【高考輔導(dǎo)資料】2009年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——數(shù)列

2009 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編數(shù)列數(shù)列 一、選擇題 1.(2009 年廣東卷文)已知等比數(shù)列 n a的公比為正數(shù)，且 3 a 9 a=2 2 5 a， 2 a=1，則 1 a= A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】設(shè)公比為q,由已知得 2 284 111 2a qa qa q,即 2 2q ,又因為等比數(shù)列 n a的公比 為正數(shù)，所以2q ,故 2 1 12 22 a a q ,選 B 2.（2009 廣東卷 理）已知等比數(shù)列 n a滿足0,1,2, n an，且 2 525 2 (3) n n aan ， 則當(dāng)1n 時， 2123221 logloglog n aaa A. (21)nn B. 2 (1)n C. 2 n D. 2 (1)n 【解析】由 2 525 2 (3) n n aan 得 n n a 22 2，0 n a，則 n n a2， 3212 loglogaa 2 122 ) 12(31lognna n ，選 C. 3.（2009 安徽卷文）已知為等差數(shù)列，則等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 (204)1aad .選 B。 【答案】B 4.（2009 江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S.若 4 a是 37 aa與的等比中項, 8 32S ,則 10 S等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：C 【解析】由 2 437 aa a得 2 111 (3 )(2 )(6 )adad ad得 1 230ad,再由 81 56 832 2 Sad得 1 278ad則 1 2,3da ,所以 101 90 1060 2 Sad,.故選 C 5.（2009 湖南卷文）設(shè) n S是等差數(shù)列 n a的前 n 項和，已知 2 3a ， 6 11a ，則 7 S等于【 C 】 A13 B35 C49 D 63 解: 1726 7 7()7()7(3 11) 49. 222 aaaa S 故選 C. 或由 211 61 31 5112 aada aadd , 7 1 6 213.a 所以 17 7 7()7(1 13) 49. 22 aa S 故選 C. 6.（2009 福建卷理）等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S，且 3 S =6， 1 a=4， 則公差 d 等于 A1 B 5 3 C.- 2 D 3 【答案】：C 解析 313 3 6() 2 Saa且 311 2 =4 d=2aad a.故選 C w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7.（2009 遼寧卷文）已知 n a為等差數(shù)列，且 7 a2 4 a1, 3 a0,則公差 d （A）2 （B） 1 2 （C） 1 2 （D）2 【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d 1 2 【答案】B 8.（2009 遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S ，若 6 3 S S =3 ，則 6 9 S S = （A） 2 （B） 7 3 （C） 8 3 （D）3 【解析】設(shè)公比為 q ,則 3 63 33 (1)Sq S SS 1q33 q32 于是 6 36 9 3 11247 1123 Sqq Sq w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】B 9.（2009 寧夏海南卷理）等比數(shù)列 n a的前 n 項和為 n s，且 4 1 a，2 2 a， 3 a成等差數(shù)列。 若 1 a=1，則 4 s= （A）7 （B）8 （3）15 （4）16 解析：4 1 a，2 2 a， 3 a成等差數(shù)列， 22 1321114 44,44,440,215aaaaa qa qqqq即，S,選 C. 10.（2009 四川卷文）等差數(shù)列 n a的公差不為零，首項 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中項， 則數(shù)列的前 10 項之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案答案】B 【解析解析】設(shè)公差為d，則)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 S100 11.（2009 湖北卷文）設(shè),Rx記不超過x的最大整數(shù)為x,令x=x-x，則 2 15 ， 2 15 , 2 15 A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列 C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 【答案】B 【解析】可分別求得 5151 22 ， 51 1 2 .則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比 數(shù)列. 12.（2009 湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 他們研究過圖 1 中的 1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù); 類似地，稱圖 2 中的 1，4，9，16這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時三角形數(shù)又是正 方形數(shù)的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(1) 2 n n an ，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù) 列通項 2 n bn ，則由 2 n bn ()nN 可排除 A、D，又由(1) 2 n n an 知 n a必為奇數(shù)， 故選 C. 13.（2009 寧夏海南卷文）等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S，已知 2 11 0 mmm aaa ， 21 38 m S ,則m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】C 【解析】因為 n a是等差數(shù)列，所以， 11 2 mmm aaa ，由 2 11 0 mmm aaa ，得：2 m a 2 m a0，所以， m a2，又 21 38 m S ，即 2 )(12( 121 m aam 38，即（2m1） 238，解得 m10，故選.C。 14.（2009 重慶卷文）設(shè) n a是公差不為 0 的等差數(shù)列， 1 2a 且 136 ,a a a成等比數(shù)列，則 n a的前n項和 n S=（ ） A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 【答案】A 解析設(shè)數(shù)列 n a的公差為d，則根據(jù)題意得(22 )22 (25 )dd，解得 1 2 d 或 0d （舍去） ，所以數(shù)列 n a的前n項和 2 (1)17 2 2244 n n nnn Sn 15.（2009 安徽卷理）已知 n a為等差數(shù)列， 1 a+ 3 a+ 5 a=105， 246 aaa=99，以 n S表示 n a的前n項和，則使得 n S達到最大值的n是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 解析：由 1 a+ 3 a+ 5 a=105 得 3 3105,a 即 3 35a ，由 246 aaa=99 得 4 399a 即 4 33a ，2d ， 4 (4) ( 2)41 2 n aann ，由 1 0 0 n n a a 得20n ，選 B 16.（2009 江西卷理）數(shù)列 n a的通項 222 (cossin) 33 n nn an ，其前n項和為 n S，則 30 S為 A470 B490 C495 D510 答案：A 【解析】由于 22 cossin 33 nn 以 3 為周期,故 222222 222 30 12452829 (3 )(6 )(30 ) 222 S 22 1010 2 11 (32)(31)59 10 11 (3 ) 925470 222 kk kk kk 故選 A 17.（2009 四川卷文）等差數(shù)列 n a的公差不為零，首項 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中項， 則數(shù)列的前 10 項之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案答案】B 【解析解析】設(shè)公差為d，則)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 S100 二、填空題 1.（2009 全國卷理） 設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S，若 9 72S ,則 249 aaa= 。 解: n a是等差數(shù)列,由 9 72S ,得 59 9,Sa 5 8a 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa. 2.（2009 浙江理）設(shè)等比數(shù)列 n a的公比 1 2 q ，前n項和為 n S，則 4 4 S a 答案：15 【解析】對于 44 3 14 441 3 4 (1)1 ,15 1(1) aqsq saa q qaqq 3.（2009 浙江文）設(shè)等比數(shù)列 n a的公比 1 2 q ，前n項和為 n S，則 4 4 S a 【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項和求和公式，通過對數(shù)列知識點的考 查充分體現(xiàn)了通項公式和前n項和的知識聯(lián)系 【解析】對于 44 3 14 441 3 4 (1)1 ,15 1(1) aqsq saa q qaqq w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.（2009 浙江文）設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S，則 4 S， 84 SS， 128 SS， 1612 SS成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列 n b的前n項積為 n T，則 4 T， ， ， 16 12 T T 成等比數(shù)列 答案： 812 48 , TT TT 【命題意圖】此題是一個數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差 數(shù)列和等比數(shù)列的知識，也考查了通過已知條件進行類比推理的方法和能力w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列 n b的前n項積為 n T，則 4 T， 812 48 , TT TT ， 16 12 T T 成等比數(shù)列 5.（2009 北京文）若數(shù)列 n a滿足： 11 1,2() nn aaa nN ，則 5 a ；前 8 項的和 8 S .（用數(shù)字作答） .w【解析解析】本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.m 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考 查. 121324354 1,22,24,28,216aaaaaaaaa， 易知 8 8 21 255 2 1 S ，應(yīng)填 255. 6.（2009 北京理）已知數(shù)列 n a滿足： 43412 1,0,N , nnnn aaaa n 則 2009 a_； 2014 a=_. 【答案答案】1，0 【解析解析】本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識.屬于創(chuàng)新題型. 依題意，得 20094 503 3 1aa ， 20142 100710074 252 1 0aaaa . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 應(yīng)填 1，0. 7.（2009 江蘇卷）設(shè) n a是公比為q的等比數(shù)列，| 1q ，令1(1,2,) nn ban，若數(shù) 列 n b有連續(xù)四項在集合53, 23,19,37,82中，則6q= . 【解析】 考查等價轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項。 n a有連續(xù)四項在集合54, 24,18,36,81，四項24,36, 54,81成等比數(shù)列，公比為 3 2 q ，6q= -9 8.(2009 山東卷文)在等差數(shù)列 n a中,6 , 7 253 aaa,則_ 6 a. 【解析】:設(shè)等差數(shù)列 n a的公差為d,則由已知得 64 72 11 1 dada da 解得 1 3 2 a d ,所以 61 513aad. 答案:13. 【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項公式以及基本計算. 9.（2009 全國卷文）設(shè)等比數(shù)列 n a的前 n 項和為 n s。若 361 4, 1ssa，則 4 a= 答案：答案：3 解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算，由解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算，由 361 4, 1ssa得 q3=3 故 a4=a1q3=3。 10.(2009 湖北卷理)已知數(shù)列 n a滿足： 1 am（m 為正整數(shù)） ， 1 , 2 31, n n n nn a a a aa 當(dāng)為偶數(shù)時， 當(dāng)為奇數(shù)時。 若 6 a 1，則 m 所有可能的取值為_。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11.【答案】4 5 32 【解析】 （1）若 1 am為偶數(shù)，則 1 2 a 為偶, 故 2 23 a 224 amm a 當(dāng) 4 m 仍為偶數(shù)時， 46 832 mm aa 故132 32 m m 當(dāng) 4 m 為奇數(shù)時， 43 3 311 4 aam 6 3 1 4 4 m a 故 3 1 4 1 4 m 得 m=4。 （2）若 1 am為奇數(shù)，則 21 3131aam 為偶數(shù)，故 3 31 2 m a 必為偶數(shù) 6 31 16 m a ，所以 31 16 m =1 可得 m=5 12.（2009 全國卷理）設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S，若 53 5aa則 9 5 S S 9 . 解解： n a為等差數(shù)列， 95 53 9 9 5 Sa Sa 13.（2009 遼寧卷理）等差數(shù)列 n a的前n項和為 n S，且 53 655,SS則 4 a 【解析】Snna1 1 2 n(n1)d w.w.w.k.s.5.u.c.o.m S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4 【答案】 3 1 14.（2009 寧夏海南卷理）等差數(shù)列 n a前 n 項和為 n S。已知 1m a + 1m a - 2 m a=0， 21m S =38, 則 m=_ 解析：由 1m a + 1m a - 2 m a=0 得到 1212 21 21 20,0,2213810 2 m mmmmm maa aaaSmam 又。 答案 10 15.（2009 陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n s,若 63 12as,則 n a . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案:2n 解析:由 63 12as可得 n a的公差 d=2,首項 1 a=2,故易得 n a 2n. 16.(2009 陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S,若 63 12aS,則 2 lim n n S n . 答案：1 611 22 31 125122 11 (1)limlim1 12122 nn n nn aada SSnn Sn n saddnnnn 解析： 17.（2009 寧夏海南卷文）等比數(shù)列 n a的公比0q , 已知 2 a=1， 21 6 nnn aaa ，則 n a的 前 4 項和 4 S= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】 15 2 【解析】由 21 6 nnn aaa 得： 11 6 nnn qqq，即06 2 qq，0q ，解得： q2，又 2 a=1，所以， 1 1 2 a ， 21 )21 ( 2 1 4 4 S 15 2 。 18.(2009 湖南卷理)將正ABC 分割成n 2 （n2，nN）個全等的小正三角形（圖 2，圖 3 分別給出了 n=2,3 的情形） ，在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于ABC 的三遍及平行 于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個數(shù)不少于 3 時）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點 A ,B ,C 處的三個數(shù)互不相同且和為 1,記所有頂點上的數(shù)之和為 f(n)，則有 f(2)=2，f(3)= 10 3 ，f(n) = 1 6 (n+1)(n+2) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】： 10 1 ,(1)(2) 36 nn 【解析】當(dāng) n=3 時，如圖所示分別設(shè)各頂點的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知 121212 1,abcxxab yybc zzca 121212122112 2()2,2xxyyzzabcgxyxzyz 121212 62()2gxxyyzzabc w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即 121212 11110 (3)1 3233 gfabcxxyyzzg 而 進一步可求得(4)5f。由上知(1)f中有三個數(shù)，(2)f中 有 6 個數(shù)，(3)f中共有 10 個 數(shù)相加 ，(4)f中有 15 個數(shù)相加.，若(1)f n中有 1( 1) n an 個數(shù)相加，可得( )f n中有 1 (1) n an 個數(shù)相加，且由 363331045 (1)1,(2)(1),(3)(2),(4)5(3),. 3333333 fffffff 可得 1 ( )(1), 3 n f nf n 所以 11113 ( )(1)(2).(1) 3333333 nnnnnn f nf nf nf = 113211 (1)(2) 3333336 nnn nn 19.（2009 重慶卷理）設(shè) 1 2a ， 1 2 1 n n a a ， 2 1 n n n a b a ， * nN，則數(shù)列 n b的通項 公式 n b= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】：2n+1 【解析】由條件得 11 1 1 1 2 2 22 22 2 11 1 nnn nn nn n aaa bb aa a 且 1 4b 所以數(shù)列 n b是首 項為 4，公比為 2 的等比數(shù)列，則 11 4 22 nn n b 三、解答題 1.(2009 年廣東卷文)（本小題滿分 14 分） 已知點（1， 3 1 ）是函數(shù), 0()(aaxf x 且1a）的圖象上一點，等比數(shù)列 n a的前n項 和為cnf)(,數(shù)列 n b)0( n b的首項為c，且前n項和 n S滿足 n S 1n S= n S+ 1n S（ 2n ）. （1）求數(shù)列 n a和 n b的通項公式； （2）若數(shù)列 1 1nnb b 前n項和為 n T，問 n T 2009 1000 的最小正整數(shù)n是多少? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 （1） 1 1 3 faQ, 1 3 x f x 1 1 1 3 afcc , 2 21afcfc 2 9 , 3 2 32 27 afcfc . 又數(shù)列 n a成等比數(shù)列， 2 2 1 3 4 21 81 2 33 27 a ac a ，所以 1c ； 又公比 2 1 1 3 a q a ，所以 1 2 11 2 3 33 nn n a * nN ； 1111nnnnnnnn SSSSSSSS Q 2n 又0 n b ,0 n S , 1 1 nn SS ； 數(shù)列 n S構(gòu)成一個首相為 1 公差為 1 的等差數(shù)列，111 n Snn ， 2 n Sn 當(dāng)2n ， 2 2 1 121 nnn bSSnnn ； 21 n bn( * nN)； （2） 1 22 33 41 1111 n nn T bbb bb bb b L 1111 1 33 55 7(21)21nn K 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn K 11 1 22121 n nn ； 由 1000 212009 n n T n 得 1000 9 n ，滿足 1000 2009 n T 的最小正整數(shù)為 112. 2.（2009 全國卷理） （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效） 在數(shù)列 n a中， 11 11 1,(1) 2 nn n n aaa n （I）設(shè) n n a b n ，求數(shù)列 n b的通項公式 （II）求數(shù)列 n a的前n項和 n S 分析分析：（I）由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出數(shù)列 n b的通項公式: 1 1 2 2 n n b ( * nN) （II）由（I）知 1 2 2 n n n an , n S= 1 1 (2) 2 n k k k k 1 11 (2 ) 2 nn k kk k k 而 1 (2 )(1) n k kn n ,又 1 12 n k k k 是一個典型的錯位相減法模型， 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S=(1)n n 1 2 4 2n n 評析評析：09 年高考理科數(shù)學(xué)全國(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯位相減法求前 n 項和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一 線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有 意識降低難度和求變的良苦用心。 3.（2009 浙江文） （本題滿分 14 分）設(shè) n S為數(shù)列 n a的前n項和， 2 n Sknn， * nN，其中k是常數(shù) （I） 求 1 a及 n a； （II）若對于任意的 * mN， m a， 2m a， 4m a成等比數(shù)列，求k的值 解析：（）當(dāng)1, 1 11 kSan， 12)1() 1(, 2 22 1 kknnnknknSSan nnn （） 經(jīng)驗，, 1n（）式成立， 12kknan （） mmm aaa 42 ,成等比數(shù)列， mmm aaa 4 2 2 .， 即) 18)(12() 14( 2 kkmkkmkkm，整理得：0) 1(kmk， 對任意的 Nm成立， 10kk或 4.（2009 北京文） （本小題共 13 分） 設(shè)數(shù)列 n a的通項公式為(,0) n apnq nNP . 數(shù)列 n b定義如下：對于正整數(shù) m， m b是使得不等式 n am成立的所有 n 中的最小值. （）若 11 , 23 pq ，求 3 b； （）若2,1pq ，求數(shù)列 m b的前 2m 項和公式； （）是否存在 p 和 q，使得32() m bmmN ？如果存在，求 p 和 q 的取值范圍； 如果不存在，請說明理由. 【解析解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、 分類討論等數(shù)學(xué)思想方法本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題. （）由題意，得 11 23 n an，解 11 3 23 n，得 20 3 n . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11 3 23 n成立的所有 n 中的最小整數(shù)為 7，即 3 7b . （）由題意，得21 n an， 對于正整數(shù)，由 n am，得 1 2 m n . 根據(jù) m b的定義可知 當(dāng)21mk時， * m bk kN；當(dāng)2mk時， * 1 m bkkN. 1221321242mmm bbbbbbbbb 1232341mm 2 13 2 22 m mm m mm . （）假設(shè)存在 p 和 q 滿足條件，由不等式pnqm及0p 得 mq n p . 32() m bmmN ,根據(jù) m b的定義可知，對于任意的正整數(shù) m 都有 3132 mq mm p ，即231pqpmpq 對任意的正整數(shù) m 都成立. 當(dāng)310p （或310p ）時，得 31 pq m p （或 2 31 pq m p ） ， 這與上述結(jié)論矛盾！ 當(dāng)310p ，即 1 3 p 時，得 21 0 33 qq ，解得 21 33 q . 存在 p 和 q，使得32() m bmmN ； p 和 q 的取值范圍分別是 1 3 p ， 21 33 q . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5.（2009 北京理） （本小題共 13 分） 已知數(shù)集 1212 ,1,2 nn Aa aaaaa n具有性質(zhì)P；對任意的 ,1i jijn ， ij a a與 j i a a 兩數(shù)中至少有一個屬于A. （）分別判斷數(shù)集1,3,4與1,2,3,6是否具有性質(zhì)P，并說明理由； （）證明： 1 1a ，且 12 111 12 n n n aaa a aaa ； （）證明：當(dāng)5n 時， 12345 ,a a a a a成等比數(shù)列. 【解析解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分 分類討論等數(shù)學(xué)思想方法本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題. （）由于3 4與 4 3 均不屬于數(shù)集1,3,4，該數(shù)集不具有性質(zhì) P. 由于 6 6 1 2 3 6 1 2,1 3,1 6,2 3, , 2 3 1 2 3 6 都屬于數(shù)集1,2,3,6， 該數(shù)集具有性質(zhì) P. （） 12 , n Aa aa具有性質(zhì) P， nn a a與 n n a a 中至少有一個屬于 A， 由于 12 1 n aaa， nnn a aa，故 nn a aA. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 從而1 n n a A a ， 1 1a . 12 1 n aaa， knn a aa，故2,3, kn a aA kn. 由 A 具有性質(zhì) P 可知1,2,3, n k a A kn a . 又 121 nnnn nn aaaa aaaa ， 21 121 1, nnnn nn nn aaaa aaa aaaa ， 從而 121 121 nnnn nn nn aaaa aaaa aaaa ， 12 111 12 n n n aaa a aaa . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知，當(dāng)5n 時，有 55 23 43 , aa aa aa ，即 2 5243 aa aa， 125 1aaa， 34245 a aa aa， 34 a aA， 由 A 具有性質(zhì) P 可知 4 3 a A a . 2 243 a aa，得 34 23 aa A aa ，且 3 2 2 1 a a a ， 34 2 32 aa a aa ， 5342 2 4321 aaaa a aaaa ，即 12345 ,a a a a a是首項為 1，公比為 2 a成等比數(shù)列. .k.s.5. 6.（2009 江蘇卷） （本小題滿分 14 分） 設(shè) n a是公差不為零的等差數(shù)列， n S為其前n項和，滿足 2222 23457 ,7aaaaS。 （1）求數(shù)列 n a的通項公式及前n項和 n S； （2）試求所有的正整數(shù)m，使得 1 2 mm m a a a 為數(shù)列 n a中的項。 【解析】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和的有關(guān)知識，考查運算和求解的能力。滿 分 14 分。 （1）設(shè)公差為d，則 2222 2543 aaaa，由性質(zhì)得 4343 3 ()()d aad aa，因 為0d ，所以 43 0aa，即 1 250ad，又由 7 7S 得 1 76 77 2 ad ，解 得 1 5a ，2d , (2) （方法一） 1 2 mm m a a a = (27)(25) 23 mm m ,設(shè)23mt， 則 1 2 mm m a a a = (4)(2)8 6 tt t tt , 所以t為 8 的約數(shù) （方法二）因為 122 2 222 (4)(2)8 6 mmmm m mmm a aaa a aaa 為數(shù)列 n a中的項， 故 m+2 8 a 為整數(shù)，又由（1）知： 2m a 為奇數(shù)，所以 2 231,1,2 m amm 即 經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有2m 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7.（2009 江蘇卷） （本題滿分 10 分） 對于正整數(shù)n2，用 n T表示關(guān)于x的一元二次方程 2 20xaxb有實數(shù)根的有序數(shù)組 ( , )a b的組數(shù)，其中,1,2,a bn（a和b可以相等） ；對于隨機選取的 ,1,2,a bn（a和b可以相等） ，記 n P為關(guān)于x的一元二次方程 2 20xaxb有實 數(shù)根的概率。 （1）求 2 n T和 2 n P； （2）求證：對任意正整數(shù)n2，有 1 1 n P n . 【解析】 必做題必做題本小題主要考查概率的基本知識和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分 10 分。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8.(2009 山東卷理)（本小題滿分 12 分） 等比數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S， 已知對任意的nN ，點( ,) n n S，均在函數(shù) (0 x ybr b且1, ,bb r均為常數(shù))的圖像上. （1）求 r 的值； （11）當(dāng) b=2 時，記 2 2(log1)() nn banN w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 證明：對任意的nN ，不等式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 解:因為對任意的nN ,點( ,) n n S，均在函數(shù)(0 x ybr b且1, ,bb r均為常數(shù)的圖像 上.所以得 n n Sbr,當(dāng)1n 時, 11 aSbr,當(dāng)2n 時, 111 1 ()(1) nnnnn nnn aSSbrbrbbbb ,又因為 n a為等比數(shù)列,所以 1r ,公比為b, 1 (1) n n abb （2）當(dāng) b=2 時， 11 (1)2 nn n abb , 1 22 2(log1)2(log 21)2 n nn ban 則 121 2 n n bn bn ,所以 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn 成立. 當(dāng)1n 時,左邊= 3 2 ,右邊=2,因為 3 2 2 ,所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)nk時不等式成立,即 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk 成立.則 當(dāng)1nk時,左邊= 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk bbbbkk bbbbkk 22 23(23)4(1)4(1) 11 1(1) 1(1) 1 224(1)4(1)4(1) kkkk kkk kkkk 所以當(dāng)1nk時,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由、可得不等式恒成立. 【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及已知 n S求 n a的基本題型,并運 用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式. 9.(2009 山東卷文)（本小題滿分 12 分） 等比數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S， 已知對任意的nN ，點( ,) n n S，均在函數(shù) (0 x ybr b且1, ,bb r均為常數(shù))的圖像上. （1）求 r 的值； （11）當(dāng) b=2 時，記 1( ) 4 n n n bnN a 求數(shù)列 n b的前n項和 n T 解:因為對任意的nN ,點( ,) n n S，均在函數(shù)(0 x ybr b且1, ,bb r均為常數(shù))的圖像 上.所以得 n n Sbr, 當(dāng)1n 時, 11 aSbr, 當(dāng)2n 時, 111 1 ()(1) nnnnn nnn aSSbrbrbbbb , 又因為 n a為等比數(shù)列, 所以1r , 公比為b, 所以 1 (1) n n abb （2）當(dāng) b=2 時， 11 (1)2 nn n abb , 11 111 44 22 n nn n nnn b a 則 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T 相減,得 234512 1211111 2222222 n nn n T 31 2 11 (1) 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及已知 n S求 n a的基本題型,并運 用錯位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對應(yīng)項乘積所得新數(shù)列的前n項和 n T. 10.（2009 全國卷文） （本小題滿分 10 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知等差數(shù)列 n a中，, 0,16 6473 aaaa求 n a前 n 項和 n s. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運用能力，利用方程的思想可求解。解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運用能力，利用方程的思想可求解。 解：設(shè) n a的公差為d，則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11 11 2616 350 adad adad 即 22 11 1 81216 4 adad ad 解得 11 8,8 2,2 aa dd 或 因此819819 nn Snn nn nSnn nn n ，或 11.（2009 廣東卷 理） （本小題滿分 14 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知曲線 22 :20(1,2,) n Cxnxyn從點( 1,0)P 向曲線 n C引斜率為 (0) nn k k 的切線 n l，切點為(,) nnn P xy （1）求數(shù)列 nn xy與的通項公式； （2）證明： 13521 1 2sin 1 nn n nn xx xxxx xy . 解：（ 1）設(shè)直線 n l：) 1( xky n ，聯(lián)立02 22 ynxx得 0)22()1 ( 2222 nnn kxnkxk，則0)1 (4)22( 2222 nnn kknk， 12 n n kn（ 12 n n 舍去）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2 2 2 2 ) 1(1 n n k k x n n n ，即 1 n n xn， 1 12 ) 1( n nn xky nnn （2）證明： 12 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x n n w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12 1 12 12 5 3 3 1 2 12 4 3 2 1 12531 nn n n n xxxx n n n n x x xxxx 1 1 12531 由于 n n n n x x ny x 1 1 12 1 ，可令函數(shù)xxxfsin2)(，則xxfcos21)( ， 令0)( xf，得 2 2 cosx，給定區(qū)間) 4 , 0( ，則有0)( xf，則函數(shù))(xf在) 4 , 0( 上 單調(diào)遞減，0)0()( fxf，即xxsin2在) 4 , 0( 恒成立，又 43 1 12 1 0 n ， 則有 12 1 sin2 12 1 nn ，即 n n n n y x x x sin2 1 1 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12.（2009 安徽卷理） （本小題滿分（本小題滿分 13 分）分） 首項為正數(shù)的數(shù)列 n a滿足 2 1 1 (3),. 4 nn aanN （I）證明：若 1 a為奇數(shù)，則對一切2, n na都是奇數(shù)； （II）若對一切nN都有 1nn aa ，求 1 a的取值范圍. 解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識，考查推理論證、抽象概括、運 算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分 13 分。 解：（I）已知 1 a是奇數(shù)，假設(shè)21 k am是奇數(shù)，其中m為正整數(shù)， 則由遞推關(guān)系得 2 1 3 (1) 1 4 k k a am m 是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任何nN， n a都是奇數(shù)。 （II） （方法一）由 1 1 (1)(3) 4 nnnn aaaa 知， 1nn aa 當(dāng)且僅當(dāng)1 n a 或3 n a 。