控制工程6系統(tǒng)的穩(wěn)定性.ppt

系統(tǒng)的穩(wěn)定性,本章基本內(nèi)容： 1.系統(tǒng)穩(wěn)定的概念 2.系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件 3.系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定：Routh判據(jù) Nyquist判據(jù) Bode判據(jù) 4.系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的概念 5.系統(tǒng)相對穩(wěn)定裕度的概念及其計算,系統(tǒng)的穩(wěn)定性,基本要求： 1.掌握系統(tǒng)穩(wěn)定與相對穩(wěn)定的概念 2.掌握三個系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)及其應(yīng)用 3.掌握系統(tǒng)相對穩(wěn)定裕度的概念及其計算 重點(diǎn)與難點(diǎn)： 1.三個系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)及其應(yīng)用 2.系統(tǒng)相對穩(wěn)定裕度的計算,系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念,沒有外力作用的自由振蕩若是減幅的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 自由振蕩若是增幅的，則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。,1單擺,2小球,偏離初始狀態(tài)后能恢復(fù)到初始狀態(tài)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng),穩(wěn)定的含義: 系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 理解： (1)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與輸入無關(guān)； (2)外力消失后的振蕩是由初始偏差造成的; (3)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生和系統(tǒng)具有正反饋相關(guān); (4)控制理論中僅討論輸入為零，系統(tǒng)僅存有不為零的初態(tài)時的穩(wěn)定性。,系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象： 二階系統(tǒng)中的三種情況 01 減幅（收斂）振蕩 =0 等幅振蕩 0 增幅（發(fā)散）振蕩 系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生取決于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)，與系統(tǒng)輸入無關(guān)； 系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象說明系統(tǒng)中必有反饋，而且是正反饋。,不穩(wěn)定,穩(wěn)定,系統(tǒng)穩(wěn)定的定義： 原來處在平衡狀態(tài)的系統(tǒng)受到擾動后會偏離原來的平衡狀態(tài)，擾動消失后，系統(tǒng)能回到原來的平衡狀態(tài)或達(dá)到新的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件： 結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)所有的特征根都具有負(fù)實部，即所有特征根都位于復(fù)平面的左半平面，該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。該條件是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。 所有Resi0 系統(tǒng)不穩(wěn)定，發(fā)散,Routh(代數(shù))穩(wěn)定判據(jù),基于方程式根與系數(shù)的關(guān)系而建立 通過對系統(tǒng)特征方程式的各項系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部特征根都具有負(fù)實部的條件，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)的特征方程式,若所有特征根都具有負(fù)實部，,系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件: 特征方程所有的系數(shù)都大于0,則有：所有系數(shù)ai都大于0,系統(tǒng)特征方程為 a0sn+a1sn-1+an-1s+an=0 列Routh勞斯表: sn : a0 a2 a4 a6 sn-1 : a1 a3 a5 a7 sn-2 : b1 b2 b3 b4 sn-3 : c1 c2 c3 s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,系統(tǒng)的特征方程式為 列勞斯表 ：,6,0,6,0,11,6,6,12,1,勞斯穩(wěn)定判據(jù),(1)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程所有的系數(shù)都大于0； (2)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表的第一列元素全大于零； (3)勞斯表第一列元素符號改變的次數(shù)代表特征方程正實部根的數(shù)目。,例：設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： 特征方程符號相同，又不缺項，故滿足穩(wěn)定的必要條件。 列勞斯表判別：,第一列各數(shù)均為正數(shù) 故系統(tǒng)穩(wěn)定,驗證: 將特征方程式因式分解為 求得所有特征根為： 可見,所有特征根均有負(fù)實部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。,勞斯表中可能出現(xiàn)的兩種特殊情況：,1.第一列出現(xiàn)0元素: 如： 處理方法：用一個正數(shù)0來代替第一列的0元素，繼續(xù)列寫勞斯表。 若該元素的上下兩元素?zé)o符號變化，且都為正，說明該系統(tǒng)有一對共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定； 若有符號變化，即有一個元素為負(fù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，而且符號改變幾次就有幾個不穩(wěn)定根存在。,例如:特征方程式： 勞斯表,符號有變化，說明系統(tǒng)存在不穩(wěn)定根,符號變化2次，系統(tǒng)的不穩(wěn)定根有2個,列勞斯表 上下兩行符號不變，說明有純虛根存在，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 將特征方程式因式分解為 特征根為 系統(tǒng)等幅振蕩,2.出現(xiàn)全0行: 處理方法：由全0行上方的元素行得到輔助方程，對其求導(dǎo)，用求導(dǎo)后的方程系數(shù)作為勞斯表新的行元素繼續(xù)列寫勞斯表。 由輔助方程可以求得系統(tǒng)特殊的特征根，如為相反數(shù)的一對實根、或一對純虛根、或一對共軛復(fù)根。,某行所有項系數(shù)均為零的情況，說明特征方程有對稱的根. 建輔助方程,求導(dǎo)后繼續(xù)計算 例：系統(tǒng)特征方程式為 列勞斯表,由輔助方程 s4+6s2+8=0可得： 雖然無根在右半平面，但有根在虛軸上， 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,Routh穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用,1.可在不求特征根的情況下判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 2.可確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍,分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響 3.可檢驗穩(wěn)定裕度,求使系統(tǒng)具有一定穩(wěn)定裕度的結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍。 令s=z-(0), 將其代入系統(tǒng)特征方程，可得關(guān)于z的多項式，以判斷系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。,例:說明如圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定條件 解：求出閉環(huán)傳遞函數(shù) 特征方程 Ts+(1+K)=0,例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求K的穩(wěn)定范圍。 解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程： 列勞斯表,系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下，試確定K和a取何值時，系統(tǒng)將以角頻率=2rad/s進(jìn)行持續(xù)振蕩。,解：理解題意， 系統(tǒng)持續(xù)振蕩，即系統(tǒng)作等幅振蕩，亦即系統(tǒng)存在共扼純虛根； 角頻率=2rad/s，即共扼純虛根為s=j2,由結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 特征方程 列勞斯表：,a0 令 得到全0行,使系統(tǒng)存在純虛根,求純虛根,聯(lián)立求解,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，已知T1=0.1,T2=0.25，試求使系統(tǒng)特征根均位于s=-1線的左側(cè)的K的取值范圍。,解：理解題意，使系統(tǒng)特征根均位于s=-1線的左側(cè)，即對Routh判據(jù)(s=0)進(jìn)行坐標(biāo)移動。 令s=s+1，則s=s-1，代入系統(tǒng)特征方程并整理后再利用Routh判據(jù)進(jìn)行求解。,先求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 特征方程： 將s=s-1代入整理可得：,列勞斯表： 根據(jù)Routh穩(wěn)定判據(jù)可知： 若要系統(tǒng)穩(wěn)定則需 所以，當(dāng)0.675K4.8時，該系統(tǒng)所有特征根均位于s=-1的左側(cè)。,Nyquist(幾何)穩(wěn)定判據(jù),Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的特點(diǎn)： 1.不需要求取系統(tǒng)特征根就可以判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定； 2.利用閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求取系統(tǒng)開環(huán)頻率特性即可判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定； 3.如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，可以求出系統(tǒng)不穩(wěn)定的閉環(huán)極點(diǎn)的個數(shù)； 4.可以求出系統(tǒng)的相對穩(wěn)定的穩(wěn)定裕度，從而指出提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能的途徑； 5.是一種幾何判據(jù)。,1、幅角原理,幅角原理是Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 分析問題的思路是從相角的變化來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定。 對于系統(tǒng)的一個極點(diǎn)s=p： 令D(s)=s-p D(j)=j-p 若把D(j)看成矢量由P點(diǎn)指向j,極點(diǎn),如果P點(diǎn)在負(fù)實軸上（系統(tǒng)是穩(wěn)定的），當(dāng)由0+時，矢量D(j)逆時針旋轉(zhuǎn)90； 如果P點(diǎn)在正實軸上（系統(tǒng)是不穩(wěn)定的），當(dāng)由0+時，矢量D(j)順時針旋轉(zhuǎn)90；,極點(diǎn),這樣就可以將穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為D(j)的相角變化問題： 對n階系統(tǒng)： 當(dāng)由0+時，如果D(j)逆時針旋轉(zhuǎn)n90，系統(tǒng)穩(wěn)定； 不等于n90，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 若有m個極點(diǎn)在右半平面，則D(j)逆時針旋轉(zhuǎn)(n-m)90。 當(dāng)由-+時，上面的結(jié)論中的角度改為n180或(n-m)180。,即，當(dāng)從-+變化時： S左半平面上的零、極點(diǎn)矢量均變化+弧度； S右半平面上的零、極點(diǎn)矢量均變化-弧度。 設(shè)n階系統(tǒng)有P個開環(huán)極點(diǎn)在S右半平面，則有(n-P)個開環(huán)極點(diǎn)在S左半平面，系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)的相角為：,構(gòu)造一個復(fù)變函數(shù)F(s)： 若F(s)有P個極點(diǎn)、Z個零點(diǎn)位于S平面的右半平面， 則當(dāng)由-+時，,極點(diǎn)相位變化：,零點(diǎn)相位變化：,F(j)的相位變化：,結(jié)論：當(dāng)由-+時，F(xiàn)(j)將圍繞原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)N=P-Z圈。 注意： P為F(S)位于右半平面的極點(diǎn) Z為F(S)位于右半平面的零點(diǎn),2、開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)與F(s)之間的關(guān)系,如圖為控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)圖： 如果令 則根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可求得：,令F(s)=1+GK(s)，則有 比較上面三個表達(dá)式，可知： F(s)與GK(s)有相同的極點(diǎn)； F(s)的零點(diǎn)與GB(s)的極點(diǎn)相同；,結(jié)論： 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的特征根都具有負(fù)實部,即GB(s)在s平面的右半平面沒有極點(diǎn)，亦即F(s)在s平面的右半平面沒有零點(diǎn)，即Z0。,GK(j)=F(j)-1， GK(j)曲線逆時針方向圍繞(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)為N=P-Z,3、結(jié)論,Z=P-N， 如果Z=0，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 其中， P為系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)位于S平面右半平面的個數(shù)； N為系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線逆時針包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)； Z為系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)位于S平面右半平面的個數(shù)。,Nyquist穩(wěn)定判據(jù),Nyquist穩(wěn)定判據(jù)內(nèi)容： 當(dāng)由-到+時，若系統(tǒng)開環(huán)頻率特性逆時針包圍（-1,j0）點(diǎn)P圈，其中P是開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半平面的極點(diǎn)數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 推論：對開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)即P0，其閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是： 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性不包圍(-1,j0)點(diǎn)。,如，某系統(tǒng) ，其Nyquist曲線如圖，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，即N=1,而開環(huán)有一個位于右半平面的極點(diǎn)，即P=1，,所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,由圖可知：,所以Z=P-N=0,Nyquist穩(wěn)定判據(jù),幾點(diǎn)說明： 1.開環(huán)Nyquist曲線關(guān)于實軸對稱；故一般只畫由0+到+時的曲線，然后對稱畫出-到0-的一半。 2.積分環(huán)節(jié)的處理: 當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)時，由-到+時，積分環(huán)節(jié)對應(yīng)的Nyquist曲線是半徑為按順時針方向從v90到-v90的圓弧。 當(dāng)只畫由0到+時的曲線時，就補(bǔ)畫從-v90到0半徑為的圓弧。 3.開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)時有可能穩(wěn)定的； 開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)也有可能不穩(wěn)定。,4.若P=0，僅考察GK(j)是否圍繞(-1,j0)點(diǎn)； 若P0，應(yīng)先求出P，再查GK(j)逆時針圍繞 (-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)，若少于P則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用，其關(guān)鍵是作GK(j)的Nyquist曲線。,由圖可知：N=0 由開環(huán)傳遞函數(shù)可知：P=0 所以：Z=P-N=0 故系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，而且無論K取何值,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,例1：0型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為 試判系統(tǒng)閉環(huán)是否穩(wěn)定。 解：先作系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線,例2:存在導(dǎo)前環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng) 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試對其閉環(huán)判穩(wěn)。 解：作Nyquist曲線,(1)當(dāng)T1、T2、T3很大，而T4、T5很小，在為有限值時，有可能使曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)，如曲線1所示，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 (2)若減小K，或增大T4、T5，其Nyquist曲線如曲線2所示，不包圍(-1,j0)點(diǎn)，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,例3：型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為 解：作Nyquist曲線 特殊：積分環(huán)節(jié)，補(bǔ)畫半圓。 P=0，N=0 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,例4：型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為 解：作Nyquist曲線 特殊：根據(jù)T1、T2的取值不同，其Nyquist曲線就不同，有以下三種情況：,(a)T1T2,(b) T1=T2,(c) T1T2,不包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定,經(jīng)過(-1,j0)點(diǎn)， 系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定,包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定,Nyquist穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用,1.根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性 方法: 畫Nyquist曲線，注意與負(fù)實軸的交點(diǎn)與(-1,j0)點(diǎn)的位置關(guān)系 數(shù)圈數(shù)N，注意逆時針為正、順時針為負(fù) 觀察開環(huán)傳遞函數(shù)的右半平面極點(diǎn)數(shù)P 計算Z=P-N，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性,2.根據(jù)系統(tǒng)某參數(shù)的取值討論系統(tǒng)穩(wěn)定性 方法: 畫Nyquist曲線，注意參數(shù)對與負(fù)實軸的交點(diǎn)的影響與(-1,j0)點(diǎn)的位置關(guān)系 根據(jù)參數(shù)取值范圍不同，負(fù)實軸上交點(diǎn)與(-1,j0)點(diǎn)的位置不同，分別： 數(shù)圈數(shù)N，注意逆時針為正、順時針為負(fù) 觀察傳遞函數(shù)的右半平面極點(diǎn)數(shù)P 計算Z=P-N，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性,例5：對非最小相位系統(tǒng) 判斷其系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解：分析該系統(tǒng)的特點(diǎn)： (a)在s右半平面有一個極點(diǎn)，即P=1，開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定； (b)型系統(tǒng)。 求系統(tǒng)開環(huán)頻率特性：,作Nyquist曲線如圖:,求出Nyquist曲線與負(fù)實軸的交點(diǎn),交點(diǎn)與(-1,j0)的位置關(guān)系將決定系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性,可得：23時曲線與實軸相交，交點(diǎn)為：,討論： K1即交點(diǎn)在(-1,j0)的右側(cè)時，Nyquist曲線逆時針圍繞(-1,j0)點(diǎn)一圈，則N=1,Z=P-N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 K1即交點(diǎn)在(-1,j0)的左側(cè)時，Nyquist曲線順時針圍繞(-1,j0)點(diǎn)一圈，則N=-1,Z=P-N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,例6：對于系統(tǒng) ，試分析K對 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 解：作Nyquist曲線 注意：K對Nyquist曲線的影響： 起始點(diǎn) 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 曲線形狀不變，只是范圍變換,取K=1和K=100作Nyquist曲線如圖 Nyquist曲線與負(fù)實軸的交點(diǎn)為-K/60 P=0當(dāng)曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 當(dāng)-K/6060 時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 當(dāng) K=60 時系統(tǒng)臨界穩(wěn)定 當(dāng) K60 時系統(tǒng)不穩(wěn)定。,例7:單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試討論不同K值時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,方法？,1.畫出Nyquist曲線； 2.考慮到K對系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線的影響不改變形狀，只作縮小或放大，改變與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)特別是與負(fù)實軸的交點(diǎn)； 3.比較交點(diǎn)與(-1,j0)點(diǎn)的位置關(guān)系； 4.根據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)進(jìn)行討論。,解： 1.求系統(tǒng)頻率特性： 幅頻、相頻、實頻、虛頻 2.畫Nyquist曲線： 3.求交點(diǎn)： 4.討論不同K值時系統(tǒng)對穩(wěn)定性的影響： 當(dāng) 時，曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。 當(dāng) 時，曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 當(dāng) 時，曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,Bode穩(wěn)定判據(jù),Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖來判定系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。 如果將系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖變?yōu)殚_環(huán)對數(shù)坐標(biāo)圖即Bode圖，同樣也可以用來判定系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性Bode穩(wěn)定判據(jù)。,穿越的概念,在Nyquist圖中畫一個單位圓，負(fù)實軸上所有點(diǎn)的相位為-180。 當(dāng)Nyquist曲線穿過負(fù)實軸時，如果是在(-1,j0)點(diǎn)左邊穿過，則稱為“穿越”。,正穿越： 自上而下，相位增加 負(fù)穿越： 自下而上，相位減小,特殊的：當(dāng)Nyquist曲線從負(fù)實軸出發(fā)時，沿增加的方向，開環(huán)Nyquist曲線 自(-1,j0)點(diǎn)左邊的負(fù)實軸向下為半次正穿越； 自(-1,j0)點(diǎn)左邊的負(fù)實軸向上為半次負(fù)穿越。 總結(jié)：,例：,a點(diǎn)、b點(diǎn)：正穿越； c點(diǎn)：負(fù)穿越；,比較不同K值的三個系統(tǒng),K很小，負(fù)穿越一次 順時針包圍2圈，N=-2 不穩(wěn)定 K較大，負(fù)、正穿越各一次 順時針包圍1圈、逆時針包圍1圈，N=0 穩(wěn)定 K更大,正穿越一次、負(fù)穿越二次 順時針包圍2圈，N=-2 不穩(wěn)定,分析圖可知： 正穿越一次，Nyquist曲線就逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈； 負(fù)穿越一次，Nyquist曲線就順時針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈； 因此，開環(huán)Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于正、負(fù)穿越次數(shù)之差。,Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的推導(dǎo),利用穿越的概念對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷： Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù) N=N+-N-（ N+正穿越次數(shù)，N-負(fù)穿越次數(shù)），如果Z=P/2 - N=0，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 其中P為系統(tǒng)開環(huán)位于S右半平面的極點(diǎn)數(shù)，Z為系統(tǒng)閉環(huán)位于S右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 ：0+,舉例,系統(tǒng)開環(huán)頻率特性分別為如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穿越次數(shù)來判穩(wěn)： Nyquist圖 N+=1，N-=1，N=N+-N-=0 若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定即P=0，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定； 若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定即P0，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,Nyquist圖與Bode圖的關(guān)系,Nyquist圖中的單位圓對應(yīng)到Bode圖中是對數(shù)幅頻特性曲線中的0dB線即為橫軸； Nyquist圖中的負(fù)實軸對應(yīng)到Bode圖中是對數(shù)相頻特性曲線中的-180線； Nyquist曲線與單位圓的交點(diǎn)對應(yīng)到Bode圖中是對數(shù)幅頻特性曲線與橫軸的交點(diǎn)；,Nyquist曲線與單位圓的交點(diǎn)處所對應(yīng)的頻率為C，稱為剪切頻率或幅值穿越頻率； Nyquist曲線與負(fù)實軸的交點(diǎn)處所對應(yīng)的頻率為g，稱為相位穿越頻率；,穿越頻率,Nyquist圖中的正穿越在Bode圖中為相頻特性曲線沿增加的方向、自下而上的穿過-180線； 反之，相頻特性曲線沿增加的方向、自上而下的穿過-180線，稱為負(fù)穿越； 若對數(shù)相頻特性曲線自-180線開始向上，稱為半次正穿越；自-180線開始向下，稱為半次負(fù)穿越。,Bode穩(wěn)定判據(jù),判據(jù)內(nèi)容： 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 在Bode圖上，當(dāng)由0變到+時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，開環(huán)對數(shù)相頻特性對-180線正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差為P/2時，閉環(huán)穩(wěn)定； 否則不穩(wěn)定。 其中P為系統(tǒng)開環(huán)位于S右半平面的極點(diǎn)數(shù)。,Bode穩(wěn)定判據(jù)推論：對于最小相位系統(tǒng)，P=0， 若C g，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定； 若C =g，則系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。 如果系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線有多個幅值穿越頻率C ，則取最大的C 進(jìn)行判斷。 說明：當(dāng)C g ，Nyquist曲線與負(fù)實軸的交點(diǎn)在單位圓內(nèi)，不可能圍繞(1，j0)點(diǎn)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。,半次穿越：,舉例,已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷。 1.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判穩(wěn)： Nyquist曲線 由圖可知：N=-2，而P=0，所以Z=P-N=2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，且有2個不穩(wěn)定的閉環(huán)極點(diǎn)。,2.Bode穩(wěn)定判據(jù)判穩(wěn)： 畫Bode曲線 比較C 與g可知C g 根據(jù)Bode穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,三種穩(wěn)定判據(jù)的比較,已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析K取不同值時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 1.應(yīng)用Routh穩(wěn)定判據(jù) 求閉環(huán)傳遞函數(shù)： 求特征方程： 列Routh表： 根據(jù)Routh判據(jù)，找不等式組，求參數(shù)取值范圍 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，則有：,2.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)： 求開環(huán)頻率特性： 幅頻、相頻 實頻、虛頻 畫Nyquist曲線： 起始點(diǎn)： 終止點(diǎn)： 與軸的交點(diǎn)：,比較實軸交點(diǎn)與(-1,j0)點(diǎn)的位置關(guān)系：,3.Bode穩(wěn)定判據(jù)： 開環(huán)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式： 畫Bode圖： 特別注意相頻特性曲線！,-180,-90,1,2,4,K值變化時，幅頻特性曲線則上下移動， 但不影響相頻特性曲線 ；,有三種情況： 之間：半次負(fù)穿越、 一次正穿越； 之間：一次正穿越； 之間及以下 ： 沒有穿越,-180,-90,1,2,4, 之間： 半次負(fù)穿越、一次正穿越, 之間： 一次正穿越 代入幅頻特性可得:, 之間及以下 ： 沒有穿越 N=0，而P=2，則P/2N 故系統(tǒng)