(fā)生移動，這就要求靜摩擦因數(shù)的最小值等于F（）的最大值，而可通過下述方法 求得：當(dāng)時，即時，F(xiàn)（）有最大值，其值為因此7解：首先我們證明只要棒的端點(diǎn)整個時間都是沿著互相垂直的軌跡運(yùn)動，則它的中心就會沿著一個圓周運(yùn)動，這個圓的半徑等于棒長的一半（r=10 cm），圓心位于豎直墻和水平地板交界的地方棒心沿著凸面作向上的圓弧運(yùn)動在右圖上表示了棒和作用在它上面的力。表示作用在棒上 的地板的約束反力，而是墻的約束反力力。因?yàn)榘舻馁|(zhì)量可以忽略不計，它對中心的轉(zhuǎn)動慣量也就等于零由此知，對棒中心的總力矩也為零。否則，棒就必須以無限大的角加速度圍繞點(diǎn)S運(yùn)動由于其端點(diǎn)沿地板和墻壁滑動的棒的轉(zhuǎn)動，隨之而來的是它的沿圓弧移動，棒的無限大的角加速度就必然引起在棒中心的質(zhì)點(diǎn)的無限大的線加速度，但這是不可能的，因?yàn)檫@個點(diǎn)有一定的質(zhì)量（設(shè)其質(zhì)量為m)那么，對棒的中心（質(zhì)點(diǎn)）列出力矩方程，得，由此得：這意味著，的方向是沿著圓半徑的因?yàn)閴Ρ诤偷匕迨峭瓢簦士偸侵赶驁A的外面，且的作用點(diǎn)沿圓周運(yùn)動現(xiàn)在找的點(diǎn)的位置該點(diǎn)是這樣的一個點(diǎn)，過它之后，棒心的運(yùn)動就變成自由運(yùn)動，也就是棒的端點(diǎn)不再對墻壁和地板有壓力，約束反力也就消失了假定棒心（質(zhì)點(diǎn)）離地板的高度為h時，與一個小球從光滑半球頂上滑下脫離類似，可以列出下面兩個方程（R=N=0)從上面二式可以得知，當(dāng)棒心離地板的高度 時，棒就離開墻壁。以后棒心進(jìn)行的運(yùn)動，就和向下斜拋一樣在棒心“離開”圓周的瞬間，它的速度為這個速度是和圓周相切的它的水平和豎直分量分別為，棒末端離開墻壁瞬間的距離。在瞬間的情況，也就是棒心開始向下斜拋一樣運(yùn)動的瞬間的情況，表示在下圖上令D代表所求的、在落地時棒心距離，t代表斜拋的持續(xù)時間，則有（在豎直方向），（在水平方向）把前面有關(guān)h、d、和的表達(dá)式代入上述二式， 就能得到D和t含r和g參量的兩個方程需注意的是所得方程組有兩個解對于其中一個Dd的解，因不合題意，必須舍去（因棒心不可能向墻靠近）對剩下的第二個解，Dd，它是。即棒心將在離墻12.5 cm觸地8 解：（1）因桌面是光滑的，輕繩是不可伸長的和柔軟的，且在斷開前繩都是被拉緊的，故在繩斷開前，物塊在沿桌面運(yùn)動的過程中，其速度始終與繩垂直，繩的張力對物塊不做功，物塊速度的大小保持不變設(shè)在繩剛要斷開時繩的伸直部分的長度為x，若此時物塊速度的大小為，則有繩對物塊的拉力僅改變物塊速度的方向，是作用于物塊的向心力，故有，由此得：代入題中數(shù)據(jù)，得x060 m（2）設(shè)在繩剛要斷開時，物塊位于桌面上的P 點(diǎn)，BP是繩的伸直部分，物塊速度如右圖所示，由題意可知，。因物塊離開桌面后便做初速度為的平拋運(yùn)動設(shè)平拋運(yùn)動的時間為t，則有，物塊做平拋運(yùn)動的水平射程為。由幾何關(guān)系可知，物塊落地點(diǎn)與桌面圓心O的水平距離為，聯(lián)立以上三式求解得：代入題中數(shù)據(jù)得：。9解：在隨傳送帶作勻速運(yùn)動的參考系中，情況看來就像在不動的帶上放置初速為 的粉筆令粉筆的質(zhì)量為m粉筆的初始動能（在所討論的參考系中）全部消耗在摩擦力做功上用表示粉筆對傳送帶的摩擦因數(shù)，就可寫出，由此得出： 。在加上產(chǎn)生（負(fù)）加速度a的阻滯力之后，與傳送帶相關(guān)聯(lián)的參考系就成了非慣性系。這時在非慣性系中，對粉筆就有和傳送帶運(yùn)行方向相反的等于的慣性力作用這個力就和電車或火車剎車時給旅客的作用力一樣，有同樣的特點(diǎn)在剎車時要使粉筆能滑動，慣性力ma就必須超過等于mg的摩擦力的最大值否則粉筆就不會動了，因力ma被摩擦力抵消了因而要使粉筆不留劃線就必須滿足條件：，即。按題中假設(shè)，不符合這個條件，因此在剎車時粉筆沿傳送帶滑動，并留下白色劃線下面來計算這段劃線的長度s1只要有ma力，也就是剎車阻滯力作用，粉筆將沿傳送帶作加速運(yùn)動在傳送帶停滯后，粉筆蔣會有非零的初速度，并且在摩擦力的影響下作減速運(yùn)動這個運(yùn)動將持續(xù)到粉筆停止時剎車持續(xù)時間為粉筆對傳送帶的加速度a1可從與傳送帶相關(guān)的非慣性系中表達(dá)的牛頓第二定律的關(guān)系式中去求為摩擦力摩擦因數(shù)產(chǎn)在前面已經(jīng)求過了這樣一來，就可寫出，即在剎車時粉筆經(jīng)過的路程（對傳送帶來說）為，或者說為在傳送帶停住的瞬間，粉筆對傳送帶的速度為在傳送帶停住后，粉筆的（負(fù)）加速度為減速持續(xù)的時間為在這段運(yùn)動時向中，粉筆走了的路程，即此路程為粉筆在傳送帶上留下的劃線長度為將題中已給出的數(shù)值代入，最后求礙s12.5 m.。10解：（1）珠子的運(yùn)動軌跡建立如圖3一16所示的坐標(biāo)系原點(diǎn)O在過A點(diǎn)的豎直線與細(xì)桿相交處，x軸沿細(xì)桿右，y軸沿OA向下當(dāng)珠子運(yùn)動到N點(diǎn)處且繩子未斷時，小環(huán)在B處，BN垂直于x軸，所以珠子的坐標(biāo)為，由APN知，即有于是得：這是一條以y軸為對稱軸，頂點(diǎn)位于處，焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離為的拋物線，如右圖所示，圖中，A為焦點(diǎn)（注：以y軸為對稱軸、頂點(diǎn)在處的拋物線方程為，與比較，得焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離為。（2）珠子在N點(diǎn)的運(yùn)動方程因?yàn)楹雎岳K子的質(zhì)量，所以可把與珠子接觸的那一小段繩子看做是珠子的一部分，則珠子受的力有三個：一個是重力mg；另外兩個是兩邊繩子對珠子的拉力，它們分別沿NB和NA方向，這兩個拉力大小相等，皆用T表示，則它們的合力的大小為，為N點(diǎn)兩邊繩子之間夾角的一半，F(xiàn)沿的角平分線方向因?yàn)锳N是焦點(diǎn)至N的連線，BNY軸，根據(jù)解析幾何所證的拋物線性質(zhì)可知N點(diǎn)的法線是的角平分線，故合力的方向與N點(diǎn)的法線一致由以上的論證，再根據(jù)牛頓定律，作一般曲線（拋物線）運(yùn)動的珠子的運(yùn)動方程（沿法線方向）應(yīng)為，即式中是N點(diǎn)處軌道曲線的曲率半徑；為珠子在N 處時速度的大小根據(jù)機(jī)械能守恒定律或運(yùn)動學(xué)知識可得：（3）求曲率半徑當(dāng)繩子斷裂時TTd，由(2)中可知，如果我們能另想其他辦法求得曲率半徑與y的關(guān)系，就可能由（2）的最后兩式求得繩子斷裂時珠子的縱坐標(biāo)y現(xiàn)提出如下一種作法作一條與小珠軌跡對于x軸呈對稱狀態(tài)的拋物線，如右圖所示由此很容易想到這是一個從高H處平拋物體的軌跡而平拋運(yùn)動是我們熟悉的，我們不僅知道其軌跡是拋物線，而且還知道其受力情況及詳細(xì)的運(yùn)動學(xué)方程這樣我們可不必通過軌跡方程而是運(yùn)用力學(xué)原理分析其運(yùn)動過程即