lec11正態(tài)分布樣本分布.pptx

正態(tài)分布 樣本分布,第十一講,大綱,正態(tài)分布 性質(zhì)、計算與應(yīng)用 樣本分布 總體與樣本 參數(shù)、樣本統(tǒng)計量與估計 樣本分布及其觀察,正態(tài)分布,統(tǒng)計學(xué)中最常用、最重要的分布,正態(tài)分布發(fā)現(xiàn)的歷史,對正態(tài)分布的認(rèn)識始于對測量誤差的研究，因此最初被稱為 “l(fā)aw of errors” 幾個重要人物 Abraham De Moivre 1667-1754 1733年私下里出版了一本小冊子，Doctrine of Chance。他第一次提到，獨(dú)立的離散隨機(jī)變量可以近似地用一個指數(shù)函數(shù)來描述 Marquis de Laplace 1749-1827 長期對測量誤差的性態(tài)進(jìn)行研究，他證明了，幾乎所有獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量都會隨著樣本的增加迅速收斂于一個指數(shù)分布，即正態(tài)分布,Carl Friedrich Gauss 1777-1855 正態(tài)分布也被稱為“高斯分布”。高斯在1809年第一個建立了兩參數(shù)的指數(shù)函數(shù)，來描述天文觀測中的誤差分布 1924年，英國統(tǒng)計學(xué)家Karl Pearson 偶然發(fā)現(xiàn)，De Moivre在1733年就已經(jīng)寫出了正態(tài)分布的概率密度的數(shù)學(xué)表達(dá)式,形狀特點(diǎn),鐘型，對稱 正態(tài)分布的曲線是鐘形，故有時又稱為“鐘形曲線”，它反映了這樣一種極普通的情況：天下形形色色的事物中，“兩頭小，中間大”的居多，如人的身高，太高太矮的都不多，而居于中間者占多數(shù) 均值=中位數(shù)=眾數(shù) 隨機(jī)變量值域無限,正態(tài)分布與頤和園玉帶橋,它們的形狀極其相像,05級經(jīng)濟(jì)學(xué)系劉振楠提供的擬合結(jié)果 藍(lán)色的曲線為一條正態(tài)分布曲線,正態(tài)分布的重要性,正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中占有極重要的地位 描述許多隨機(jī)的活動和連續(xù)現(xiàn)象 統(tǒng)計推斷基礎(chǔ) 現(xiàn)今仍在常用的許多統(tǒng)計方法，就是建立在“所研究的量具有或近似地具有正態(tài)分布”這個假定的基礎(chǔ)上，而經(jīng)驗(yàn)和理論（概率論中“中心極限定理”）都表明這個假定的現(xiàn)實(shí)性 現(xiàn)實(shí)世界許多現(xiàn)象看來是雜亂無章的，如不同的人有不同的身高、體重。大批生產(chǎn)的產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)各有差異。看來毫無規(guī)則，但它們在總體上服從正態(tài)分布。這一點(diǎn)，顯示在紛亂中有一種秩序存在,正態(tài)分布概率密度函數(shù)與概率,密度函數(shù) p = 3.14159; e = 2.71828 s =總體的標(biāo)準(zhǔn)差 m = 總體均值 x 的定義域?yàn)?, + ) 正態(tài)分布的概率：,正態(tài)分布概率密度曲線,概率密度曲線的性質(zhì),圖形以直線x = 為對稱軸呈鐘形對稱曲線，并且f (x)在x = 處達(dá)到最大值 在x = 處有拐點(diǎn) 當(dāng)x 時，曲線以x軸為漸進(jìn)線 參數(shù)m 和s 變化對分布圖形的影響 如果 固定，改變 的值，則f (x)的圖形沿著x軸平行移動，但不改變形狀 如果 固定， 大時，曲線平緩， 小時，曲線陡峭 f (x)圖形的形狀完全由 決定，而位置完全由 決定,正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化,一般正態(tài)分布：XN(m ,s2) 記它的密度函數(shù)和分布函數(shù)為f(x)和F(x) 正態(tài)分布：ZN(1 ,0) 記它的密度函數(shù)和分布函數(shù)為f(x)和F(x) 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系：,示例,證明,對于XN(m ,s 2)，有 令 ，則有 即,運(yùn)用Excel計算正態(tài)分布的概率,正態(tài)分布函數(shù)NORMDIST 用于計算給定均值和標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布的累積函數(shù) 語法結(jié)構(gòu)為：NORMDIST(x, mean, standard_dev, cumulative) cumulative 為 是否返回累積分布函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) NORMSDIST 用于計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)，該分布的均值為 0，標(biāo)準(zhǔn)差為 1 語法結(jié)構(gòu)為：NORMSDIST(z)： 。 其中：z為需要計算其分布的數(shù)值。,續(xù),正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)：NORMINV 根據(jù)已知概率等參數(shù)確定正態(tài)分布隨機(jī)變量值。 其語法結(jié)構(gòu)為：NORMINV(probability, mean, standard_dev) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)NORMSINV 根據(jù)概率確定標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量的取值。 其語法結(jié)構(gòu)為：NORMSINV(probability),練習(xí),設(shè)ZN(1 ,0) ，求 Pr(Z -0.09) Pr(|Z|1.96) Pr(2.15 Z 6.7) 設(shè)XN(1, 4)，求 P (0 X 1.6) 已知XN(2 ,s 2)，且 P( 2 X 4 ) = 0.3，求 P ( X 0 ) 自學(xué)查正態(tài)分布表,例：已知分布求概率,一種自動包裝機(jī)向袋中裝糖果，標(biāo)準(zhǔn)是每袋64g。但因隨機(jī)誤差，每袋的具體重量有波動，根據(jù)以往的資料顯示，一袋糖果的重量服從均值為64g，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5g的正態(tài)分布。問隨機(jī)抽出一袋糖果，其重量超過65g的概率為多少? 重量不足62g的概率為多少?,例：已知概率求x值,某企業(yè)對生產(chǎn)中某關(guān)鍵工序調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，工人們完成該工序的時間（以分鐘計）近似服從正態(tài)分布N(20, 32)。問： 從該工序生產(chǎn)工人中任選一人，其完成該工序時間少于17分鐘的概率是多少？ 要求以95%的概率保證該工序生產(chǎn)時間不多于25分鐘，這一要求能否滿足？ 為鼓勵先進(jìn)，擬獎勵該工序生產(chǎn)時間用得最少的10%的工人，獎勵標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定在什么時間范圍內(nèi)？,例,假設(shè)某種汽車電池的壽命服從正態(tài)分布，平均數(shù)為800天，標(biāo)準(zhǔn)差為100天?，F(xiàn)隨機(jī)抽取一個汽車電池，其壽命小于500天的概率有多大？大于1000天的概率有多大？介于700天至900天的概率有多大？如果該公司想制定一個保質(zhì)期，在保質(zhì)期內(nèi)可以免費(fèi)更換電池，公司最多可以承擔(dān)1%的免費(fèi)更換，保質(zhì)期應(yīng)該定在多長？,樣本分布,總體與樣本 參數(shù)、樣本統(tǒng)計量與估計 樣本分布及其觀察,什么是總體,描述統(tǒng)計中的總體定義 被觀察對象的全體，我們所感興趣的全體 總體分布 表征總體的分組變量的次數(shù)分布，與總體均值、方差聯(lián)系在一起 例：某班學(xué)生按性別分組,用隨機(jī)變量表示總體,現(xiàn)在我們從班上任意抽取一名學(xué)生，令隨機(jī)變量X 表示該名學(xué)生的性別，有 隨機(jī)變量X 的概率分布于是為： 發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)變量X 的概率分布與它所對應(yīng)的總體的次數(shù)分布完全一致,概率分布與總體分布,我們可以用一個隨機(jī)變量來表示一個總體，這個隨機(jī)變量的概率分布就是該總體分布,樣本,從總體中按照隨機(jī)原則抽出的個體組成的小群體 設(shè)X1, X2, Xn是一組相互獨(dú)立與X具有相同分布的隨機(jī)變量，稱(X1, X2, Xn)為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本，n為樣本容量 X1, X2, Xn為樣本單位或樣本點(diǎn) 樣本觀察值或觀察結(jié)果(x1, x2, xn)稱為樣本值,總體與樣本,我們可以用一個隨機(jī)變量X來描述一個總體 因?yàn)樗鼈兙哂邢嗤母怕史植?以及相同的數(shù)字特征，如期望和方差 我們可以用一組相互獨(dú)立與總體X具有相同分布的隨機(jī)變量(X1, X2, Xn)來描述一個樣本 按照隨機(jī)原則從總體X中抽取的每一個樣本點(diǎn)一定與總體X具有相同分布,參數(shù)、樣本統(tǒng)計量與估計,參數(shù)：與總體有關(guān)的數(shù)字特征 總體的均值m 與方差s 總體原點(diǎn)距、中心距等 樣本統(tǒng)計量：根據(jù)樣本值構(gòu)造出的一些特定的量，是樣本的函數(shù)，用它對總體參數(shù)進(jìn)行估計時，又稱作估計量 樣本均值 = ，用來估計m； 樣本方差 = ，用來估計s2 樣本矩用于估計總體矩,樣本分布,樣本分布 樣本統(tǒng)計量的概率分布 樣本統(tǒng)計量是隨樣本不同而變化的量，是隨機(jī)變量，有一定的概率分布。 例：已知一個盒子里放了8個球，每個球的重量分別為1g，2g，8g。現(xiàn)從中簡單隨機(jī)（即放回重復(fù)抽?。┏槿?個球，求樣本平均重量 的概率分布。,Xbar的概率分布,總體與樣本均值分布圖,n = 2,n = 3,樣本均值分布的性質(zhì),樣本均值的期望等總體均值： 因?yàn)閬碜钥傮w的簡單隨機(jī)樣本X1, X2, , Xn相互獨(dú)立，并與總體具有相同的分布，則 所以有 樣本均值的方差等于總體方差除以樣本容量 含義：樣本容量越大，樣本均值越穩(wěn)定,正態(tài)總體樣本均值分布的性質(zhì),如果總體服從正態(tài)分布XN(m,s 2)，則其樣本均值Xbar，服從參數(shù)為(m,s 2/n) 的正態(tài)分布，即： 并有,樣本均值性質(zhì)的Excel模擬,模擬工具：隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 從均值為3，標(biāo)準(zhǔn)差為5的正態(tài)總體中分別抽取樣本容量為4，10，40的樣本，每種樣本容量的抽取各重復(fù)2000次 觀察不同樣本容量下的樣本均值的描述統(tǒng)計結(jié)果 樣本均值 樣本方差,Xbar的描述統(tǒng)計結(jié)果,例,股市中隨機(jī)選取16支股票。假定該日股市波動幅度服從以均值為1.5，標(biāo)準(zhǔn)差為2的正態(tài)分布。試問所選取的16支股票的平均價格上漲的概率是多少？ 令 為16支股票的平均波動幅度 則 =1- normdist( 0, 1.5%, 0.5%, true) = 99.87%， 所選取的16支股票的平均價格上漲的概率是99.87%,Stata模擬,從l=3的指數(shù)分布總體中分別抽取樣本容量為4，25，400的樣本，每種樣本容量的抽取各重復(fù)20000次 prog simu rndexp 4 3 /rnd用于生成各種分布中的隨機(jī)數(shù) qui sum xe /rndexp產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)記作xe end simulate simu m=r(mean), reps(20000) hist m,normal,分布圖,l=3的均勻分布總體,n=4的樣本均值分布,n=25的 樣本均值分布,n=100的 樣本均值分布,作業(yè)1,5.12 5.13 設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑 X (mm) N ( ,1)。已知銷售每個零件的利潤T (元)與銷售零件的內(nèi)徑 X 有如下的關(guān)系： 問平均直徑 為何值時, 銷售一個零件的平均利潤最大？,作業(yè)2,請你運(yùn)用散點(diǎn)圖工具分別作一下均值和標(biāo)準(zhǔn)差