（黃岡名師）高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升練二十七5.3平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例理（含解析）新人教A版.docx

核心素養(yǎng)提升練二十七平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,則ab為()A.12B.8C.-8D.2【解析】選A.因?yàn)閨a|cos=4,|b|=3,所以ab=|a|b|cos=34=12.2.如圖,在圓C中,點(diǎn)A,B在圓上,則的值()A.只與圓C的半徑有關(guān)B.既與圓C的半徑有關(guān),又與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)C.只與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)D.是與圓C的半徑和弦AB的長(zhǎng)度均無關(guān)的定值【解析】選C.如圖,過圓心C作CDAB,垂足為D,則=|cosCAB=|2.所以的值只與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān).3.在ABC中,若|2=+,則ABC是()A.等邊三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.直角三角形【解析】選D.依題意得|2=(+)+=|2+,所以=0,ABC是直角三角形.【變式備選】已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b與c垂直,則k=()A.-3B.-2C.1D.-1【解析】選A.因?yàn)閍+2b與c垂直,所以(a+2b)c=0,即ac+2bc=0,所以k+2=0,解得k=-3.4.已知ABC為等邊三角形,AB=2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足=,=(1-),R,若=-,則=()A.B.C.D.【解析】選A.因?yàn)?-,所以-=-|2-|2+=-4-4+2=-22+2-2,解得=.【一題多解】選A.如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(-1,0),B(1,0),C(0,),另設(shè)P(x1,0),Q(x2,y2),由=,得x1=2-1,由=(1-),得x2=-;y2=(1-),于是=(-1,(1-),=(2-1,-),由=-得:(-1)(2-1)-3(1-)=-,解得=.【變式備選】已知非零向量a,b的夾角為,且|b|=1,|b-2a|=1,則|a|=()A.B.1C.D.2【解析】選A.依題意得(b-2a)2=1,即b2+4a2-4ab=1,1+4|a|2-2|a|=1, 4|a|2-2|a|=0(|a|0),因此|a|=.5.(2017全國(guó)卷)已知ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1【解析】選B.取BC的中點(diǎn)D,以BC為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,則A(0,),B(-1,0),C(1,0),設(shè)P(x,y),所以=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),(+)=2x2-2y(-y)=2x2+2-,當(dāng)P時(shí),(+)取得最小值,最小值為-.【變式備選】已知平面向量a,b的夾角為120,且ab=-1,則|a-b|的最小值為()A.B.C.D.1【解析】選A.由題意可知-1=ab=|a|b|cos 120,所以2=|a|b|,即|a|2+|b|24,當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時(shí)等號(hào)成立,|a-b|2=a2-2ab+b2=a2+b2+24+2=6,所以|a-b|,所以|a-b|的最小值為.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),則向量m,n的夾角的余弦值為_.【解析】因?yàn)閙+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),所以由(m+n)(m-n)得(m+n)(m-n)=0,即(2+3)(-1)+3(-1)=0,解得=-3,則m=(-2,1),n=(-1,2),所以cos=.答案:7.(2019濟(jì)南模擬)已知A(-1,cos ),B(sin ,1),若|+|=|-|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則銳角=_.【解析】利用幾何意義求解:由已知可得,+是以O(shè)A,OB為鄰邊所作平行四邊形OADB的對(duì)角線向量,-則是對(duì)角線向量,由對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形.知OAOB.因此=0,所以銳角=.答案:【一題多解】坐標(biāo)法:+=(sin -1,cos +1),-=(-sin -1,cos -1),由|+|=|-|可得(sin -1)2+(cos +1)2=(-sin -1)2+(cos -1)2,整理得sin =cos ,于是銳角=.答案:8.如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,BAD=60,M為DC的中點(diǎn),若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界),則的最大值為_.【解析】由平面向量的數(shù)量積的幾何意義知,等于|與在方向上的投影之積,所以()max=(+)=|2+|2+=9.答案:9三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知向量a=,b=(cos x,-1).(1)當(dāng)ab時(shí),求2cos2x-sin 2x的值.(2)求f(x)=(a+b)b在上的值域.【解析】(1)因?yàn)閍b,所以cos x+sin x=0,所以tan x=-,2cos2x-sin 2x=.(2)因?yàn)閍+b=.f(x)=(a+b)b=sin.因?yàn)?x0,所以-2x+,所以-1sin,所以-f(x),所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?10.已知向量a1=(1,-7),d=(1,1),對(duì)任意nN*都有an+1=an+d.(1)求|an|的最小值.(2)求正整數(shù)m,n,使aman.【解析】(1)設(shè)an=(xn,yn),由an+1=an+d得所以xn,yn都是公差為1的等差數(shù)列.因?yàn)閍1=(1,-7),所以xn=n,yn=n-8,an=(n,n-8),|an|=4,|an|的最小值為4.(2)由(1)可知an=(n,n-8),am=(m,m-8),由已知aman得:aman=0,mn+(m-8)(n-8)=0,(m-4)(n-4)=-16因?yàn)閙,nN+,所以或或或【變式備選】一條河的兩岸平行,河的寬度d=500 m,一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸.已知船的速度|v1|=10 km/h,水流速度|v2|=2 km/h.要使船行駛的時(shí)間最短,那么船行駛的距離與合速度的比值必須最小.此時(shí)我們分三種情況討論:當(dāng)船逆流行駛,與水流成鈍角時(shí);當(dāng)船順流行駛,與水流成銳角時(shí);當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛,與水流成直角時(shí).請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算上面三種情況,并判斷是否當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛時(shí),與水流成直角時(shí),所用時(shí)間最短【解析】設(shè)v1與v2的夾角為,合速度為v,v2與v的夾角為,行駛距離為d,則sin =所以當(dāng)=90,即船垂直于對(duì)岸行駛時(shí)所用時(shí)間最短.(20分鐘40分)1.(5分)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,ABD=30,點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,BC=2BE,CD=CF.若=-9,則的值為()A.2B.3C.4D.5【解析】選B.依題意得=+=-,=+,因此=-+,于是有62+62cos 60=-9,由此解得=3.2.(5分)(2018宜春模擬)已知向量與的夾角為,|=2,|=1,=t,=(1-t),|在t0時(shí)取最小值,當(dāng)0t0時(shí),cos 的取值范圍為()A.B.C.D.【解析】選D.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則由題意有:A(2,0),B(cos ,sin ),由向量關(guān)系可得:=t=(2t,0),=(1-t)=(1-t)cos ,(1-t)sin ),則:|=|-|=,整理可得:|=,滿足題意時(shí):t0=-=-,據(jù)此可得三角不等式:0-,解得:-cos ,即cos 的取值范圍是.3.(5分)如圖,已知平面四邊形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O.記I1=,I2=,I3=,則()A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3【解析】選C.根據(jù)題意,I1-I2=-=(-)=|cosAOB0,所以I1I3,作AGBD于G,又因?yàn)锳B=AD,所以O(shè)BBG=GDOD,同理作BFAC于F,而OAAF=FCOC,所以|,而cosAOB=cosCOD,即I1I3,所以I3I10,所以nm.從而DBC45,又因?yàn)锽CO=45,所以BOC為銳角.從而AOB為鈍角.故I10,I30.又因?yàn)镺AOC,OB1),=-2(21),從而I3=12=12I1,又因?yàn)?21,I10,I30,所以I3I1,所以I3I1I2.【變式備選】已知圓O的半徑為1,A,B是圓上的兩點(diǎn),且AOB=,MN是圓O的任意一條直徑,若點(diǎn)C滿足=+(1-) (R),則的最小值為_.【解析】由題意可得=(+)(+)=+(+)+,因?yàn)镸N是圓O的任意一條直徑,所以+=0,=-1,所以=+0-1=-1.要求的最小值問題就是求的最小值,因?yàn)?+(1-)(R),所以點(diǎn)C在直線AB上,則當(dāng)C在AB中點(diǎn)時(shí),OCAB,OC最小為等邊三角形AOB的高線為,此時(shí)=,故的最小值為-1=-.答案:-4.(12分)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-1,0),|=1,且AOC=x,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若x=,設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn),求|+|的最小值.(2)若x,向量m=,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求mn的最小值及對(duì)應(yīng)的x值.【解析】(1)設(shè)D(t,0)(0t1),當(dāng)x=時(shí),可得C,所以+=,所以|+|2=+(0t1),所以當(dāng)t=時(shí),|+|2取得最小值為,故|+|的最小值為.(2)由題意得C(cos x,sin x),m=(cos x+1,sin x),則mn=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-sin.因?yàn)閤,所以2x+.所以當(dāng)2x+=,即x=時(shí),mn=1-sin取得最小值1-,所以mn的最小值為1-,此時(shí)x=.5.(13分)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值.(2)設(shè)=,且a(b+c),求cos 的值.【解析】(1)b+c=(cos -1,sin ),則|b+c|2=(cos -1)2+sin2=2(1-cos ).因?yàn)?1cos 1,所以0|b+c|24,即0|b+c|2.當(dāng)cos =-1時(shí),有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值為2.(2)若=,則a=.又由b=(cos ,sin ),c=(-1,0)得a(b+c)=(cos -1,sin )=cos +sin -.因?yàn)閍(b+c),所以a(b+