2020版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.1等差數(shù)列（第2課時）等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案新人教B版.docx

第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的常用性質(zhì).2.能運用等差數(shù)列的性質(zhì)簡化計算知識點一等差數(shù)列通項公式的變形及推廣andn(a1d)(nN)，anam(nm)d(m，nN)，d(m，nN，且mn)其中的幾何意義是點(n，an)均在直線ydx(a1d)上可以用來利用任一項及公差直接得到通項公式，不必求a1.即斜率公式k，可用來由等差數(shù)列任兩項求公差知識點二等差數(shù)列的性質(zhì)在等差數(shù)列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，則amanapaq.特別地，若mn2p，則aman2ap.知識點三由等差數(shù)列衍生的新數(shù)列若an，bn分別是公差為d，d的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論can公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))can公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))anank公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，kN)panqbn公差為pdqd的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))1若數(shù)列an的通項公式anknb，則an是公差為k的等差數(shù)列()2等差數(shù)列an中，必有a10a1a9.()3若數(shù)列a1，a2，a3，a4，是等差數(shù)列，則數(shù)列a1，a3，a5，也是等差數(shù)列()4若數(shù)列a1，a3，a5，和a2，a4，a6都是公差為d的等差數(shù)列，則a1，a2，a3是等差數(shù)列()題型一anam(nm)d的應(yīng)用例1在等差數(shù)列an中，已知a25，a817，求數(shù)列的公差及通項公式解因為a8a2(82)d，所以1756d，解得d2.又因為ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1，nN.反思感悟靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以減少運算令m1，anam(nm)d即變?yōu)閍na1(n1)d，可以減少記憶負(fù)擔(dān)跟蹤訓(xùn)練1bn為等差數(shù)列，若b32，b1012，則b8_.答案8解析方法一bn為等差數(shù)列，可設(shè)其公差為d，則d2，bnb3(n3)d2n8.b82888.方法二由d，得b85b325(2)8.題型二等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2已知等差數(shù)列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此數(shù)列的通項公式解方法一因為a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因為a2a4a645，所以a2a69，所以(a42d)(a42d)9，即(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3，nN；若d2，ana4(n4)d132n，nN.方法二設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a1a4a715，得a1a13da16d15，即a13d5.由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，將代入上式，得(52d)5(52d)45，即(52d)(52d)9，聯(lián)立解得a11，d2或a111，d2，即an12(n1)2n3，nN；或an112(n1)2n13，nN.引申探究1在例2中，不難驗證a1a4a7a2a4a6，那么，在等差數(shù)列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN，是否有amanapaqaras？解設(shè)公差為d，則ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，ara1(r1)d，asa1(s1)d，amanap3a1(mnp3)d，aqaras3a1(qrs3)d，mnpqrs，amanapaqaras.2在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7_.答案20解析a3a810，a3a3a8a820.33885557，a3a3a8a8a5a5a5a7，即3a5a72(a3a8)20.反思感悟解決等差數(shù)列運算問題的一般方法：一是靈活運用等差數(shù)列an的性質(zhì)；二是利用通項公式，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的首項與公差的求解，屬于通用方法；或者兼而有之這些方法都運用了整體代換與方程的思想跟蹤訓(xùn)練2在等差數(shù)列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值解方法一(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差數(shù)列a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.方法二a1a4a7a1(a13d)(a16d)3a19d39，a13d13，a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d)3a112d33.a14d11，聯(lián)立解得a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d)3a115d31915(2)27.題型三等差數(shù)列的設(shè)法與求解例3已知三個數(shù)成單調(diào)遞增等差數(shù)列，它們的和等于18，它們的平方和等于116，求這三個數(shù)解設(shè)這三個數(shù)分別為ad，a，ad，且d0.由題意可得解得或d0，a6，d2.這個數(shù)列是4,6,8.反思感悟設(shè)等差數(shù)列的三個技巧(1)對于連續(xù)奇數(shù)項的等差數(shù)列，可設(shè)為：，xd，x，xd，此時公差為d.(2)對于連續(xù)偶數(shù)項的等差數(shù)列，通常可設(shè)為：，a3d，ad，ad，a3d，此時公差為2d.(3)等差數(shù)列的通項可設(shè)為anpnq.跟蹤訓(xùn)練3三個數(shù)成等差數(shù)列，這三個數(shù)的和為6，三個數(shù)之積為24，求這三個數(shù)解設(shè)這三個數(shù)分別為ad，a，ad.由題意可得解得或所求三個數(shù)為2,2,6或6,2,2.數(shù)列問題如何選擇運算方法典例等差數(shù)列an中，a3a72a1540，求a10.解方法一設(shè)an的公差為d.則a3a72a15a12da16d2(a114d)4a136d4(a19d)4a1040，a1010.方法二a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040，a1010.素養(yǎng)評析等差數(shù)列中的計算大致有2條路：一是都化為基本量(a1，d，n)然后解方程(組)；二是借助等差數(shù)列性質(zhì)簡化計算前者是通用方法，但計算量大，后者不一定每個題都能用，能用上會使計算簡單些，所以建議學(xué)習(xí)者立足通法，注意觀察各項序號特點，能巧則巧，但不要刻意追求巧法.1在等差數(shù)列an中，已知a310，a820，則公差d等于()A3B6C4D3答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)得a8a3(83)d5d，所以d6.2在等差數(shù)列an中，已知a42，a814，則a15等于()A32B32C35D35答案C解析由a8a4(84)d4d14212，得d3，所以a15a8(158)d147335.3等差數(shù)列an中，a4a515，a712，則a2等于()A3B3CD答案A解析由數(shù)列的性質(zhì)，得a4a5a2a7，所以a215123.4設(shè)公差為2的等差數(shù)列an，如果a1a4a7a9750，那么a3a6a9a99等于()A182B78C148D82答案D解析a3a6a9a99(a12d)(a42d)(a72d)(a972d)(a1a4a97)2d33502(2)3382.5在等差數(shù)列an中，已知a22a8a14120，則2a9a10_.答案30解析a22a8a144a8120，a830.2a9a102(a10d)a10a102da830.1在等差數(shù)列an中，每隔相同數(shù)目的項抽出來的項按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列2在等差數(shù)列an中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素，有關(guān)等差數(shù)列的問題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可根據(jù)a1，d的關(guān)系列方程組求解，但是，要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量一、選擇題1已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a36，a918，則公差d為()A1B3C2D4答案C解析因為數(shù)列an為等差數(shù)列，所以a9a36d，即1866d，所以d2.2在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a7450，則a2a8的值等于()A45B75C180D300答案C解析a3a4a5a6a7(a3a7)(a4a6)a55a5450，a590.a2a82a5180.3已知等差數(shù)列an的公差為d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，則m的值為()A12B8C6D4答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.4等差數(shù)列an中，a3a7a101，a11a421.則a7等于()A7B10C20D30答案C解析a3a7a10a11a4a3a7a11(a10a4)3a72a7a7，a721120.5已知數(shù)列an為等差數(shù)列且a1a7a134，則tan(a2a12)的值為()A.BCD答案D解析由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1a7a133a74，a7.tan(a2a12)tan(2a7)tantan.6已知數(shù)列是等差數(shù)列，且a32，a1530，則a9等于()A12B24C16D32答案A解析令bn，由題意可知b3，b152，則等差數(shù)列bn的公差d，則b9b3(93)d，所以a99b912，故選A.7若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)yax22bxc的圖象與x軸的交點的個數(shù)為()A0B1C2D1或2答案D解析a，b，c成等差數(shù)列，2bac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函數(shù)yax22bxc的圖象與x軸的交點個數(shù)為1或2.8(2018河南省實驗中學(xué)期末)已知an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13的值為()A105B120C90D75答案A解析由a1a2a315，得a25，所以a1a310.又a1a2a380，所以a1a316，所以a12，a38或a18，a32.又等差數(shù)列an的公差為正數(shù)，所以an是遞增數(shù)列，所以a12，a38，所以等差數(shù)列an的公差da2a1523，所以a11a12a133a123(a111d)105.二、填空題9在等差數(shù)列an中，已知amn，anm，m，nN，則amn的值為_答案0解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d1，從而amnam(mnm)dnn(1)0.10若三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個數(shù)的積為_答案21解析設(shè)這三個數(shù)為ad，a，ad，則解得或這三個數(shù)為1,3,7或7,3，1.這三個數(shù)的積為21.11在下面的數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列.第1列第2列第3列第1行123第2行246第3行369那么位于表中的第n行第n1列的數(shù)是_答案n2n解析第n行的第一個數(shù)是n，第n行的數(shù)構(gòu)成以n為公差的等差數(shù)列，其第n1項為nnnn2n.所以數(shù)表中的第n行第n1列的數(shù)是n2n.三、解答題12在等差數(shù)列an中，(1)若a2a4a6a8a1080，求a7a8；(2)已知a12a8a1596，求2a9a10.解(1)a2a4a6a8a105a680，a616，a7a8(2a7a8)(a6a8a8)a68.(2)a12a8a154a896，a824.2a9a10a10a8a10a824.13已知an為等差數(shù)列，且a1a3a518，a2a4a624.(1)求a20的值；(2)若bnan，試判斷數(shù)列bn從哪一項開始大于0.解(1)因為a1a3a518，a2a4a624，所以a36，a48，則公差d2，所以a20a317d40.(2)由(1)得ana3(n3)d6(n3)22n，所以bn2n3n.由bn0，即3n0，得n，所以數(shù)列bn從第7項開始大于0.14若等差數(shù)列an滿足an1an4n3，則an的通項公式為_答案an2n(nN)解析由題