某重點高中2017_2018學年高二數學上學期期中試題理（含解析）.docx

2017-2018學年上期高二期中考試理科數學第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 中，角的對邊分別為，已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】在ABC中， ，則 ，由正弦定理可得： 故選C2. 等比數列中，若，則（ ）A. 64 B. -64 C. 32 D. -32【答案】A【解析】數列是等比數列，即 解得 那么 故選A3. 已知等差數列中，公差，則（ ）A. 5或7 B. 3或5 C. 7或-1 D. 3或-1【答案】D【解析】在等差數列中，公差，得 ，解得 或 故選D4. 中，,則（ ）A. 15 B. 9 C. -15 D. -9【答案】B.故選B5. 已知成等比數列，且曲線的頂點是，則等于（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 12【答案】B【解析】把 配方得 得到頂點坐標為 ，即 由 成等比數列，則 ，故選B6. 已知等差數列的公差為整數，首項為13，從第五項開始為負，則等于（ ）A. -4 B. -3 C. -2 D. -1【答案】A【解析】在等差數列中，由 ，得 ，得 ，公差 為整數， 故選A7. 已知中，角的對邊分別為，已知，若三角形有兩解，則邊的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，要使三角形有兩解，就是要使以 為圓心，半徑為2的圓與有兩個交點，當時，圓與相切；當時交于點，也就是只有一解，即 由正弦定理以及 可得： 的取值范圍是 故選C8. 中，角的對邊分別為，已知，則的形狀是（ ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C當 時，的形狀是等腰三角形，當 時，即 ，那么 ，的形狀是直角三角形故選C【點睛】本題考查正弦定理和三角形內角和定理的運用解題的關鍵是得到一定要注意分類討論9. 已知中，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根據正弦定理 化簡已知等式得： ，又 為三角形的內角，則 故選D【點睛】此題考查了正弦定理，以及余弦定理的運用，熟練掌握定理是解本題的關鍵10. 九章算術中有“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列，問五人各得多少錢？”這個問題中，甲所得為（ ）A. 錢 B. 錢 C. 錢 D. 錢【答案】B【解析】設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為,則,解得,又 ,則,故選B.11. 設為等差數列，公差，則使前項和取得最大值時正整數等于（ ）A. 4或5 B. 5或6 C. 6或7 D. 8或9【答案】B【解析】設等差數列an的首項為公差為解得a或（舍去）則 ， 故使前項和取最大值的正整數是5或6故選B12. 已知銳角中，角的對邊分別為，若，則的面積的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】， 由題 為銳角，可得 由正弦定理可得 ，可得： ， 為銳角，可得 ，可得 故選C第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 在中，角的對邊分別為，若，則此三角形面積為_【答案】【解析】 ，故 ，故三角形面積 故答案為14. 數列的首項，則_【答案】-61【解析】由題數列的首項，則當時。 是以-1為首項以2為公比的等比數列， 故答案為-6115. 已知等差數列，前項和分別為和，若，則=_【答案】【解析】 故答案為16. 如圖半圓的半徑為1，為直徑延長線上一點，且，為半圓上任意一點，以為一邊作等邊三角形，則四邊形面積最大值為_.【答案】【解析】設，在中，由余弦定理得： ，所以四邊形的面積為： ， ，當 ，即 即時，四邊形 面積取得最大值，最大為 故答案為：【點睛】本題考查了余弦定理以及三角函數的化簡和求最大值問題其中利用余弦定理得到是解題的關鍵.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 在中，角的對邊分別為，且滿足.（1）求角；（2）若的面積，求邊.【答案】(1)；(2)7.【解析】試題分析：（1）根據 利用二倍角和誘導公式化簡可得角（2）根據 ，即可求解邊的值試題解析：（1）解得或，.（2），即， ，解得.18. 已知等比數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，若不等式，對一切恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：1）根據是等比數列，可得 *可得，即可求解數列的通項公式；（2）根據等比數列的前項和公式求解n，由于，分離參數，即可求解實數的取值范圍試題解析：（1）設等比數列公比為，.（2）由（1）知，即對一切恒成立.令，則隨的增大而增大.，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查等比數列通項公式和前n項和的求解，其中根據分離參數的表達式以及結合單調性求解范圍是解決本題的關鍵19. 在等差數列中，其前項和為.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和，并證明.【答案】（1）；（2），證明見解析.【解析】試題分析：（1）設等差數列的首項為，公差為，由已知列出關于首項和公差的方程組，求得，代入等差數列的通項公式求解；（2）求出，可得，利用裂項相消法求和后即可證明試題解析：（1）設等差數列的公差為，則由及等差數列的通項公式，得，又，解得，則；（2）由（1）知，即 ，則 .所以.20. 在銳角中，分別為角的對邊，且.（1）確定角的大??；（2）當時，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由正弦定理化簡已知可求，結合范圍 ，求得 ，結合范圍 ，即可得解 的值（2）根據正弦定理可得，結合是銳角三角形，可求得周長的最大值.試題解析：（1）由及正弦定理得，.，.是銳角三角形，.（2）， .是銳角三角形，故，所以周長的最大值是.21. 輪船從某港口將一些物品送到正航行的輪船上，在輪船出發(fā)時，輪船位于港口北偏西且與相距20海里的處，并正以30海里的航速沿正東方向勻速行駛，假設輪船沿直線方向以海里/小時的航速勻速行駛，經過小時與輪船相遇.（1）若使相遇時輪船航距最短，則輪船的航行速度大小應為多少？（2）假設輪船的最高航速只能達到30海里/小時，則輪船以多大速度及什么航行方向才能在最短時間與輪船相遇，并說明理由.【答案】（1）輪船以海里/小時的速度航行，相遇時輪船航距最短；（2）航向為北偏東，航速為30海里/小時，輪船能在最短時間與輪船相遇.【解析】試題分析：（1）設兩輪船在處相遇，在 中，利用余弦定理得出關于t的函數，從而得出的最小值及其對應的，得出速度；（2）利用余弦定理計算航行時間，得出 距離，從而得出 的度數，得出航行方案試題解析：（1）設相遇時輪船航行的距離為海里，則 .當時，即輪船以海里/小時的速度航行，相遇時輪船航距最短.（2）設輪船與輪船在處相遇，則 ，即.，即，解得，又時，時，最小且為，此時中，航向為北偏東，航速為30海里/小時，輪船能在最短時間與輪船相遇.22. 已知數列及，且,.（1）求的值；（2）求數列的通項公式；（3）求證:.【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由已知條件利用函數的性質能求出 的值（2）由已知條件推導出，由此能求出數列的通項公式（