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第四節(jié) 可用變量代換法求解的一階微分方程,一、齊次方程,二、可化為齊次型的方程,三、伯努利方程,一、齊次方程,的微分方程稱(chēng)為齊次方程.,2.解法,令,代入原方程,得,可分離變量的方程,1.定義,兩邊積分, 得,積分后再用 代替 u,便得原方程的通解.,分離變量，,例1 求解微分方程,解,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,得,故原方程的通解為,說(shuō)明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解過(guò)程中丟失了.,例 2 求解微分方程,微分方程的解為,解,解,代入原式,分離變量法解得,所求通解為,另解,利用變量代換求微分方程的解,解,分離變量法得,所求通解為,伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,方程為線(xiàn)性微分方程.,方程為非線(xiàn)性微分方程.,三、伯努利方程,解法: 需經(jīng)過(guò)變量代換化為線(xiàn)性微分方程.,求出通解后，將 代入即得,代入上式,解,例1,五、小結(jié),1、齊次方程,齊次方程的解法,2、可化為齊次方程的方程,3、伯努利方程,伯努利方程的解法,六、幾點(diǎn)說(shuō)明:,1、一階微分方程的類(lèi)型較多 , 不同類(lèi)型有不同的解法 , 因此首先要識(shí)別方程的類(lèi)型 , 然后應(yīng)用相應(yīng)的解法 .,2、有時(shí)所給的方程并非標(biāo)準(zhǔn)型 , 應(yīng)把方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式再求解 .,思考題,方程,是否為齊次方程?,解,方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo):,原方程是齊次方程.,解,例1.,令,則方程變形為,其通解為,將

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