文科數(shù)學(xué)第十章第一節(jié).ppt

第一節(jié) 相似三角形的判定 及其有關(guān)性質(zhì),第十章 選考部分,課 前 自 修,知識(shí)梳理,一、相似三角形的定義 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù)) 二、相似三角形的判定 1平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 2兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 3兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似,4三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似 直角三角形相似的判定： (1)如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似 (2)如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似 (3)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似,三 、相似三角形的性質(zhì) 1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比 2相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 3相似三角形面積的比等于相似比的平方 4相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方,四、有關(guān)比例的幾個(gè)重要定理 1平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理：如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其他直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等 推論1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)必平分第三邊 推論2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線(xiàn)平分另一邊 2平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理：三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例,推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例 推論的逆定理：如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊 3直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)，兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷系纳溆芭c斜邊的比例中項(xiàng),基礎(chǔ)自測(cè),1如圖，在ABC中，AEDB，DE6，AB10，AE8，則BC的長(zhǎng)為_(kāi),2如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，將BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則A_.,解析：由題意知，BCEC， 在RtACB中，E是斜邊AB的中點(diǎn)， ECEBEA， ECEBBC. ECB為正三角形，B60， A30. 答案：30,3(2011長(zhǎng)沙市模擬)如圖，在ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，AE交BC于點(diǎn)F，則 _.,答案：,4如圖，在四邊形ABCD中，EFBC，F(xiàn)GAD，則 _.,答案：1,考 點(diǎn) 探 究,考點(diǎn)一,平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的運(yùn)用,【例1】 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，EF經(jīng)過(guò)梯形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O，且EFAD.,(1)求證：OEOF； (2)求 的值； (3)求證：,思路點(diǎn)撥：根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，借助中間比例式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可得出結(jié)果,點(diǎn)評(píng)：(1)利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理來(lái)計(jì)算或證明，首先要觀察平行線(xiàn)組，再確定所截直線(xiàn)，進(jìn)而確定比例線(xiàn)段及比例式，同時(shí)注意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運(yùn)用 (2)有時(shí)圖形中沒(méi)有平行線(xiàn)，要添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造相關(guān)圖形，創(chuàng)造可以形成比例式的條件，達(dá)到證明的目的,變式探究,1如圖所示，已知ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC于點(diǎn)F，則 _.,解析：過(guò)點(diǎn)D作DGBF交AC于點(diǎn)G.點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，DG是CBF的中位線(xiàn)FGCG.同理可證AFFG.AF AC. 答案：,考點(diǎn)二,三角形內(nèi)(外)角平分線(xiàn)的性質(zhì),【例2】 證明：三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)分對(duì)邊成兩段的長(zhǎng)度比等于夾角兩邊長(zhǎng)度的比,思路點(diǎn)撥：原題可化為：已知，如圖，AD是ABC的角平分線(xiàn)，求證： 要證比例式，可以考慮利用平行線(xiàn)，于是可以過(guò)點(diǎn)C作CEDA，與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，這樣就能用平行線(xiàn)截割定理,證明：過(guò)點(diǎn)C作CEDA，與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E. CEDA， AECBAD，DACACE. 又 AD是BAC的角平分線(xiàn)， BADDAC， ACEAEC.ACAE. 由平行線(xiàn)截割定理知： ， ,點(diǎn)評(píng)：在幾何證明中，如果題目給的條件較為分散，可以通過(guò)添加輔助線(xiàn)，使分散的條件適當(dāng)集中如果能熟練掌握幾個(gè)基本圖形，把所要證明的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，可使證明思路更明確，更快捷,變式探究,2.如圖所示，在ABC中，AD是BAC的外角的平分線(xiàn)求證：ABACBDDC.,證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DECA，與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E.,DECA，DACADE. 又 AD是BAC的外角平分線(xiàn)， EADDAC. ADEEAD.DEAE.,考點(diǎn)三,相似三角形的判定和性質(zhì),【例3】 如圖，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M. (1)求證：EDMFBM； (2)若DB9，求BM.,(1)證明：點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB2BE. 又AB2CD，CDEB. 又ABCD，四邊形CBED是平行四邊形,解析：EDMFBM， 點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，DE2FB，DM2BM. BM DB3. 點(diǎn)評(píng)：(1)判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇判定定理，特別要注意對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊 (2)相似三角形的性質(zhì)可用來(lái)證明線(xiàn)段成比例、角相等；可間接證明線(xiàn)段相等,變式探究,3如圖所示，在ABCD中，BC24，E，F(xiàn)為BD的三等分點(diǎn)，則BM_，DN_.,考點(diǎn)四,直角三角形射影定理的應(yīng)用,【例4】 如圖，已知在ABC中，CDAB于D，BC2BDAB，AC3，BC4，則 _.,思路點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件，先判斷出ABC為直角三角形，然后再用射影定理求出比值,解析：BC2BDAB，即 ，且B是公共角， BCDABC. CDAB，即BDC90，則C90， ABC為直角三角形 由射影定理知：AC2ADAB，BC2BDAB， 兩式相除得，,變式探究,4在RtABC中，CAB90，ADBC于D，AB:AC3:2，則CD:BD_.,解析：在RtABC中，CAB90，ADBC于D，由射影定理得AB2BDBC， AC2CDBC， 即CD:BD4:9. 答案：4:9 點(diǎn)評(píng)：利用直角三角形的射影定理解決問(wèn)題首先要確定直角邊與其射影，再就是要善于將有關(guān)比例式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化，有時(shí)還要將等積式轉(zhuǎn)化為比例式或?qū)⒈壤睫D(zhuǎn)化為等積式，并且注意射影定理的其他變式,1解平面幾何問(wèn)題，重要的一點(diǎn)就是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，故作輔助線(xiàn)的主要方法就是做平行線(xiàn)，若為中點(diǎn)，則取中點(diǎn)連線(xiàn)利用中位線(xiàn)定理；若為比例點(diǎn)，則取等比的分點(diǎn)構(gòu)造平行關(guān)系，截取等長(zhǎng)度構(gòu)造全等關(guān)系,感 悟 高 考,品味高考,1(2011廣東卷)如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)，且EF3，EFAB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為_(kāi),所以梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為75. 答案：75,2(2011陜西卷)如圖，BD，AEBC，ACD