“留白藝術(shù)”在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

“留白藝術(shù)”在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用作者：佚名【前言】：“留白”原是國(guó)畫(huà)創(chuàng)作的一種構(gòu)圖方法，給觀賞者留下視覺(jué)延伸的空間，提供了一個(gè)深遠(yuǎn)的意境讓讀者去思考，去想象，讓讀者和自己共同完成作品美學(xué)價(jià)值的再創(chuàng)造。在想象里觀賞者把自己的心情揉入畫(huà)卷，豐富了畫(huà)面的意境，提升了畫(huà)面的美感。古今往來(lái)，藝術(shù)大師往往都是留白大師，如齊白石先生的畫(huà)，留白處言有盡而意無(wú)窮，空靈虛幽，虛實(shí)相映，方寸之間彰顯天地之寬。我的“留白”來(lái)自于教學(xué)中的一次偶然事件二個(gè)月前的一天晚上，為準(zhǔn)備紹興市骨干教師培訓(xùn)班上的一節(jié)公開(kāi)課一元一次方程復(fù)習(xí)，我在課件制作中出了個(gè)小問(wèn)題，本想把日歷中的幾個(gè)數(shù)用長(zhǎng)方形圈出來(lái)并填充著色，但著色后數(shù)字被覆蓋再也無(wú)法顯示。我絞盡腦汁地試了許多方法，但無(wú)濟(jì)于事。（1）月歷中的某數(shù)、它左上方的數(shù)、它右下方的數(shù)的和為42，這個(gè)數(shù)是幾？（2）月歷中某列4個(gè)數(shù)的和為58，這4個(gè)數(shù)是幾？（3）在這月歷中能否用長(zhǎng)方形圈出四個(gè)數(shù)，使這四個(gè)數(shù)的和為102，說(shuō)出你的理由我決定將錯(cuò)就錯(cuò)，在“空白”的地方設(shè)置一個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)觀察并思考，“這空白的地方應(yīng)該是什么數(shù)，為什么？”我這樣設(shè)置的原因有兩個(gè)，其一，能引起學(xué)生的主動(dòng)思考，在學(xué)生觀察思考的過(guò)程中，自然會(huì)找出月歷中的規(guī)律，而這正是解決下面問(wèn)題的關(guān)鍵；其二，能降低題目的難度，合理地設(shè)計(jì)臺(tái)階。課堂實(shí)踐證明這樣處理是非常成功的，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)月歷中數(shù)字的橫排是按1到31的順序依次排列，所以空白的地方應(yīng)是22和23,而且還從豎列中發(fā)現(xiàn)上下兩個(gè)數(shù)相差都是7。由這個(gè)規(guī)律作為鋪墊，后面列一元一次方程顯得輕而易舉。通過(guò)此題的探究，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了月歷中斜的三個(gè)數(shù)的表示，用長(zhǎng)方形框出的六個(gè)數(shù)、九個(gè)數(shù)的表示等等。從中我深深地感到：留出足夠的空白，使教學(xué)過(guò)程中擁有更多生成的東西。新的課程觀強(qiáng)調(diào)，課堂是師生共建新知識(shí)的過(guò)程。給學(xué)生一定的開(kāi)發(fā)創(chuàng)造的時(shí)間和空間，放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，能發(fā)展學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、創(chuàng)造力和想象力。在教學(xué)中留下空白，使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)去發(fā)揮自已的創(chuàng)造性，在創(chuàng)造的過(guò)程中去體驗(yàn)成功，并讓成功的體驗(yàn)不斷激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新欲望?！傲舭住彼囆g(shù)在課堂教學(xué)中同樣存在著廣闊的應(yīng)用前景。一千個(gè)讀者就有一千個(gè)哈姆萊特課堂教學(xué)中我的“布白”嘗試從此，我在課堂教學(xué)中不斷地進(jìn)行“布白”嘗試，首先把固定的問(wèn)題結(jié)論留作空白。案例一：四邊形ABCD中，已知ABCD，若要使四邊形ABCD為平行四邊形，則再增加的一個(gè)條件可以是學(xué)生的答案有：ADBC；ABCD；A=C;B=D;A+D=180；B+C=180等六種之多。評(píng)述：老師對(duì)ADBC和ABCD兩種答案能估計(jì)到，后面的四個(gè)答案出乎老師的預(yù)料，可見(jiàn)學(xué)生不同的個(gè)性差異對(duì)知識(shí)的理解是不同的，不同的知識(shí)層次選擇不同的切入點(diǎn)導(dǎo)致了不同的結(jié)果?；蛟S課堂探究的魅力就在這里，通過(guò)交流，每個(gè)同學(xué)都獲得了最大的知識(shí)量。案例二：（原題）四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，已知AB=5cm，AO=4cm，求菱形ABCD的面積.（變后題）四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，已知AB=5cm，AO=4cm，我會(huì)求.學(xué)生的答案有：有的求出OB3cm；有的求出BD=6cm;有的求出AC=8cm;有的求出菱形周長(zhǎng)為20cm；有的求出SAOB=6cm2;有的求出SADB=12cm2;有的求出SABC=12cm2有的求出S菱形ABCD=24cm2。有的還求出O點(diǎn)到AB的距離為2.4cm。評(píng)述：通過(guò)題目的改變，學(xué)生的解題過(guò)程的交流，答案涉及到菱形性質(zhì)的每個(gè)方面，通過(guò)解一題就對(duì)菱形的所有性質(zhì)進(jìn)行了很好的復(fù)習(xí)，更加難得的是學(xué)生在求菱形的面積時(shí)產(chǎn)生了多種方法，有的根據(jù)菱形面積等于菱形的兩條對(duì)角線乘積的一半，有的根據(jù)菱形的軸對(duì)稱性求出菱形的面積等于SAOB的4倍。案例三：（原題）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線交AD于E點(diǎn)，交BC于F點(diǎn)，試說(shuō)明OE=OF。（變后題）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線交AD于E點(diǎn)，交BC于F點(diǎn)，在圖中我能找到相等的量有。（延伸題）E點(diǎn)、F點(diǎn)分別交于BA和DC的延長(zhǎng)線，則線段OE、OF還相等嗎？學(xué)生找到相等的量有：（相等的線段7組）OA=OC;OB=OD;AD=BC;AB=CD;AE=CF;DE=BF；OE=OF.(相等的角12組)AOBCOD；AODCOB；OABOCD；ABOCDO；OADOCB；ODAOBC；AEOCFO;AOECOF;EODFOB;ABCCDA;BADDCB;DEOBFO.（全等的圖形及相關(guān)結(jié)論21組）AOB和COD;AOD和COB;AOE和COF;DOE和BOF;ADB和CBD;ACB和CAD;梯形ABFE和梯形CDEF；所有全等圖形的周長(zhǎng)、面積都相等。評(píng)述：雖然兩個(gè)問(wèn)題都用到平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形這一性質(zhì)，但是結(jié)論個(gè)數(shù)的40：1充分說(shuō)明了學(xué)生的探究欲望得到了有效的開(kāi)啟，使不同的學(xué)生都可以有不同的發(fā)現(xiàn)，人人都能獲得成功，體驗(yàn)成功，學(xué)生會(huì)樂(lè)此不疲地主動(dòng)探究。另一方面，“一題多解，多題一解”最大限度地提高了課堂的效率。案例四：（原題）如圖，在平行四邊形ABCD中，ABC的角平分線交AD于E，若AE：ED3:1，BC8cm，求AB的長(zhǎng)（變后題）如圖，在平行四邊形ABCD中，ABC的角平分線交AD于E，若AE：ED3:1，BC8cm，根據(jù)已知條件我能得到學(xué)生的結(jié)果有：AE=6cm;ED=2cm;AB=6cm;AD=8cm;CD=6cm;平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為28cm；線段BE的取值范圍為0BE12。評(píng)述：作為幾何題，或許原題更能使學(xué)生找到解題的思路，但不能培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和提出問(wèn)題的能力。難能可貴的是學(xué)生對(duì)線段BE的取值范圍的考慮出乎老師的想象，我在上課時(shí)對(duì)學(xué)生的這個(gè)結(jié)論也不敢冒昧定論，而在同學(xué)們講述理由的空隙里進(jìn)行了思考，學(xué)生提出的問(wèn)題能把老師問(wèn)住，應(yīng)該說(shuō)學(xué)生的各種能力得到了有效的培養(yǎng)。案例五：（原題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD上任一點(diǎn)，試說(shuō)明SBCESABE+SCDE（變后題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD上任一點(diǎn)，試比較SBCE與SABE+SCDE的大小，并說(shuō)出你的方法受證明題結(jié)論的定勢(shì)影響，學(xué)生對(duì)原題的解法大多數(shù)是根據(jù)三個(gè)三角形具有相等的高，而底AE加上ED等于BC，從而得出SBCESABE+SCDE。而變后題學(xué)生更注重解決問(wèn)題的方法，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手剪拼后，得到了下面的三種方法，第一種把總面積一分為二，再分別證相等；第二種通過(guò)把其中的一個(gè)平移合二為一，再證相等；第三種說(shuō)明SBCE與SABE+SCDE都是整個(gè)平行四邊形面積的一半。評(píng)述：變后題讓學(xué)生的視野更開(kāi)闊，充分培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力，從解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想方法，這種從學(xué)生的“生產(chǎn)勞動(dòng)”中創(chuàng)造出的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生會(huì)理解得更深層，掌握得入微。案例六：（1）A、B兩景區(qū)相距500米，有直道相通，現(xiàn)甲乙兩人分別從A、B兩景區(qū)相向而行，甲速為20米/分,乙速為30米/分，乙先出發(fā)兩分鐘，問(wèn)：甲出發(fā)多少分鐘后，兩人相遇？（2）甲乙兩人合做旅游紀(jì)念品500個(gè)，已知甲每小時(shí)做20個(gè)，乙每小時(shí)做30個(gè)，乙先做2小時(shí)，那么兩人再合做多少小時(shí)可以完成任務(wù)？（3）小明購(gòu)買甲乙兩種禮品，共花去500元，已知甲種禮品每件20元，乙種禮品每件30元，乙比甲多兩件，問(wèn)甲種禮品有多少件？從上述三題，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能根據(jù)生活體驗(yàn)再編一道應(yīng)用題嗎？學(xué)生的回答有：學(xué)生1：A、B兩城相距500千米，有直道相通，現(xiàn)甲乙兩車分別從A、B兩城相向而行，甲車的速度為20千米/時(shí),乙車的速度為30千米/時(shí)，乙車先出發(fā)兩小時(shí)，問(wèn)：甲車出發(fā)多少小時(shí)后，兩車相遇？學(xué)生2：某小池的容量為500噸，有甲乙兩個(gè)出水管，已知甲管每小時(shí)放20噸，乙管每小時(shí)放30噸，乙管先放2小時(shí)，那么兩管再合放多少小時(shí)可以放完？學(xué)生3：甲乙兩人合打一篇文章共500個(gè)字，已知甲每分鐘打20個(gè)，乙每分鐘打30個(gè)，乙先打2分鐘，那么兩人再合打多少分鐘可以完成任務(wù)？學(xué)生4:甲乙兩人需合做襪子500雙，已知甲每小時(shí)可做20雙，乙每小時(shí)可做30雙，乙先做了2小時(shí)，那么兩人再做多少小時(shí)可以完工？學(xué)生5：小明購(gòu)買足球和籃球若干只，共花去500元，已知籃球每只20元，足球每只30元，足球比籃球多兩只，問(wèn)籃球有多少只？學(xué)生6：小明賣出若干只雞和兔共得錢500元，已知雞每只20元，兔每只30元，賣出兔比雞多兩只，問(wèn)雞有多少只？評(píng)述：只要留給學(xué)生充足的時(shí)間和空間，學(xué)生完全能夠根據(jù)自己的知識(shí)積累和不同的生活經(jīng)驗(yàn)編出更多、更好的應(yīng)用問(wèn)題。盡管沒(méi)有經(jīng)過(guò)計(jì)算，在數(shù)字上可能會(huì)存在些問(wèn)題，但你不得不對(duì)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)的積累得如此豐富而發(fā)出感嘆，課堂應(yīng)該是學(xué)生的，應(yīng)該把課堂上的時(shí)間和空間盡可能多地還給學(xué)生。“留白”使課堂探究更主動(dòng)傳統(tǒng)的教學(xué)，一直以為“教師課堂上解決問(wèn)題，把所教學(xué)內(nèi)容講深講透，不給學(xué)生課后留下疑問(wèn)，讓學(xué)生提不出問(wèn)題的教師就是好教師?！边@種做法抑制了學(xué)生的各種能力的培養(yǎng)，抑制了學(xué)生的創(chuàng)造發(fā)明，抑制了學(xué)生健全人格的養(yǎng)成。宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的教師稱謂皆稱之為“教諭”。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)”。到清末，學(xué)堂興起，各科教師仍沿用“教習(xí)”一稱。其實(shí)“教諭”在明清時(shí)還有學(xué)官一意，即主管縣一級(jí)的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者則謂“教授”和“學(xué)正”。“教授”“學(xué)正”和“教諭”的副手一律稱“訓(xùn)導(dǎo)”。于民間，特別是漢代以后，對(duì)于在“?！被颉皩W(xué)”中傳授經(jīng)學(xué)者也稱為“經(jīng)師”。在一些特定的講學(xué)場(chǎng)合，比如書(shū)院、皇室，也稱教師為“院長(zhǎng)、西席、講席”等。新課程更尊重學(xué)生的不同的個(gè)性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，富有經(jīng)驗(yàn)的老師在學(xué)生產(chǎn)生一種心求通而未得、欲言而未達(dá)的“憤悱”心理時(shí)布下空白，讓學(xué)生思考、討論，利用學(xué)生個(gè)體間的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)差異互補(bǔ)解決問(wèn)題。唐宋或更早之前，針對(duì)“經(jīng)學(xué)”“律學(xué)”“算學(xué)”和“書(shū)學(xué)”各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士”，這與當(dāng)今“博士”含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事”或講解“經(jīng)籍”者，又稱“講師”?！敖淌凇焙汀爸獭本瓰閷W(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)”“律學(xué)”“醫(yī)學(xué)”“武學(xué)”等科目的講授者；而后者則于西晉武帝時(shí)代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國(guó)子、博士培養(yǎng)生徒?！爸獭痹诠糯粌H要作入流的學(xué)問(wèn)，其教書(shū)育人的職責(zé)也十分明晰。唐代國(guó)子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教”一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國(guó)子監(jiān)（國(guó)子學(xué)）一科的“助教”，其身價(jià)不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無(wú)論是“博士”“講師”，還是“教授”“助教”，其今日教師應(yīng)具有的基本概念都具有了。弗賴登塔爾認(rèn)為每個(gè)人都有自己生活、工作和思考著的特定的客觀世界，以及反映這個(gè)客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、它的運(yùn)算方法、規(guī)律和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，就是說(shuō)，每個(gè)人都有自己的一套“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。數(shù)學(xué)課堂中“留白”的運(yùn)用，能讓學(xué)生看到成功的希望，明確努力的目標(biāo)，獲得前進(jìn)的動(dòng)力，一步一步地發(fā)展自己，一點(diǎn)一滴地完善自己?！皫煛敝拍?，大體是從先秦時(shí)期的“師長(zhǎng)、師傅、先生”而來(lái)。其中“師傅”更早則意指春秋時(shí)國(guó)君的老師。說(shuō)文解字中有注曰：“師教人以道者之稱也”?！皫煛敝x，現(xiàn)在泛指從事教育工作或是傳授知識(shí)技術(shù)也或是某方面有特長(zhǎng)值得學(xué)習(xí)者?！袄蠋煛钡脑獠⒎怯伞袄稀倍稳荨皫煛?。“老”在舊語(yǔ)義中也是一種尊稱，隱喻年長(zhǎng)且學(xué)識(shí)淵博者?！袄稀薄皫煛边B用最初見(jiàn)于史記，有“荀卿最為老師”之說(shuō)法。慢慢“老師”之說(shuō)也不再有年齡的限