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第二節(jié) 數(shù)量值函數(shù)的曲面積分 (第一類曲面積分),一、概念的引入,二、第一類曲面積分的定義,三、第一類曲面積分的計算法,一、概念的引入,所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉動.,引例: 設曲面形構件具有連續(xù)面密度,類似求平面薄板質量的思想, 采用,“分割, 取近似值, 求近似和,求極限”的方法,可得,求質量M.,其中, 表示n小塊曲面的直徑的,最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者).,二、第一類曲面積分的定義,1.定義,記為,即,注意：,2.第一類曲面積分的存在性,3.第一類曲面積分的性質,1) 第一類曲面積分具有線性性質,回顧:,則,按照曲面的不同情況,曲面面積元素分為以下三種：,則,則,三、第一類曲面積分的計算法,當 為 xoy 平面上的區(qū)域 D 時， 即是 D 上的二重積分，,定理: 設有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有,對面積的曲面積分的計算法,則曲面積分,證明: 由定義知,而,( 光滑),例1,第一類曲面積分的計算法:,例2,例3,則,則,2. 若曲面 可表示成 y = y(x,z),(2) 計算,2）解: 設,上的部分, 則,原式 =,分別表示 在平面,小結(第一類曲面積分計算):,則,按照曲面的不同情況分為以下三種：,則,則,說明：,例5,注：,例5. 計算,其中 是介于平面,之間的圓柱面,分析: 若將曲面分為前后(或左右),則,解: 取曲面面積元素,兩片,則計算較繁.,練習： 求橢圓柱面,位于 xOy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的側面積 S .,解:,取,4. 利用對稱性簡化計算：,補充:,P225. 1(10) 設,在第一卦限中的部分, 則有( ).,( 2000 考研 ),例1. 計算,其中 是球面,利用輪換對稱性可知,解:,四、幾何與物理意義,例1. 求半徑為R 的均勻半球殼 的重心.,解: 設 的方程為,利用對稱性可知重心的坐標,而,用球面坐標,解,依對稱性知：,例2,解,（左右兩片投影相同）,例3,解,五、小結,2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算.,1、 對面積的曲面積分的概念;,（按照曲面的不同情況分為三種）,思考題,在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中, 有因子 , 試說明這個因子的幾

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