信號與系統(tǒng)教案第8章.ppt

2019/7/10,第八章 系統(tǒng)狀態(tài)變量分析,8.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程 一、狀態(tài)變量與狀態(tài)方程 二、動態(tài)方程的一般形式 8.2 狀態(tài)方程的建立 一、電路狀態(tài)方程的列寫 二、由輸入-輸出方程建立狀態(tài)方程 8.3 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立 8.4 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 8.5 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,點擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié),2019/7/10,第八章 系統(tǒng)狀態(tài)變量分析,前面的分析方法稱為外部法，它強調(diào)用系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的特性。其特點： （1）只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，對于多輸入多輸出系統(tǒng)，將增加復(fù)雜性； （2）只研究系統(tǒng)輸出與輸入的外部特性，而對系統(tǒng)的內(nèi)部情況一無所知，也無法控制。,本章將介紹的內(nèi)部法狀態(tài)變量法是用n個狀態(tài)變量的一階微分或差分方程組（狀態(tài)方程）來描述系統(tǒng)。優(yōu)點有：（1）提供系統(tǒng)的內(nèi)部特性以便研究。 （2）便于分析多輸入多輸出系統(tǒng)； （3）一階方程組便于計算機數(shù)值求解。并容易推廣用于時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。,2019/7/10,8.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程,8.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程,一、狀態(tài)與狀態(tài)變量的概念,從一個電路系統(tǒng)實例引入,以u(t)和iC(t)為輸出,若還想了解內(nèi)部三個 變量uC(t), iL1(t), iL2(t)的變化情況。,這時可列出方程,a,2019/7/10,8.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程,這是由三個內(nèi)部變量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)構(gòu)成的一階微分方程組。,若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，則根據(jù)tt0時的給定激勵uS1(t)和uS2(t)就可惟一地確定在tt0時的解uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。,系統(tǒng)的輸出容易地由三個內(nèi)部變量和激勵求出：,一組代數(shù)方程,2019/7/10,8.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程,狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義,系統(tǒng)在某一時刻t0的狀態(tài)是指表示該系統(tǒng)所必需最少的一組數(shù)值，已知這組數(shù)值和tt0時系統(tǒng)的激勵，就能完全確定tt0時系統(tǒng)的全部工作情況。,狀態(tài)變量是描述狀態(tài)隨時間t 變化的一組變量，它們在某時刻的值就組成了系統(tǒng)在該時刻的狀態(tài)。,對n階動態(tài)系統(tǒng)需有n個獨立的狀態(tài)變量，通常用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。,說明（1）系統(tǒng)中任何響應(yīng)均可表示成狀態(tài)變量及輸入的線性組合；,（2）狀態(tài)變量應(yīng)線性獨立；,（3）狀態(tài)變量的選擇并不是唯一的 。,在初始時刻的值稱為初始狀態(tài)。,2019/7/10,8.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程,二、狀態(tài)方程和輸出方程,在選定狀態(tài)變量的情況下 ，用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)時，一般分兩步進(jìn)行： （1）第一步是根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求出狀態(tài)變量； （2）第二步是用這些狀態(tài)變量來確定初始時刻以后的系統(tǒng)輸出。,狀態(tài)變量是通過求解由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來得到，該一階微分方程組稱為狀態(tài)方程。 狀態(tài)方程描述了狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和激勵之間的關(guān)系 。,而描述輸出與狀態(tài)變量和激勵之間關(guān)系的一組代數(shù)方程稱為輸出方程 。,通常將狀態(tài)方程和輸出方程總稱為動態(tài)方程或系統(tǒng)方程。,2019/7/10,8.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程,對于一般的n階多輸入-多輸出LTI連續(xù)系統(tǒng)，如圖 。,其狀態(tài)方程和輸出方程為,2019/7/10,8.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程,寫成矩陣形式：,狀態(tài)方程,輸出方程,其中A為nn方陣，稱為系統(tǒng)矩陣， B為np矩陣，稱為控制矩陣， C為qn矩陣，稱為輸出矩陣，D為qp矩陣,對離散系統(tǒng)，類似,狀態(tài)方程,輸出方程,狀態(tài)變量分析的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取以及狀態(tài)方程的建立。,2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,一、由電路圖直接建立狀態(tài)方程,首先選擇狀態(tài)變量 。 通常選電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量。 必須保證所選狀態(tài)變量為獨立的電容電壓和獨立的電感電流。,四種非獨立的電路結(jié)構(gòu),2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,狀態(tài)方程的建立：,根據(jù)電路列出各狀態(tài)變量的一階微分方程。,由于,為使方程中含有狀態(tài)變量uC的一階導(dǎo)數(shù) ， 可對接有該電容的獨立結(jié)點列寫KCL電流方程；,為使方程中含有狀態(tài)變量iL的一階導(dǎo)數(shù) ， 可對含有該電感的獨立回路列寫KVL電壓方程。,對列出的方程，只保留狀態(tài)變量和輸入激勵，設(shè)法消去其它中間的變量，經(jīng)整理即可給出標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程。,對于輸出方程，通?？捎糜^察法由電路直接列出。,2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,由電路圖直接列寫狀態(tài)方程和輸出方程的步驟：,（1）選電路中所有獨立的電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量； （2）對接有所選電容的獨立結(jié)點列出KCL電流方程，對含有所選電感的獨立回路列寫KVL電壓方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激勵以外的非狀態(tài)變量，則利用適當(dāng)?shù)腒CL、KVL方程將它們消去，然后整理給出標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式； （4）用觀察法由電路或前面已推導(dǎo)出的一些關(guān)系直接列寫輸出方程，并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。,2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,例：電路如圖，以電阻R1上的電壓uR1和電阻R2上的電流iR2為輸出，列寫電路的狀態(tài)方程和輸出方程。,解,選狀態(tài)變量 x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t),L 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t),a,C 2(t) + iR2(t) = x1(t),消去 iR2(t),列右網(wǎng)孔KVL方程：,R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0,代入整理得,輸出方程：,uR1(t) = R1x1(t),2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,二、由輸入-輸出方程建立狀態(tài)方程,這里需要解決的問題是： 已知系統(tǒng)的外部描述（輸入-輸出方程、系統(tǒng)函數(shù)、模擬框圖、信號流圖等）；如何寫出其狀態(tài)方程及輸出方程。,具體方法： （1）由系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出其信號流圖或框圖； （2）選一階子系統(tǒng)(積分器）的輸出作為狀態(tài)變量； （3）根據(jù)每個一階子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程； （4）在系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。,2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,例1 某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8 f (t) 試求該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。,解由微分方程不難寫出其系統(tǒng)函數(shù),方法一：畫出直接形式的信號流圖,設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t),x1,x2,由后一個積分器，有,由前一個積分器，有,系統(tǒng)輸出端，有 y(t) =8 x1+2 x2,2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,方法二：,畫出串聯(lián)形式的信號流圖,設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t),x2,x1,設(shè)中間變量 y1(t),y1,系統(tǒng)輸出端，有 y(t) =2 x2,2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,方法三：,畫出并聯(lián)形式的信號流圖,設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t),x1,x2,系統(tǒng)輸出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2,可見H(s)相同的系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇并不唯一。,2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,例2 某系統(tǒng)框圖如圖，狀態(tài)變量如圖標(biāo)示，試列出其狀態(tài)方程和輸出方程。,解 對三個一階系統(tǒng),其中， y2= f - x3,輸出方程 y1(t) = x2 y2(t) = -x3 + f,2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,三、由狀態(tài)方程列輸入-輸出方程,例3 已知某系統(tǒng)的動態(tài)方程如下，列出描述y(t)與f(t)之間的微分方程。,解法一 由輸出方程得,y(t)=x1(t),y (t)=x1(t) = 4 x1(t) + x2(t)+ f(t),y(t)= 4 x1(t) + x2(t)+ f (t),=44 x1(t) + x2(t)+ f (t) + 3 x1(t) + f (t) + f (t),=13 x1(t) 4x2(t) 3 f (t) + f (t),y+a y + by=(13 4a +b) x1+(4+a) x2+ f (t) +(a3) f (t),a=4，b=3,y+4 y + 3y= f (t) + f (t),2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,解法二 對方程取拉氏變換，零狀態(tài)。,2019/7/10,8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,y+4 y + 3y= f (t) + f (t),2019/7/10,8.3 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,8.3 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,與連續(xù)系統(tǒng)類似，具體方法為：,（1）由系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出其信號流圖或框圖； （2）選一階子系統(tǒng)(遲延器）的輸出作為狀態(tài)變量； （3）根據(jù)每個一階子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程； （4）在系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。,2019/7/10,8.3 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,例1：某離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 2y(k 1) y(k 2) = f(k 1) f(k 2) 列出其動態(tài)方程。,解：不難寫出系統(tǒng)函數(shù),畫信號流圖：,設(shè)狀態(tài)變量x1 (k) ，x2 (k) ：,x1,x2,x1(k+1)=x2 (k) ：,x2(k+1),x2(k+1)= x1 (k) 2x2(k) + f(k) ：,輸出方程,y (k)=x1 (k) + x2(k),2019/7/10,8.3 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,例2 某離散系統(tǒng)有兩個輸入f1(k)、f2(k)和兩個輸出y1(k)、y2(k)，其信號流圖如圖示。列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。,解 p1(k) = 2x1(k) +2x3(k) p2(k) =3p1(k)-x3(k) +f2(k) = 6x1(k) +5x3(k) + f2(k),2019/7/10,8.3 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,2019/7/10,8.4 連續(xù)狀態(tài)方程的求解,8.4 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解,狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式為,用拉普拉斯變換法求解狀態(tài)方程,sX(s) -x(0-) = A X(s) + BF(s),( sI -A )X(s) = x(0-) +BF(s),X(s)=(sI -A )-1x(0-) +(sI -A )-1BF(s)=(s)x(0-) +(s)BF(s),式中(s) = ( sI -A )-1常稱為預(yù)解矩陣 。,Y(s) = CX(s) +DF(s),Yx(s) = C(s)x(0-),Yf(s) = C(s)B +D F(s),H(s) = C(s)B +D ,(s)的極點就是H(s)的極點.即| sI-A|=0的根。,=C(s)x(0-) + C(s)B +D F(s),2019/7/10,8.4 連續(xù)狀態(tài)方程的求解,例1 描述LTI因果系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為,解,X(s) = (s)x(0-) +BF(s),起始狀態(tài)x1(0-)=3，x2(0-)=2，輸入f(t) =(t)。求狀態(tài)變量和輸出。并判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。,2019/7/10,8.4 連續(xù)狀態(tài)方程的求解,y(t) = 1 1x(t) + f(t) =,=(t)+ 6e-2t(t),由于H(s)的極點均在左半平面，故該因果系統(tǒng)穩(wěn)定。,H(s)的極點就是|sI-A|=0的根。 |sI-A|=(s+2)(s+3),2019/7/10,8.5 離散狀態(tài)方程的求解,8.5 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解,用Z變換法求解狀態(tài)方程,取單邊z變換:,zX(z)-zx(0) = AX(z)+BF(z),Y(z) = CX(z)+DF(z),X(z) = (zI-A)-1zx(0) +(zI-A)-1BF(z),設(shè)(z)= (zI-A)-1 z,X(z) = (z)x(0) +z-1(z)BF(z),Y(z) = C(z)x(0)+Cz-1(z)B+D