平面向量的數(shù)量積(10).ppt

5.3 平面向量的數(shù)量積 要點梳理 1.平面向量的數(shù)量積 已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量 叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作 . 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 . 兩個非零向量a與b垂直的充要條件是 ，兩非零向量a與b平行的充要條件是 .,|a|b|cos ,ab=|a|b|cos ,0,ab=0,ab=|a|b|,基礎(chǔ)知識 自主學習,2.平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a方向上的投影 的乘積. 3.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì) （1）ea=ae= ； （2）非零向量a，b，ab ； （3）當a與b同向時，ab= ； 當a與b反向時，ab= , aa= ，|a|= ; （4）cos = ； （5）|ab| |a|b|.,|b|cos,|a|cos ,ab=0,|a|b|,-|a|b|,a2,4.平面向量數(shù)量積滿足的運算律 （1）ab= （交換律）； （2）（ a）b= = （ 為實數(shù)）； （3）（a+b）c= .,ba,ab,a b,ac+bc,5.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標表示 設(shè)向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），則 ab= ，由此得到 （1）若a=（x，y）,則|a|2= 或|a| . （2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A、B兩點間的距離|AB|=|AB|= . （3）設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則ab .,x1x2+y1y2,x2+y2,x1x2+y1y2=0,基礎(chǔ)自測 1.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b上的投影為（ ） A. B. C. D. 解析 設(shè)a和b的夾角為，|a|cos =|a|,C,2.若|a|=2cos 15，|b|=4sin 15，a，b的夾角為30，則ab等于 （ ） A. B. C. D. 解析,B,3.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，則a（bc）等于 （ ） A.（26，-78） B.（-28，-42） C.-52 D.-78 解析 a(bc)=(1,-3)(42+63)=(26,-78).,A,4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),mn，則x等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由mn=0，得4(x-5)+x=0，得x=4.,D,5.（2009江西文，13）已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）b,則k= . 解析 a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1), (a-c)b，b=(1,3), (3-k)1-3=0,k=0.,0,題型一 平面向量的數(shù)量積 【例1】已知向量a=(cos x,sin x), b=(cos ,-sin )，且x . (1)求ab及|a+b|; (2)若f(x)=ab-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值. 利用數(shù)量積的坐標運算及性質(zhì)即可求解，在求|a+b|時注意x的取值范圍.,思維啟迪,題型分類 深度剖析,解,0,|a+b|=2cos x.,(2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =2(cos x- )2- . x ， cos x1， 當cos x= 時，f(x)取得最小值為- ； 當cos x=1時，f(x)取得最大值為-1.,探究提高 （1）與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù) 量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型.解答此 類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公 式、向量模、夾角的坐標運算公式外，還應掌握三 角恒等變換的相關(guān)知識. （2）求平面向量數(shù)量積的步驟：首先求a與b的夾角 為,0，180，再分別求|a|，|b|， 然后再求數(shù)量積即ab=|a|b|cos，若知道向量 的坐標a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.,知能遷移1 （1）已知O是ABC內(nèi)部一點， =0， 且BAC=30，則AOB的面積為 （ ） A.2 B.1 C. D. 解析 由 =0得O為ABC的重心. SAOB= SABC. 又 cos 30=2 ， 得 =4. SABC= sin 30=1.SAOB= .,D,（2）（2009重慶理，4）已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2，則向量a與b的夾角是 （ ） A. B. C. D. 解析 a(b-a)=ab-a2=2,ab=2+a2=3 cosa，b= a與b的夾角為 .,C,題型二 利用平面向量的數(shù)量積解決垂直問題 【例2】已知向量a=(cos(-),sin(-),b= （1）求證：ab； （2）若存在不等于0的實數(shù)k和t，使x=a+(t2+3)b, y=-ka+tb，滿足xy，試求此時 的最小值. （1）可通過求ab=0證明ab. （2）由xy得xy=0，即求出關(guān)于k,t的一個方程，從而求出 的代數(shù)表達式，消去一個量k，得出關(guān)于 t的函數(shù)，從而求出最小值.,思維啟迪,(1)證明 ab=cos(-)cos( -)+sin(-) sin( -)=sin cos -sin cos=0. ab. （2）解 由xy得xy=0, 即a+（t2+3）b（-ka+tb）=0， -ka2+（t3+3t）b2+t-k（t 2+3）ab=0， -k|a|2+（t3+3t）|b|2=0. 又|a|2=1，|b|2=1， -k+t3+3t=0，k=t3+3t. 故當t= 時， 有最小值 .,探究提高 （1）兩個非零向量互相垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零.因此，可以將證兩向量的垂直問題，轉(zhuǎn)化為證明兩個向量的數(shù)量積為零. （2）向量的坐標表示與運算可以大大簡化數(shù)量積的運算，由于有關(guān)長度、角度和垂直的問題可以利用向量的數(shù)量積來解決，因此，我們可以利用向量的坐標研究有關(guān)長度、角度和垂直問題.,知能遷移2 已知平面向量a=（- , ）,b=(- , -1). (1)證明：ab; (2)若存在不同時為零的實數(shù)k、t,使x=a+(t2- 2)b, y=-ka+t2b,且xy，試把k表示為t的函數(shù). (1)證明 ab= ( ,-1) ab.,(2)解 xy,xy=0, 即a+(t2-2)b（-ka+t2b）=0. 展開得-ka2+t2-k(t2-2)ab+t2(t2-2)b2=0, ab=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4, -k+4t2（t2-2）=0,k=f(t)=4t2 (t2-2).,題型三 向量的夾角及向量模的問題 【例3】 （12分）已知|a|=1，ab= ，（a- b）（a+b）= ， 求：（1）a與b的夾角； （2）a-b與a+b的夾角的余弦值. 解 （1）（a-b）（a+b）= ， |a|2-|b|2= ， 又|a|=1，|b|= 3分 設(shè)a與b的夾角為， 則cos = 0 180,=45. 6分,5分,（2）（a-b）2=a2-2ab+b2 |a-b|= 8分 （a+b）2=a2+2ab+b2=1+2 |a+b|= , 設(shè)a-b與a+b的夾角為 ， 10分 則cos = 12分,探究提高 （1）求向量的夾角利用公式cosa，b= .需分別求向量的數(shù)量積和向量的模. （2）利用數(shù)量積求向量的模，可考慮以下方法. |a|2=a2=aa;|ab|2=a22ab+b2; 若a=(x,y)，則|a|= .,知能遷移3 已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120. (1)計算：|a+b|;|4a-2b|; (2)當k為何值時，(a+2b)(ka-b)？ 解 由已知，ab=48(- )=-16. （1）|a+b|2=a2+2ab+b2 =16+2(-16)+64=48, |a+b|=4 .,|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2 =1616-16(-16)+464=3162, |4a-2b|=16 . （2）若(a+2b)(ka-b),則(a+2b)(ka-b)=0, ka2+（2k-1）ab-2b2=0. 16k-16（2k-1）-264=0，k=-7.,方法與技巧 1.數(shù)量積ab中間的符號“”不能省略，也不能用“”來替代. 2.要熟練類似（ a+b)(sa+tb)= sa2+( t+s) ab+tb2的運算律（ 、s、tR）. 3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,將模的運算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運算. 4.一般地，（ab）c(bc)a即乘法的結(jié)合律不成立.因ab是一個數(shù)量，所以(ab)c表示一個與c共線的向量，同理右邊（bc）a表示一個與a共線的向量,而a與c不一定共線,故一般情況下(ab)c (bc)a.,思想方法 感悟提高,失誤與防范 1.零向量:(1)0與實數(shù)0的區(qū)別，不可寫錯：0a=00,a+(-a)=00,a0=00;(2)0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系. 2.ab=0不能推出a=0或b=0,因為ab=0ab. 3.ab=ac(a0)不能推出b=c.即消去律不成立. 4.向量夾角的概念要領(lǐng)會，比如正三角形ABC中， 應為120,而不是60.,一、選擇題 1.（2009寧夏文，7）已知a=(-3,2),b=(-1,0)，向量 a+b與a-2b垂直，則實數(shù) 的值為（ ） A. B. C. D. 解析 a=(-3,2),b=(-1,0), a+b=(-3 -1,2 ), a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）. 由（ a+b）(a-2b),知4 +3 +1=0. =-,A,定時檢測,2.已知向量a,b的夾角為120，|a|=1，|b|=5，則 |3a-b|等于 （ ） A.7 B.6 C.5 D.4,解析,A,3.設(shè)向量a與b的夾角為，定義a與b的“向量積”：ab是一個向量，它的模|ab|=|a|b|sin ,若a=(- , -1),b=(1, )，則|ab|等于 （ ） A. B.2 C.2 D.4 解析 |a|=|b|=2，ab=-2 ， cos = 又0，sin = |ab|=22 =2.,B,4.已知非零向量a,b，若|a|=|b|=1,且ab，又知 （2a+3b）(ka-4b)，則實數(shù)k的值為 （ ） A.-6 B.-3 C.3 D.6 解析 由（2a+3b）（ka-4b）=0，得2k-12=0, k=6.,D,5.（2009全國文，8）設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|=|b|=|c|,a+b=c,則a,b= （ ） A.150 B.120 C.60 D.30 解析 a+b=c,|c|2=|a+b|2=a2+2ab+b2. 又|a|=|b|=|c|,2ab=-b2, 即2|a|b|cosa,b=-|b|2. cosa,b=- ,a,b=120.,B,6.在ABC中，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a+c=3，cos B= ，則 等于 （ ） A. B. C.3 D.-3 解析 由已知b2=ac，a+c=3，cos B= ， 得 ，得ac=2. 則 =accos =2,B,二、填空題 7.（2009江蘇，2）已知向量a和向量b的夾角為30，|a|=2，|b|= ，則向量a和向量b的數(shù)量積ab= . 解析 由題意知ab=|a|b|cos 30=2 =3.,3,8.設(shè)向量a,b滿足|a-b|=2，|a|=2，且a-b與a的夾角為 ，則|b|= . 解析 由已知得 即 ab=2. 又|a-b|2=4=|a|2+|b|2-2ab， |b|2=4,|b|=2.,2,9.已知向量a=(x,1),b=(2,3x)，則 的取值范圍是 . 解析 本題考查數(shù)量積的坐標運算及均值不等式求最值；原式= ，當x=0時，原式=0， 當x0時，原式=,當x0時，0 當x0時，0 綜上所述，取值范圍為 答案,三、解答題 10.已知點A（1,0）,B（0,1）,C（2sin，cos）. （1）若| |=| |，求tan的值； （2）若（ ） =1，其中O為坐標原點，求sin 2的值. 解 (1)A(1,0),B（0,1）,C（2sin,cos）， =(2sin-1,cos), =(2sin,cos-1). | |=| |，, 化簡得2sin=cos. cos0（若cos=0,則sin=1,上式不成立）. tan = . （2） =（1，0）， =（0，1）， =（2sin，cos）， =（1，2）. （ ） =1，2sin +2cos =1. sin +cos = .（sin +cos ）2= . sin 2= .,11.設(shè)n和m是兩個單位向量，其夾角是60，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角. 解 由|m|=1，|n|=1，夾角為60，得mn= . 則有|a|=|2m+n|= |b|= 而ab=（2m+n）（2n-3m）=mn-6m2+2n2=- 設(shè)a與b的夾角為， 則cos = 故a，b夾角為120.,12.在三角形ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、 b、c，且2sin2 +cos 2C