浙江專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二章不等式2.2一元二次不等式及其解法講義含解析.docx

2.2一元二次不等式及其解法最新考綱考情考向分析1.了解一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系2.會(huì)解一元二次不等式.以理解一元二次不等式的解法為主，常與集合的運(yùn)算相結(jié)合考查一元二次不等式的解法，有時(shí)也在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中用到，加強(qiáng)函數(shù)與方程思想，分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)在高考中常以選擇題的形式考查，屬于低檔題，若在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中考查，難度較高.一元二次不等式的解集判別式b24ac000)的圖象方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xRax2bxc0)的解集x|x1 x0(a0)的解集與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)yax2bxc的圖象有什么關(guān)系？提示ax2bxc0(a0)的解集就是其對(duì)應(yīng)函數(shù)yax2bxc的圖象在x軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍2一元二次不等式ax2bxc0(0恒成立的條件是ax2bxc0恒成立的條件是題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bxc0的兩個(gè)根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.()(5)若二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向下，則不等式ax2bxc0，則RA等于()Ax|2x3Bx|2x3Cx|x3Dx|x2x|x3答案B解析x2x60，(x2)(x3)0，x3或x3或x0，令3x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集為.題組三易錯(cuò)自糾4不等式x23x40的解集為_(用區(qū)間表示)答案(4,1)解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x0的解集是，則ab_.答案14解析由題意可知，x1，x2是方程ax2bx20的兩個(gè)根，解得ab14.6不等式(a2)x22(a2)x40，對(duì)一切xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，2 B(2,2C(2,2) D(，2)答案B解析由解得2a2，另a2時(shí)，原式化為40，不等式恒成立，2a2.故選B.題型一一元二次不等式的求解命題點(diǎn)1不含參的不等式例1已知集合Ax|x2x20，By|y2x，則AB等于()A(1,2) B(2,1)C(0,1) D(0,2)答案D解析由題意得Ax|x2x20x|1x0，ABx|0x2(0,2)故選D.命題點(diǎn)2含參不等式例2解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10)解原不等式變?yōu)?ax1)(x1)0，所以(x1)1時(shí)，解為x1；當(dāng)a1時(shí)，解集為；當(dāng)0a1時(shí)，解為1x.綜上，當(dāng)0a1時(shí)，不等式的解集為.思維升華對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論：根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類根據(jù)判別式判斷根的個(gè)數(shù)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論跟蹤訓(xùn)練1解不等式12x2axa2(aR)解原不等式可化為12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為(，0)(0，)；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為.題型二一元二次不等式恒成立問題命題點(diǎn)1在R上的恒成立問題例3已知函數(shù)f(x)mx2mx1.若對(duì)于xR，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解當(dāng)m0時(shí)，f(x)10恒成立當(dāng)m0時(shí)，則即4m0.綜上，4m0，故m的取值范圍是(4,0命題點(diǎn)2在給定區(qū)間上的恒成立問題例4已知函數(shù)f(x)mx2mx1.若對(duì)于x1,3，f(x)5m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；當(dāng)m0時(shí)，60恒成立；當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0，又因?yàn)閙(x2x1)60，所以m.因?yàn)楹瘮?shù)y在1,3上的最小值為，所以只需m即可所以m的取值范圍是.引申探究1若將“f(x)5m恒成立”改為“f(x)5m無解”，如何求m的取值范圍？解若f(x)5m無解，即f(x)5m恒成立，即m恒成立，則mmax，又x1,3，得m6，即m的取值范圍為6，)2若將“f(x)5m恒成立”改為“存在x，使f(x)5m成立”，如何求m的取值范圍解由題意知f(x)5m有解，即m有解，則mmax，又x1,3，得m6，即m的取值范圍為(，6)命題點(diǎn)3給定參數(shù)范圍的恒成立問題例5若mx2mx10對(duì)于m1,2恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍解設(shè)g(m)mx2mx1(x2x)m1，其圖象是直線，當(dāng)m1,2時(shí)，圖象為一條線段，則即解得x，故x的取值范圍為.思維升華解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)f(x)x2ax3.(1)當(dāng)xR時(shí)，f(x)a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)x2,2時(shí)，f(x)a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)a4,6時(shí)，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍解(1)當(dāng)xR時(shí)，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，實(shí)數(shù)a的取值范圍是6,2(2)當(dāng)x2,2時(shí)，設(shè)g(x)x2ax3a0，分如下三種情況討論(如圖所示)：如圖，當(dāng)g(x)的圖象與x軸不超過1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有a24(3a)0，即6a2.如圖，g(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，但當(dāng)x2，)時(shí)，g(x)0，即即可得解得a.如圖，g(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，但當(dāng)x(，2時(shí)，g(x)0.即即可得7a6，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是7,2(3)令h(a)xax23.當(dāng)a4,6時(shí)，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.實(shí)數(shù)x的取值范圍是(，33，)1已知集合Ax|x0，Bx|(x1)(x5)0，則AB等于()A1,4) B0,5)C1,4D4，1) 4,5)答案B解析由題意得Bx|1x5，故ABx|x0x|1x0的解集為x|1x0的解集為()A.B.Cx|2x1Dx|x1答案A解析不等式ax2bx20的解集為x|1x2，ax2bx20的兩根為1,2，且a0，解得，故選A.3若一元二次不等式2kx2kx0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A(3,0) B3,0 C3,0) D(3,0答案A解析由題意可得解得3k0.4若存在實(shí)數(shù)x2,4，使x22x5mx22x5，設(shè)f(x)x22x5(x1)24，x2,4，當(dāng)x2時(shí)，f(x)min5，存在x2,4使x22x5mf(x)min，m5.故選B.5若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是()A4,1 B4,3C1,3 D1,3答案B解析原不等式為(xa)(x1)0，當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為a,1，此時(shí)只要a4即可，即4a1時(shí)，不等式的解集為1，a，此時(shí)只要a3即可，即1a3，綜上可得4a3.6(2018浙江寧波十校適應(yīng)性測(cè)試)當(dāng)x(a，b時(shí)，不等式1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A2,3) B(2,3C(2,3) D2答案A解析由1，得10，解得2320，即x228x1920，解得12x16，所以每件售價(jià)應(yīng)定為12元到16元之間9若不等式x2ax40對(duì)一切x(0,1恒成立，則a的取值范圍為_答案5，)解析由題意，分離參數(shù)后得，a.設(shè)f(x)，x(0,1，則只要af(x)max即可由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)maxf(1)5，故a5.10設(shè)aR，若x1,2時(shí)，均有(xa)(x22a)0，即當(dāng)x1,2時(shí)，均有x2.當(dāng)a0，即當(dāng)x1,2時(shí)，均有x22a0，則(x22a)max0，即42a0，得a2或a0；(2)若不等式f(x)b的解集為(1,3)，求實(shí)數(shù)a，b的值解(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.原不等式的解集為a|32ab的解集為(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的兩根為1,3，解得12(2018浙江紹興一中模擬)已知f(x)x22ax3a2.(1)設(shè)a1，解不等式f(x)0；(2)若不等式f(x)，且當(dāng)x1,4a時(shí)，|f(x)|4a恒成立，試確定a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)0，即x22x30，解得x3或x0的解集為(，1)(3，)(2)f(x)xx2(2a1)x3a2，令g(x)x2(2a1)x3a2，若a0，則f(x)x的解集為(0,1)，不滿足條件；若a0，由g(0)3a20知x0是不等式f(x)x的一個(gè)整數(shù)解，所以由得a0.綜上，a的取值范圍為.(3)若1，因?yàn)閨f(a)|4a2，|f(4a)|5a2，所以由得此不等式的解集為.綜上，a的取值范圍是.13若不等式a28b2b(ab)對(duì)于任意的a，bR恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_答案8,4解析因?yàn)閍28b2b(ab)對(duì)于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0對(duì)于任意的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由一元二次不等式的性質(zhì)可知，2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.14已知b，cR，若關(guān)于x的不等式0x2bxc4的解集為x1，x2x3，x4(x2x3)，則(2x4x3)(2x1x2)的最小值是_答案4解析如圖，據(jù)題意可知x1，x4是方程x2bxc4的兩根，x2，x3是方程x2bxc0的兩根由根與系數(shù)的關(guān)系可得(2x4x3)(2x1x2)2(x4x1)(x3x2)22，令b24ct，則有(2x4x3)(2x1x2)f(t)2，令f(t)0，解得t，當(dāng)0t時(shí)，f(t)時(shí)，f(t)0，f(t)單調(diào)遞增據(jù)題意可知f(t)minf4.15(2019杭州高級(jí)中學(xué)仿真測(cè)試)若關(guān)于x的不等式(x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，則2ab的最小值為_答案0解析要使2ab取得最小值，盡量考慮a，b取負(fù)值的情況，因此當(dāng)a0，與b0矛盾；當(dāng)a0b時(shí)，不等式(x2a)(2xb)0等價(jià)于2xb0，即b2x在(a，b)上恒成立，則b2a，即2ab0，此時(shí)2ab的最小值為0；當(dāng)0a0.綜上可知，2ab的最小值為