20182019學(xué)年第一學(xué)期上海市高二下冊(cè)12.3橢圓方程 (1)

橢圓【學(xué)習(xí)要點(diǎn)】1. 定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間的距 離）的點(diǎn)的軌跡為橢圓，其中兩定點(diǎn)、叫做焦點(diǎn)，定點(diǎn)間的距離叫做焦距.2. 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，方程為：； , 焦距, . 焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，方程為：. , 焦距, .3. 橢圓的性質(zhì)：（1） 范圍：，；（2） 對(duì)稱(chēng)性：坐標(biāo)軸是對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心；（3） 頂點(diǎn)：、，為長(zhǎng)軸，為短軸.4. 橢圓的幾個(gè)結(jié)論：（1） 橢圓上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最大值為，最小值為；（2） 橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形面積，其中5. 若直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則橢圓弦 長(zhǎng).6.橢圓一般式：【例題講解與訓(xùn)練】例1.動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，并和定圓相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌 跡方程.變式訓(xùn)練11. 已知三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)是和，周長(zhǎng)是，則第三個(gè)頂點(diǎn)的軌 跡方程是_.2. ABC的三邊，且成等差數(shù)列，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則點(diǎn)B的軌跡方程是_.3. 已知?jiǎng)訄A和圓內(nèi)切，并和圓外切，求 動(dòng)圓圓心的軌跡方程.例2.已知的頂點(diǎn)在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)， 且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長(zhǎng)是_.變式訓(xùn)練21. 已知橢圓的焦點(diǎn)為和，是橢圓上一點(diǎn)，且是與 的等差中項(xiàng)，則此橢圓方程是_.2.焦點(diǎn)在軸上，滿(mǎn)足，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.3. 把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則=_.例3.若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則的取值范圍是_.變式訓(xùn)練31.若方程表示橢圓，則的取值范圍是_.2.已知橢圓與的焦距相等，則實(shí)數(shù)=_.3.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，則=_.例4.若橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)分別是直線(xiàn)與兩坐 標(biāo)軸的交點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式訓(xùn)練41. 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過(guò)點(diǎn)，則橢圓 的方程是_.2.已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別是和，過(guò)點(diǎn)P作長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.3.設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)，在軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線(xiàn)互相垂直，且此焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸較近的端點(diǎn)的距離為，求橢圓的方程.例5.已知為橢圓內(nèi)且不在軸上的一點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且直線(xiàn)與這個(gè)橢圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的中點(diǎn)恰好為點(diǎn).求證：直線(xiàn)的斜率.變式訓(xùn)練51. 已知橢圓的一條弦的斜率為，弦的中點(diǎn)為，為坐標(biāo) 原點(diǎn)，若的斜率為，則=_.2.已知直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，若的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程是_.3.已知橢圓.（1）求斜率為的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）過(guò)引橢圓的割線(xiàn)，求截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在的直線(xiàn)方程.例6.已知一動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，求的最大值.變式訓(xùn)練61. 設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，傾角為，求被橢圓所截得的弦長(zhǎng).2.已知點(diǎn)在圓上移動(dòng)，點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)，求的 最大值.3. 已知直線(xiàn)和橢圓交于點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.例7.橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值是_.變式訓(xùn)練71.橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值是 .2.點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最大距離是 .3.點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最大距離是 ，最小距離是 .例8.已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，和是焦點(diǎn)，且,則的面積為 .變式訓(xùn)練81. 已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，和是焦點(diǎn)，且,則 的面積為 .2.橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)， 點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是 .3. 以橢圓上的一點(diǎn)與橢圓的兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值是，則此橢 圓的長(zhǎng)軸的最小值是（ ）A.B.C.2D.例9.已知，,是橢圓上的任意一點(diǎn)，求的 最小值.變式訓(xùn)練91. 是的左焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，則的 最大值是 .2.在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)，過(guò)且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作 橢圓，問(wèn)：在何處時(shí)，所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求此橢圓.例10.設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求的面積的最大值.變式訓(xùn)練101. 已知傾斜角為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).求：當(dāng)面積最大時(shí)的值.2.過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的兩條直線(xiàn)分別交橢圓于和四點(diǎn).（1） 求四邊形的面積；（2）當(dāng)變化時(shí)，求的最大值.答案例1. 變式訓(xùn)練1 1.； 2.； 3.例2. 變式訓(xùn)練2 1.； 2.； 3.35例3. 變式訓(xùn)練3 1.； 2.； 3.1例4. 或變式訓(xùn)練4 1.或； 2.； 3.例5. 略變式訓(xùn)練5 1.； 2.；