工程力學》教學課件第十三章彎曲變形與靜不定梁.ppt

第一節(jié) 彎曲變形的基本概念 第二節(jié) 梁的撓曲線近似微分方程 第三節(jié) 用疊加法計算梁的變形 梁的剛度條件 第四節(jié) 靜不定梁,第十三章 彎曲變形與靜不定梁,本章介紹了梁的彎曲變形的基本知識，主要包括撓曲線及梁的剛度條件。學習時要掌握梁的彎曲變形的基本概念，了解撓曲線近似微分方程的推導過程，掌握積分法和疊加法計算梁的變形，同時了解提高梁剛度的方法。了解變形比較法求靜不定梁的計算過程。,教學目的和要求,梁彎曲變形的基本概念； 撓曲線的近似微分方程； 積分法和疊加法計算梁的變形； 梁的剛度條件。,教學重點,撓曲線近似微分方程的推導過程； 積分法和疊加法計算梁的變形； 變形比較法求解靜不定梁。,教學難點,第一節(jié) 彎曲變形的基本概念,齒輪傳動軸的彎曲變形,軋鋼機（或壓延機）的彎曲變形,1.撓曲線 梁變形后的軸線稱為撓曲線 。,撓曲線方程為,式中 ，x 為梁變形前軸線上任一點的橫坐標 ，y為該點的撓度。,撓曲線,轉(zhuǎn)角（） ：橫截面對其初始位置的所轉(zhuǎn)過的角度 , 稱為該截面的轉(zhuǎn)角。,撓度（ y）: 橫截面形心 C (即軸線上的點)在垂直于 x 軸方向 的線位移，稱為該截面的撓度。,它們是度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量。,2.撓度和轉(zhuǎn)角,撓度與轉(zhuǎn)角的關系（小變形的條件下）為,撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定為,撓度：向上為正，向下為負。,轉(zhuǎn)角：自 x 轉(zhuǎn)至 切線方向，逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負。,一、撓曲線近似微分方程,上式就是撓曲線近似微分方程。,小變形,x,M0,x,M0,第二節(jié) 梁的撓曲線近似微分方程,對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：,二、用積分法求梁的彎曲變形,微分方程的積分,式中C、D為積分常數(shù)，可根據(jù)梁的邊界條件和連續(xù)性條件確定。,邊界條件和連續(xù)性條件,邊界條件：撓曲線上某些點的撓度和轉(zhuǎn)角是已知的。,例如，圖示簡支梁鉸支座處截面的撓度為零；,懸臂梁固定端處截面的撓度和轉(zhuǎn)角都等于零。,連續(xù)性條件:,撓曲線上任意點有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。,若連續(xù)性條件不滿足，則撓曲線就不連續(xù)(圖a)和不光滑(圖b)。,A,B,A,B,（1）邊界條件為,（2）連續(xù)性條件為,（圖a）,（圖b）,對上述梁：,例13-1 懸臂梁受集中載荷P作用，其抗彎剛度為EI，試用積分法求轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。,解 （1）建立坐標系并寫出彎矩方程。,（2）寫出撓曲線近似微分方程并積分。,（3）確定積分常數(shù) 。,P,L,x,當,時，,，,求得,（4）寫出撓曲線近似方程并畫出撓曲線的大致形狀。,（5）最大轉(zhuǎn)角及最大撓度（絕對值最大）。,x,（ ）,（ ）,例13-2 圖示一抗彎剛度為 EI 的簡支梁, 在全梁上受集度為 q 的均布載荷作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, 并確定其最大撓度 ymax 和最大轉(zhuǎn)角 max 。,解: 由對稱性可知，梁的兩個支反力為,梁的 彎矩方程 及 撓曲線微分方程 分別為,(c),(d),邊界條件為,將邊界條件代入 (c) , (d) 兩式得,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為,在 x = 0 和 x = l 處轉(zhuǎn)角的 絕對值相等且都是 最大值，為,在梁跨中點 l /2 處有 最大撓度值,A,B,q,適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構件的平面彎曲。 可應用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數(shù)由撓曲線變形的邊界條件、連續(xù)性條件確定。,撓曲線近似微分方程,優(yōu)點：使用范圍廣，可求出撓度和轉(zhuǎn)角的普遍方程；,缺點：計算較繁。,積分法：,第三節(jié) 用疊加法計算梁的變形 梁的剛度條件,（1）小變形，軸向位移可忽略； （2）線彈性范圍工作。 （3）梁的撓度和轉(zhuǎn)角與載荷成線性關系。,多個載荷同時作用于結構而引起的變形等于每個載荷單 獨作用于結構而引起的變形的代數(shù)和。,一、用疊加法求梁的彎曲變形,O,B,P,A,例13-3 用疊加法求如圖所示梁的截面A的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角。EI=常量。,解 （1）P單獨作用時，梁的左半段OA的變形如同懸臂梁在末端受集中力作用時的變形；右半段AB部分梁沒有變形位移，但其有剛體位移。剛體位移可以看作是隨A截面的平動與繞A截面的轉(zhuǎn)動。所以B截面的轉(zhuǎn)角等于A截面的轉(zhuǎn)角。,(2）MB單獨作用時，A、B兩截面變形位移可以直接從表中查出。,（3）P和MB共同作用時，應用疊加法可得知，A截面撓度為兩種載荷的代數(shù)和，B截面的轉(zhuǎn)角也為兩者的代數(shù)和。,例13-4 用疊加法求圖示梁的,，EI=常量。,=,+,A,B,+,A,M,解 運用疊加法,二、梁的剛度條件,常見梁結構的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角如下：,普通傳動軸,齒輪軸,吊車梁,樓蓋梁,例13-5 如圖所示工字鋼梁，l=8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， y = l500，E=200GPa，=100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷 P，并校核強度。,解 由剛度條件可得,解得,所以得,由梁的最大彎曲應力為,O,B,P,A,因此，滿足強度條件。,三、提高梁彎曲剛度的措施,梁的變形不僅與梁的受力和支承情況有關，而且還與梁的材料、截面形狀與大小和梁的長度有關。,提高梁剛度的措施為,1.增大梁的抗彎剛度EI； 2.減小梁的跨度； 3.改變加載方式。,靜不定梁：梁的未知反力的數(shù)目將多于靜力學平衡方程的數(shù)目，僅由平衡方程不能求出全部的約束反力和內(nèi)力，這種梁稱為靜不定梁或超靜定梁。,多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束。,靜不定次數(shù)：未知約束反力數(shù)目與靜平穩(wěn)方程條件數(shù)目之差稱為靜不定次數(shù)。,相當系統(tǒng)：靜不定梁的多余約束解除后，所得到的受力與原靜不定梁相同的靜定梁，稱為原梁的相當系統(tǒng)。,第四節(jié) 靜不定梁,一、靜不定梁的基本概念,A,B,x,B,相當系統(tǒng),二、用變形比較法求解靜不定梁,變形協(xié)調(diào)條件為,補充方程為,約束反力為,用變形比較法求解靜不定梁的一般步驟：,（1）選擇基本靜定系，確定多余約束及反力。 （2）比較基本靜定系與靜不定梁在多余處的變形、確定變形協(xié)調(diào)條件。 （3）計算各自的變形，利用疊加法列出補充方程。 （4）由平衡方程和補充方程求出多余反力，其后內(nèi)力、強度、剛度的計算與靜定梁完全相同。,例13-6 如圖所示靜不定梁，等截面梁AC的抗彎剛度EI，拉桿BD的抗拉剛度EA，在F力作用下，試求BD桿的拉力和截面C的撓度。,L,A,C,D,F,B,解 (1)選擇基本靜定梁。解除BD桿約束，以反力FB代替。,（2）列出變形協(xié)調(diào)條件。,（3）在基本靜定梁上由疊加法求撓度。,本章小結,1.在小變形條件下，建立了梁的撓曲線近似微分方程，用積分法求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。對于積分常數(shù)需要應用邊界條件和連續(xù)條件。 2.在小變形條件和線彈性范圍內(nèi)，用疊加法求解梁的彎曲變形位移。當梁受到復雜載荷作用時，可先計算其在各基本載荷作用下的變形位移，然后進行疊加求和，可得到梁的總體變形位移。也可以用逐段剛化法求解。,本章小結