數(shù)值分析--第一講誤差.ppt

,歡迎您選修 數(shù)值分析,朱立永,北京航空航天大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院,“諸位在校，有兩個問題應(yīng)該自己問問， 第一，到浙大來做什么？ 第二，將來畢業(yè)后做什么樣的人？” - 竺可楨,老校長的兩句話刻在浙大紫金港校區(qū)的一塊大石上,這一講的主要內(nèi)容,數(shù)值分析是做什么的？ 數(shù)值分析這門課程的主要內(nèi)容 這門課程的特點及學習方法 數(shù)值分析中的基本概念: 誤差,數(shù)值計算（分析）是做什么的？,1、天體力學中的Kepler方程,x是行星運動的軌道，它是時間t 的函數(shù),非線性方程的數(shù)值解法!,全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個位置，至少可以同時收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號,2、全球定位系統(tǒng)（Global Positioning System, GPS),表示地球上一個接收點R的當前位置，衛(wèi)星Si的位置為 ，則得到下列非線性方程組,非線性方程組的數(shù)值方法!,記為,其中,3、已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米）處的水溫,插值法!,4、鋁制波紋瓦的長度問題,建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機器將一塊平整的鋁板壓制而成的.,假若要求波紋瓦長4英尺,每個波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近似2英寸為一個周期. 求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.,這個問題就是要求由函數(shù)f(x)=sin x給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長L. 由微積分學我們知道,所求的弧長可表示為:,上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計算.,數(shù)值積分!,數(shù)值分析是做什么用的？,研究(構(gòu)造）使用計算機求解各種科學 與工程計算問題的數(shù)值方法 對求得的數(shù)值解的精度進行評估（誤 差，穩(wěn)定性） 如何在計算機上實現(xiàn)求解,科學計算的重要性, 科學計算是工程實踐的重要工具 在生命科學、航天航空、地質(zhì)勘探、汽車制造、橋 梁設(shè)計、天氣預(yù)報等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用， 產(chǎn)生了一系列計算性的學科分支，如計算物理、計 算化學、計算生物學、計算地質(zhì)學、計算氣象學和 計算材料學等， 數(shù)值計算方法則是解決“計算”問題的橋梁和工具。 科學計算是繼理論與實驗后另一科學研 究手段 ，（第三種科學方法:計算機時代的科學計算，石鐘慈，暨南大學出版社 ）,本課程數(shù)值分析講課范圍,誤差（第1章) 線形方程組的解法（第2章) 矩陣特征值和特征向量的計算（第3章) 函數(shù)求根，非線性方程和方程組求解（第4章) 函數(shù)插值，逼近，正交多項式（第5章) 數(shù)值積分（第6章) 數(shù)值微分和常微分方程數(shù)值解差分法（第7章) 偏微分方程數(shù)值解簡介（第8章選講內(nèi)容),主要教材 顏慶津，數(shù)值分析。北航出版社，2006。 數(shù)值逼近參考書 李慶揚，王能超，易大義：數(shù)值分析。清華大學出版社，2001。 李岳生，黃友謙：數(shù)值逼進。北京人民教育出版社，1979。 王德人、楊忠華，數(shù)值逼近引論，高等教育出版社，1990 王仁宏，數(shù)值逼近，北京：高等教育出版社，1999 徐萃薇：計算方法引論。北京高等教育出版社，1985。 數(shù)值代數(shù)參考書 曹志浩，數(shù)值線性代數(shù)，上海：復旦大學出版社，1996. 徐樹方，矩陣計算的理論與方法，北京大學出版社，1995. 微分方程數(shù)值解參考書 李立康、於崇華、朱政華，微分方程數(shù)值解法，復旦大學出版社，1999 陸金甫、關(guān) 治，微分方程數(shù)值解法（第二版），北京：清華大學出版社，2004 綜合類（數(shù)值分析與科學計算、習題、實驗等）參考書 蔡大用，數(shù)值分析與實驗學習指導，北京：清華大學出版社，2001 Numerical Recipes(數(shù)值方法庫） in C/Matlab/Fortran/C+, 其他 /wiki/Numerical_analysis Software：IMSL，NAG，MATLAB,參考資料,本門課程的特點,既有數(shù)學類課程中理論上的抽象性和嚴謹性，又有實用性和實驗性的技術(shù)特征 各部分內(nèi)容相對獨立,學習要求,掌握各種方法的基本原理與構(gòu)造方法 重視各種方法的誤差分析 掌握經(jīng)典方法的程序代碼,其它要注意的幾點,結(jié)合自己的研究方向，有重點地學習，最好能帶著研究課題中的問題來學習 對每一類問題，不但要掌握求解方法的基本原理，還要掌握一套自己的程序代碼 課前一定要做好預(yù)習和準備（按專題講解） 課后要認真完成作業(yè)和上機練習 有問題要及時問，（答疑時間和地點?) 辦公室：圖書館西配樓519室， Email：numerical_,數(shù)值分析中的基本概念：誤差,誤差的來源,現(xiàn) 實 世 界,研究 對象,測量 數(shù)據(jù),數(shù)學模型的建立,數(shù)值計算方法,程序設(shè)計,測量 誤差,模型誤差,截斷誤差(方法誤差),舍入誤差,上機計算 求得結(jié)果,誤差的分類（1/4）,通過對實際問題進行抽象、簡化得到的數(shù)學模型，與實際現(xiàn)象之間必然存在誤差，這種誤差稱之為模型誤差。,誤差的分類（2/4）,一般數(shù)學問題包含若干參量，他們的值往往通過觀測得到，而觀測難免不帶誤差，這種誤差稱之為觀測誤差。,4、已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米， 600米，1000米）處的水溫,誤差的分類（3/4）,由于計算機的字長有限，參加運算的數(shù)據(jù)及其運算結(jié)果在計算機上存放會產(chǎn)生誤差，這種誤差稱之為舍入誤差。,舍入誤差與機器字長緊密相關(guān)!,例如：在十位十進制下，會出現(xiàn)： 1/3=0.333 333 333 3,將 e-x2 作Taylor展開后再積分,截斷（方法）誤差: 求解數(shù)學模型所用的數(shù)值計算 方法如果是一種近似的方法，那么只能得到近似解， 由此產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差或方法誤差,1.2.2 誤差與有效數(shù)字 /* Error & Significant Digits */, 絕對誤差 /* absolute error */,|e|的上限記為，稱為絕對誤差限 /* accuracy*/,工程上常記為xa，例如：,e=x-a, 其中x為精確值，a為x的近似值。,實際應(yīng)用中，精確解往往無法得到！, 相對誤差 /* relative error */,相對誤差上限 /* relative accuracy */ 定義為,實際應(yīng)用中：,思考題1：實際應(yīng)用中，用a取代x合理嗎？為什么？,（提示：當絕對誤差限較小時，兩者的差為相對誤差限的高階無窮小量，可以忽略）,當 較小時，因兩者的差為:,有效數(shù)字 定義：如果近似值a的誤差限是某一位數(shù)的半個單位， 則稱a準確到小數(shù)點后n位，并從第一個非零的數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均為有效數(shù)字。 例：3.1415926535, 3.1416有五位有效數(shù)字,誤差限為0.00005。 例： a=0.0034000.5E-5近似值準確到小數(shù)點后 五位，有三位有效數(shù)字。,1.2.3 函數(shù)求值的的誤差估計 /*Error Estimation for Functions*/,問題：對于 y = f (x)，u=f(a),若用a 取代x，將對y 產(chǎn)生什么影響？,分析：e(u) = f (x) f (a) e(a) = x a,中值定理（Mean Value Theorem）,= f ( )(x a),a 與 x 非常接近時，可認為 f ( ) f (a) ，則有： |e(u)| | f (a)|e(a)|, (u)=|f(a)|.(a),即：a 產(chǎn)生的誤差經(jīng)過 f 作用后被放大/縮小了| f (a)|倍。故稱| f (a)|為放大因子 /* amplification factor */ 或 絕對條件數(shù) /* absolute condition number */.,f 的條件數(shù)在某一點是小大，則稱 f 在該點是好條件的 /* well-conditioned */ 壞條件的 /* ill-conditioned */。,f的條件數(shù),特別情況u=f（x）：,多元函數(shù)u=f（x1，xn）：,誤差的四則運算,例 求積分,由 可得 算法1： 算法2： 首先給出兩種算法的初始值：,誤差分析的重要性,兩種算法與真實值的比較,說明,在上表中， 是算法1計算的值， 是算法2計算的值，而 是真實值的一個近似。從上表我們不難直觀的得出結(jié)論：隨著n的增大，算法一的出來的值是越來越偏離真實值，我們可以說，算法1是不穩(wěn)定的。 定義：對于某個算法，若輸入數(shù)據(jù)的誤差在計算過程中迅速增長而得不到控制，則稱該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的，否則是數(shù)值穩(wěn)定的。,在我們今后的討論中，誤差將不可回避， 算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。,4. 數(shù)值運算中誤差分析的方法與原則,數(shù)值運算總是在一個預(yù)先設(shè)計好的算法中進行的，所謂算法就是一個有限的基本運算序列。這個序列預(yù)定了怎樣從輸入數(shù)據(jù)去計算出問題的解。由于運算是在計算機上進行的，而計算機的字長有限，因而產(chǎn)生舍入誤差。為減小舍入誤差的影響，設(shè)計算法時應(yīng)遵循以下一些原則：,要避免除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)的絕對值的除法,要避免兩相近數(shù)相減,要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù),注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù),5 Remarks,避免相近的兩數(shù)相減 (會耗失許多有效數(shù)字,可以用數(shù)學公式化簡后再做). 例 各有五位有效數(shù)字的23.034與22.993相減. 23.034-22.993=0.041 0.041只有兩位有效數(shù)字,有效數(shù)字的耗失,說明準確度減小,因此,在計算時需要加工計算公式,以免這種情況發(fā)生. 例 當 x 較大時,計算,防止”大數(shù)”吃”小數(shù)” 當兩個絕對值相差很大的數(shù)進行加法或減法運算時,絕對值小的數(shù)有可能被絕對值大的數(shù)“吃掉“從而引起計算結(jié)果很不可靠. 例:求 兩者結(jié)果不同,因為計算機計算時做加減法要 “對階”,“對階”的結(jié)果使大數(shù)吃掉了小數(shù).產(chǎn)生