[高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)]對(duì)稱問(wèn)題分類探析

高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題分類探析對(duì)稱問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)試題中常出現(xiàn)一些構(gòu)思新穎解法靈活的對(duì)稱問(wèn)題，為使對(duì)稱問(wèn)題的知識(shí)系統(tǒng)化，本文特作以下歸納。一、點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題1、設(shè)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱點(diǎn)為P(x，y)，x=2a-x由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：y=2b-y2、點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線L：Ax+By+C=O的對(duì)稱點(diǎn)為x=x-(Ax+By+C)P(x，y)則y=y-(AX+BY+C)事實(shí)上：PPL及PP的中點(diǎn)在直線L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程組可得結(jié)論。(-)=-1(B0)特別地，點(diǎn)P(x，y)關(guān)于1、x軸和y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為(x，-y)和(-x，y)2、直線x=a和y=a的對(duì)標(biāo)點(diǎn)分別為(2a-x，y)和(x，2a-y)3、直線y=x和y=-x的對(duì)稱點(diǎn)分別為(y，x)和(-y，-x)例1光線從A(3，4)發(fā)出后經(jīng)過(guò)直線x-2y=0反射，再經(jīng)過(guò)y軸反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1，5)，求射入y軸后的反射線所在的直線方程。解：如圖，由公式可求得A關(guān)于直線x-2y=0的對(duì)稱點(diǎn)A(5，0)，B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B為(-1，5)，直線AB的方程為5x+6y-25=0C(0，)直線BC的方程為：5x-6y+25=0二、曲線關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱曲線問(wèn)題求已知曲線F(x，y)=0關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱曲線方程時(shí)，只須將曲線F(x，y)=O上任意一點(diǎn)(x，y)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換方程F(x，y)=0中相應(yīng)的作稱即得，由此我們得出以下結(jié)論。1、曲線F(x，y)=0關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱曲線的方程是F(2a-x，2b-y)=02、曲線F(x，y)=0關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱的曲線方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C)=0特別地，曲線F(x，y)=0關(guān)于(1)x軸和y軸對(duì)稱的曲線方程分別是F(x，-y)和F(-x，y)=0(2)關(guān)于直線x=a和y=a對(duì)稱的曲線方程分別是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0(3)關(guān)于直線y=x和y=-x對(duì)稱的曲線方程分別是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0除此以外還有以下兩個(gè)結(jié)論：對(duì)函數(shù)y=f(x)的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象得到y(tǒng)=f(|x|)的圖象;保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|f(x)|的圖象。例2(全國(guó)高考試題)設(shè)曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動(dòng)t，s單位長(zhǎng)度后得曲線C1：1)寫出曲線C1的方程2)證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A(，)對(duì)稱。(1)解知C1的方程為y=(x-t)3-(x-t)+s(2)證明在曲線C上任取一點(diǎn)B(a，b)，設(shè)B1(a1，b1)是B關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：s-b1=(t-a1)3-(t-a1)b1=(a1-t)3-(a1-t)+sB1(a1，b1)滿足C1的方程B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上曲線C和C1關(guān)于a對(duì)稱我們用前面的結(jié)論來(lái)證：點(diǎn)P(x，y)關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為P1(t-x，s-y)，為了求得C關(guān)于A的對(duì)稱曲線我們將其坐標(biāo)代入C的方程，得：s-y=(t-x)3-(t-x)y=(x-t)3-(x-t)+s此即為C1的方程，C關(guān)于A的對(duì)稱曲線即為C1。三、曲線本身的對(duì)稱問(wèn)題曲線F(x，y)=0為(中心或軸)對(duì)稱曲線的充要條件是曲線F(x，y)=0上任意一點(diǎn)P(x，y)(關(guān)于對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換曲線方程中相應(yīng)的坐標(biāo)后方程不變。例如拋物線y2=-8x上任一點(diǎn)p(x，y)與x軸即y=0的對(duì)稱點(diǎn)p(x，-y)，其坐標(biāo)也滿足方程y2=-8x，y2=-8x關(guān)于x軸對(duì)稱。例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：A、關(guān)于y軸對(duì)稱B、關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱C、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D、關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱解：在方程中以-x換x，同時(shí)以-y換y得(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。函數(shù)圖象本身關(guān)于直線和點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題我們有如下幾個(gè)重要結(jié)論：1、函數(shù)f(x)定義線為R，a為常數(shù)，若對(duì)任意xR，均有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱。這是因?yàn)閍+x和a-x這兩點(diǎn)分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對(duì)稱，且其函數(shù)值相等，說(shuō)明這兩點(diǎn)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，由x的任意性可得結(jié)論。例如對(duì)于f(x)若tR均有f(2+t)=f(2-t)則f(x)圖象關(guān)于x=2對(duì)稱。若將條件改為f(1+t)=f(3-t)或f(t)=f(4-t)結(jié)論又如何呢?第一式中令t=1+m則得f(2+m)=f(2-m);第二式中令t=2+m，也得f(2+m)=f(2-m)，所以仍有同樣結(jié)論即關(guān)于x=2對(duì)稱，由此我們得出以下的更一般的結(jié)論：2、函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意xR均有f(a+x)=f(b-x)，則其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱。我們?cè)賮?lái)探討以下問(wèn)題：若將條件改為f(2+t)=-f(2-t)結(jié)論又如何呢?試想如果2改成0的話得f(t)=-f(t)這是奇函數(shù)，圖象關(guān)于(0，0)成中心對(duì)稱，現(xiàn)在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移，由此我們猜想，圖象關(guān)于M(2，0)成中心對(duì)稱。如圖，取點(diǎn)A(2+t，f(2+t)其關(guān)于M(2，0)的對(duì)稱點(diǎn)為A(2-x，-f(2+x)-f(2+X)=f(2-x)A的坐標(biāo)為(2-x，f(2-x)顯然在圖象上圖象關(guān)于M(2，0)成中心對(duì)稱。若將條件改為f(x)=-f(4-x)結(jié)論一樣，推廣至一般可得以下重要結(jié)論：死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國(guó)有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開(kāi)展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生能力發(fā)展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為提高學(xué)生的語(yǔ)文素養(yǎng)煞費(fèi)苦心。其實(shí),只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背”與提高學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是提高學(xué)生語(yǔ)文水平的重要前提和基礎(chǔ)。唐宋或更早之前，針對(duì)“經(jīng)學(xué)”“律學(xué)”“算學(xué)”和“書學(xué)”各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士”，這與當(dāng)今“博士”含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事”或講解“經(jīng)籍”者，又稱“講師”?！敖淌凇焙汀爸獭本瓰閷W(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)”“律學(xué)”“醫(yī)學(xué)”“武學(xué)”等科目的講授者；而后者則于西晉武帝時(shí)代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國(guó)子、博士培養(yǎng)生徒?！爸獭痹诠糯粌H要作入流的學(xué)問(wèn)，其教書育人的職責(zé)也十分明晰。唐代國(guó)子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教”一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國(guó)子監(jiān)（國(guó)子學(xué)）一科的“助教”，其身價(jià)不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無(wú)論是“博士”“講師”，還是“教授”“助教”，其今日教師應(yīng)具有的基本概念都具有了。3、f(X)定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意xR均有f(a+x)=-f(b-x)，則其圖象關(guān)于點(diǎn)M(，0)成中心對(duì)稱。語(yǔ)文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對(duì)提高學(xué)生的水平會(huì)大有裨益。現(xiàn)在,不少語(yǔ)文教師在分析課文時(shí),把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果教師費(fèi)勁,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒(méi)過(guò)幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的尷尬局面的關(guān)鍵就是對(duì)文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見(jiàn)”,如果有目的、有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀課文,或細(xì)讀、默讀、跳讀,或聽(tīng)讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學(xué)生便可以在讀中自然領(lǐng)悟文章的思想