2018_2019學年高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.1導數(shù)的概念1.1.2瞬時變化率__導數(shù)講義含解析蘇教版.docx

11.2瞬時變化率導數(shù)曲線上一點處的切線如圖Pn的坐標為(xn，f(xn)(n1,2,3,4)，P的坐標為(x0，y0)問題1：當點Pn點P時，試想割線PPn如何變化？提示：當點Pn趨近于點P時，割線PPn趨近于確定的位置問題2：割線PPn斜率是什么？提示：割線PPn的斜率是kn.問題3：割線PPn的斜率與過點P的切線PT的斜率k有什么關(guān)系呢？提示：當點Pn無限趨近于點P時，kn無限趨近于切線PT的斜率 問題4：能否求得過點P的切線PT的斜率？提示：能1割線設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點，這時，直線PQ稱為曲線的割線2切線隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近越來越逼近曲線C.當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為在點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點P處的切線.瞬時速度與瞬時加速度一質(zhì)點的運動方程為S83t2，其中S表示位移，t表示時間問題1：該質(zhì)點在1,1t這段時間內(nèi)的平均速度是多少？提示：該質(zhì)點在1,1t這段時間內(nèi)的平均速度為63t.問題2：t的變化對所求平均速度有何影響？提示：t越小，平均速度越接近常數(shù)6.1平均速度運動物體的位移與所用時間的比稱為平均速度2瞬時速度一般地，如果當t無限趨近于0時，運動物體位移S(t)的平均變化率無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)稱為物體在tt0時的瞬時速度，也就是位移對于時間的瞬時變化率3瞬時加速度一般地，如果當t無限趨近于0時，運動物體速度v(t)的平均變化率無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)稱為物體在tt0時的瞬時加速度，也就是速度對于時間的瞬時變化率導數(shù)1導數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0(a，b)，若x無限趨近于0時，比值無限趨近于一個常數(shù)A，則稱f(x)在xx0處可導，并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在xx0處的導數(shù)，記作f(x0)2導數(shù)的幾何意義導數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率3導函數(shù)(1)若f(x)對于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點都可導，則f(x)在各點的導數(shù)也隨自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x)的導函數(shù)，記作f(x)，在不引起混淆時，導函數(shù)f(x)也簡稱f(x)的導數(shù)(2)f(x)在xx0處的導數(shù)f(x0)就是導函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值1利用導數(shù)的幾何意義，可求曲線上在某點處的切線的斜率，然后由點斜式寫出直線方程2函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)就是導函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值，所以求函數(shù)在一點處的導數(shù)，一般先求出函數(shù)的導函數(shù)，再計算這點的導函數(shù)值求曲線上某一點處的切線例1已知曲線yx上的一點A，用切線斜率定義求：(1)點A處的切線的斜率；(2)點A處的切線方程思路點撥先計算，再求其在x趨近于0時無限逼近的值精解詳析(1)yf(2x)f(2)2xx，1.當x無限趨近于零時，無限趨近于，即點A處的切線的斜率是.(2)切線方程為y(x2)，即3x4y40.一點通根據(jù)曲線上一點處的切線的定義，要求曲線過某點的切線方程，只需求出切線的斜率，即在該點處，x無限趨近于0時，無限趨近的常數(shù)1曲線yx22在點P處的切線的斜率為_解析：設(shè)P，Q，則割線PQ的斜率為kPQx1.當x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于1，所以曲線yx22在點P處的切線的斜率為1.答案：12已知曲線y2x24x在點P處的切線的斜率為16，則P點坐標為_解析：設(shè)P點坐標為(x0，y0)，則4x042x.當x無限趨近于0時，4x042x無限趨近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243181230.即P點坐標為(3,30)答案：(3,30)3已知曲線y3x2x，求曲線上一點A(1,2)處的切線的斜率及切線方程解：設(shè)A(1,2)，B(1x,3(1x)2(1x)，則kAB53x，當x無限趨近于0時，53x無限趨近于5，所以曲線y3x2x在點A(1,2)處的切線斜率是5.切線方程為y25(x1)，即5xy30.瞬時速度例2一質(zhì)點按規(guī)律S(t)at21做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若該質(zhì)點在t2 s時的瞬時速度為8 m/s，求常數(shù)a的值思路點撥先求出質(zhì)點在t2s時的平均速度，再根據(jù)瞬時速度的概念列方程求解精解詳析因為SS(2t)S(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以4aat.當t無限趨近于0時，無限趨近于4a.所以t2 s時的瞬時速度為4a m/s.故4a8，即a2.一點通要計算物體的瞬時速度，只要給時間一個改變量t，求出相應的位移的改變量S，再求出平均速度，最后計算當t無限趨近于0時，無限趨近常數(shù)，就是該物體在該時刻的瞬時速度4一做直線運動的物體，其位移S與時間t的關(guān)系是S3tt2，則此物體在t2時的瞬時速度為_解析：由于S3(2t)(2t)2(3222)3t4t(t)2t(t)2，所以1t.當t無限趨近于0時，無限趨近于常數(shù)1.故物體在t2時的瞬時速度為1.答案：15如果一個物體的運動方程S(t)試求該物體在t1和t4時的瞬時速度解：當t1時，S(t)t22，則2t，當t無限趨近于0時，2t無限趨近于2，所以v(1)2；t43，)，S(t)293(t3)23t218t56，3t6，當t無限趨近于0時，3t66，即6，所以v(4)6.導數(shù)及其應用例3已知f(x)x23.(1)求f(x)在x2處的導數(shù)；(2)求f(x)在xa處的導數(shù)思路點撥根據(jù)導數(shù)的定義進行求解深刻理解概念是正確解題的關(guān)鍵精解詳析(1)因為4x，當x無限趨近于0時，4x無限趨近于4，所以f(x)在x2處的導數(shù)等于4.(2)因為2ax，當x無限趨近于0時，2ax無限趨近于2a，所以f(x)在xa處的導數(shù)等于2a.一點通由導數(shù)的定義知，求一個函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)的步驟如下：(1)求函數(shù)值的改變量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)令x無限趨近于0，求得導數(shù)6函數(shù)yx在x1處的導數(shù)是_解析：函數(shù)yf(x)x，yf(1x)f(1)1x11，當x0時，0，即yx在x1處的導數(shù)為0.答案：07設(shè)f(x)ax4，若f(1)2，則a_.解析：a，f(1)a，即a2.答案：28將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第x h時，原油的溫度(單位：)為f(x)x27x15(0x8)求函數(shù)yf(x)在x6處的導數(shù)f(6)，并解釋它的實際意義解：當x從6變到6x時，函數(shù)值從f(6)變到f(6x)，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為：5x.當x6時，即x0，平均變化率趨近于5，所以f(6)5，導數(shù)f(6)5表示當x6 h時原油溫度的瞬時變化率即原油溫度的瞬時變化速度也就是說，如果保持6 h時溫度的變化速度，每經(jīng)過1 h時間，原油溫度將升高5.1利用導數(shù)的幾何意義求過某點的切線方程(1)若已知點(x0，y0)在已知曲線上，則先求出函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)，然后根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程yy0f(x0)(xx0)(2)若題中所給的點(x0，y0)不在曲線上，首先應設(shè)出切點坐標，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程2f(x0)與f(x)的異同區(qū)別聯(lián)系f(x0)f(x0)是具體的值，是數(shù)值在xx0處的導數(shù)f(x0)是導函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點處的導數(shù)，一般先求導函數(shù)，再計算導函數(shù)在這點的函數(shù)值f(x)f(x)是f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù)對應課時跟蹤訓練(二)一、填空題1一質(zhì)點運動的方程為S53t2，若該質(zhì)點在時間段1,1t內(nèi)相應的平均速度為3t6，則該質(zhì)點在t1時的瞬時速度為_解析：當t無限趨近于0時，3t6無限趨近于常數(shù)6，該質(zhì)點在t1時的瞬時速度為6.答案：62函數(shù)f(x)13x在x2處的導數(shù)為_解析：yf(2x)f(2)3x，3，則x趨于0時，3.故f(x)在x2處的導數(shù)為3.答案：33已知函數(shù)yf(x)的圖象在點M(1，f(1)處的切線方程是yx2，則f(1)f(1)_.解析：由題意知f(1)，f(1)2，所以f(1)f(1)3.答案：34曲線f(x)x22在點處的切線的傾斜角為_解析：x1.當x無限趨近于0時，無限趨近于常數(shù)1，即切線的斜率為1.切線的傾斜角為.答案：5已知曲線y2ax21過點P(，3)，則該曲線在P點處的切線方程為_解析：y2ax21過點P(，3)，32a21，即a21.又a0，a1，即y2x21.P(1,3)又42x.當x無限趨近于0時，無限趨近于常數(shù)4，f(1)4，即切線的斜率為4.由點斜式可得切線方程為y34(x1)，即4xy10.答案：4xy10二、 解答題6已知質(zhì)點運動方程是S(t)gt22t1(g是重力加速度，常量)，求質(zhì)點在t4 s時的瞬時速度(其中s的單位是m，t的單位是s)解：gt4g2.當t0時，4g2，S(4)4g2，即v(4)4g2，所以，質(zhì)點在t4 s時的瞬時速度為(4g2) m/s.7求過點P(1,2)且與曲線y3x24x2在點M(1,1)處的切線平行的直線方程解：23x，當x0時，23x2，f(1)2，所以直線的斜率為2，所以直線方程為y22(x