數(shù)值分析--第一講誤差.ppt

,歡迎您選修 數(shù)值分析,朱立永,北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,“諸位在校，有兩個(gè)問題應(yīng)該自己問問， 第一，到浙大來做什么？ 第二，將來畢業(yè)后做什么樣的人？” - 竺可楨,老校長的兩句話刻在浙大紫金港校區(qū)的一塊大石上,這一講的主要內(nèi)容,數(shù)值分析是做什么的？ 數(shù)值分析這門課程的主要內(nèi)容 這門課程的特點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法 數(shù)值分析中的基本概念: 誤差,數(shù)值計(jì)算（分析）是做什么的？,1、天體力學(xué)中的Kepler方程,x是行星運(yùn)動(dòng)的軌道，它是時(shí)間t 的函數(shù),非線性方程的數(shù)值解法!,全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個(gè)位置，至少可以同時(shí)收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào),2、全球定位系統(tǒng)（Global Positioning System, GPS),表示地球上一個(gè)接收點(diǎn)R的當(dāng)前位置，衛(wèi)星Si的位置為 ，則得到下列非線性方程組,非線性方程組的數(shù)值方法!,記為,其中,3、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米）處的水溫,插值法!,4、鋁制波紋瓦的長度問題,建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.,假若要求波紋瓦長4英尺,每個(gè)波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個(gè)波紋以近似2英寸為一個(gè)周期. 求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.,這個(gè)問題就是要求由函數(shù)f(x)=sin x給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長L. 由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長可表示為:,上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計(jì)算.,數(shù)值積分!,數(shù)值分析是做什么用的？,研究(構(gòu)造）使用計(jì)算機(jī)求解各種科學(xué) 與工程計(jì)算問題的數(shù)值方法 對(duì)求得的數(shù)值解的精度進(jìn)行評(píng)估（誤 差，穩(wěn)定性） 如何在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)求解,科學(xué)計(jì)算的重要性, 科學(xué)計(jì)算是工程實(shí)踐的重要工具 在生命科學(xué)、航天航空、地質(zhì)勘探、汽車制造、橋 梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用， 產(chǎn)生了一系列計(jì)算性的學(xué)科分支，如計(jì)算物理、計(jì) 算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算地質(zhì)學(xué)、計(jì)算氣象學(xué)和 計(jì)算材料學(xué)等， 數(shù)值計(jì)算方法則是解決“計(jì)算”問題的橋梁和工具。 科學(xué)計(jì)算是繼理論與實(shí)驗(yàn)后另一科學(xué)研 究手段 ，（第三種科學(xué)方法:計(jì)算機(jī)時(shí)代的科學(xué)計(jì)算，石鐘慈，暨南大學(xué)出版社 ）,本課程數(shù)值分析講課范圍,誤差（第1章) 線形方程組的解法（第2章) 矩陣特征值和特征向量的計(jì)算（第3章) 函數(shù)求根，非線性方程和方程組求解（第4章) 函數(shù)插值，逼近，正交多項(xiàng)式（第5章) 數(shù)值積分（第6章) 數(shù)值微分和常微分方程數(shù)值解差分法（第7章) 偏微分方程數(shù)值解簡介（第8章選講內(nèi)容),主要教材 顏慶津，數(shù)值分析。北航出版社，2006。 數(shù)值逼近參考書 李慶揚(yáng)，王能超，易大義：數(shù)值分析。清華大學(xué)出版社，2001。 李岳生，黃友謙：數(shù)值逼進(jìn)。北京人民教育出版社，1979。 王德人、楊忠華，數(shù)值逼近引論，高等教育出版社，1990 王仁宏，數(shù)值逼近，北京：高等教育出版社，1999 徐萃薇：計(jì)算方法引論。北京高等教育出版社，1985。 數(shù)值代數(shù)參考書 曹志浩，數(shù)值線性代數(shù)，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1996. 徐樹方，矩陣計(jì)算的理論與方法，北京大學(xué)出版社，1995. 微分方程數(shù)值解參考書 李立康、於崇華、朱政華，微分方程數(shù)值解法，復(fù)旦大學(xué)出版社，1999 陸金甫、關(guān) 治，微分方程數(shù)值解法（第二版），北京：清華大學(xué)出版社，2004 綜合類（數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算、習(xí)題、實(shí)驗(yàn)等）參考書 蔡大用，數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)指導(dǎo)，北京：清華大學(xué)出版社，2001 Numerical Recipes(數(shù)值方法庫） in C/Matlab/Fortran/C+, 其他 /wiki/Numerical_analysis Software：IMSL，NAG，MATLAB,參考資料,本門課程的特點(diǎn),既有數(shù)學(xué)類課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性的技術(shù)特征 各部分內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立,學(xué)習(xí)要求,掌握各種方法的基本原理與構(gòu)造方法 重視各種方法的誤差分析 掌握經(jīng)典方法的程序代碼,其它要注意的幾點(diǎn),結(jié)合自己的研究方向，有重點(diǎn)地學(xué)習(xí)，最好能帶著研究課題中的問題來學(xué)習(xí) 對(duì)每一類問題，不但要掌握求解方法的基本原理，還要掌握一套自己的程序代碼 課前一定要做好預(yù)習(xí)和準(zhǔn)備（按專題講解） 課后要認(rèn)真完成作業(yè)和上機(jī)練習(xí) 有問題要及時(shí)問，（答疑時(shí)間和地點(diǎn)?) 辦公室：圖書館西配樓519室， Email：numerical_,數(shù)值分析中的基本概念：誤差,誤差的來源,現(xiàn) 實(shí) 世 界,研究 對(duì)象,測(cè)量 數(shù)據(jù),數(shù)學(xué)模型的建立,數(shù)值計(jì)算方法,程序設(shè)計(jì),測(cè)量 誤差,模型誤差,截?cái)嗾`差(方法誤差),舍入誤差,上機(jī)計(jì)算 求得結(jié)果,誤差的分類（1/4）,通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡化得到的數(shù)學(xué)模型，與實(shí)際現(xiàn)象之間必然存在誤差，這種誤差稱之為模型誤差。,誤差的分類（2/4）,一般數(shù)學(xué)問題包含若干參量，他們的值往往通過觀測(cè)得到，而觀測(cè)難免不帶誤差，這種誤差稱之為觀測(cè)誤差。,4、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米， 600米，1000米）處的水溫,誤差的分類（3/4）,由于計(jì)算機(jī)的字長有限，參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)及其運(yùn)算結(jié)果在計(jì)算機(jī)上存放會(huì)產(chǎn)生誤差，這種誤差稱之為舍入誤差。,舍入誤差與機(jī)器字長緊密相關(guān)!,例如：在十位十進(jìn)制下，會(huì)出現(xiàn)： 1/3=0.333 333 333 3,將 e-x2 作Taylor展開后再積分,截?cái)啵ǚ椒ǎ┱`差: 求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計(jì)算 方法如果是一種近似的方法，那么只能得到近似解， 由此產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差或方法誤差,1.2.2 誤差與有效數(shù)字 /* Error & Significant Digits */, 絕對(duì)誤差 /* absolute error */,|e|的上限記為，稱為絕對(duì)誤差限 /* accuracy*/,工程上常記為xa，例如：,e=x-a, 其中x為精確值，a為x的近似值。,實(shí)際應(yīng)用中，精確解往往無法得到！, 相對(duì)誤差 /* relative error */,相對(duì)誤差上限 /* relative accuracy */ 定義為,實(shí)際應(yīng)用中：,思考題1：實(shí)際應(yīng)用中，用a取代x合理嗎？為什么？,（提示：當(dāng)絕對(duì)誤差限較小時(shí)，兩者的差為相對(duì)誤差限的高階無窮小量，可以忽略）,當(dāng) 較小時(shí)，因兩者的差為:,有效數(shù)字 定義：如果近似值a的誤差限是某一位數(shù)的半個(gè)單位， 則稱a準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后n位，并從第一個(gè)非零的數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均為有效數(shù)字。 例：3.1415926535, 3.1416有五位有效數(shù)字,誤差限為0.00005。 例： a=0.0034000.5E-5近似值準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后 五位，有三位有效數(shù)字。,1.2.3 函數(shù)求值的的誤差估計(jì) /*Error Estimation for Functions*/,問題：對(duì)于 y = f (x)，u=f(a),若用a 取代x，將對(duì)y 產(chǎn)生什么影響？,分析：e(u) = f (x) f (a) e(a) = x a,中值定理（Mean Value Theorem）,= f ( )(x a),a 與 x 非常接近時(shí)，可認(rèn)為 f ( ) f (a) ，則有： |e(u)| | f (a)|e(a)|, (u)=|f(a)|.(a),即：a 產(chǎn)生的誤差經(jīng)過 f 作用后被放大/縮小了| f (a)|倍。故稱| f (a)|為放大因子 /* amplification factor */ 或 絕對(duì)條件數(shù) /* absolute condition number */.,f 的條件數(shù)在某一點(diǎn)是小大，則稱 f 在該點(diǎn)是好條件的 /* well-conditioned */ 壞條件的 /* ill-conditioned */。,f的條件數(shù),特別情況u=f（x）：,多元函數(shù)u=f（x1，xn）：,誤差的四則運(yùn)算,例 求積分,由 可得 算法1： 算法2： 首先給出兩種算法的初始值：,誤差分析的重要性,兩種算法與真實(shí)值的比較,說明,在上表中， 是算法1計(jì)算的值， 是算法2計(jì)算的值，而 是真實(shí)值的一個(gè)近似。從上表我們不難直觀的得出結(jié)論：隨著n的增大，算法一的出來的值是越來越偏離真實(shí)值，我們可以說，算法1是不穩(wěn)定的。 定義：對(duì)于某個(gè)算法，若輸入數(shù)據(jù)的誤差在計(jì)算過程中迅速增長而得不到控制，則稱該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的，否則是數(shù)值穩(wěn)定的。,在我們今后的討論中，誤差將不可回避， 算法的穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。,4. 數(shù)值運(yùn)算中誤差分析的方法與原則,數(shù)值運(yùn)算總是在一個(gè)預(yù)先設(shè)計(jì)好的算法中進(jìn)行的，所謂算法就是一個(gè)有限的基本運(yùn)算序列。這個(gè)序列預(yù)定了怎樣從輸入數(shù)據(jù)去計(jì)算出問題的解。由于運(yùn)算是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，而計(jì)算機(jī)的字長有限，因而產(chǎn)生舍入誤差。為減小舍入誤差的影響，設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循以下一些原則：,要避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值的除法,要避免兩相近數(shù)相減,要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù),注意簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù),5 Remarks,避免相近的兩數(shù)相減 (會(huì)耗失許多有效數(shù)字,可以用數(shù)學(xué)公式化簡后再做). 例 各有五位有效數(shù)字的23.034與22.993相減. 23.034-22.993=0.041 0.041只有兩位有效數(shù)字,有效數(shù)字的耗失,說明準(zhǔn)確度減小,因此,在計(jì)算時(shí)需要加工計(jì)算公式,以免這種情況發(fā)生. 例 當(dāng) x 較大時(shí),計(jì)算,防止”大數(shù)”吃”小數(shù)” 當(dāng)兩個(gè)絕對(duì)值相差很大的數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算時(shí),絕對(duì)值小的數(shù)有可能被絕對(duì)值大的數(shù)“吃掉“從而引起計(jì)算結(jié)果很不可靠. 例:求 兩者結(jié)果不同,因?yàn)橛?jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)做加減法要 “對(duì)階”,“對(duì)階”的結(jié)果使大數(shù)吃掉了小數(shù).產(chǎn)生