小學生數(shù)學解題中的思維訓練南京市鼓樓區(qū)教師進修學校葛.ppt

小學生數(shù)學解題中的思維訓練 南京市鼓樓區(qū)教師進修學校 葛文君,四、結(jié)合例題講解數(shù)學思想方法的運用 （數(shù)學思維訓練） 易錯的典型題例及分析,【例題一】 有兩根同樣長的鋼管，第一根用去3/10米，第二根用去3/10，兩根相比（ ）。 第一根用去的多 第二根用去的多 無法比較,（一）類比法：,1、解決“分率與分數(shù)易混淆”的問題：,分析與解：這道題無法直接比較，它需要討論： 當長度為1米時，兩根用去的長度相等； 當長度大于1米時，第二根的3/10 3/10米； 當長度小于1米時，第二根的 3/103/10 米， 因此選擇無法比較,【例題二】 一根鋼管兩次用完，第一次用去3/10米，第二次用去全長的3/10，兩次相比（ ） 第一次用去的多 第二次用去的多 無法比較,分析與解： 因為第二次用去全長的3/10，那么第一次用去了全長的（1-3/10）=7/10，大于全長的3/10， 因此選擇,2、解決單位“1”發(fā)生變化時容易混淆的問題：,【例題三】 一種商品先提價1/10，再降價1/10?，F(xiàn)價與原價相比（ ） 與原價相等 比原價高 比原價低,分析與解： 一般學生會認為是與原價相等，實際兩次單位“1”不同，所以提的價不等于降的價?？梢约僭O(shè)原價為100元，提價1/10后為:100（1+1/10 ）=110元，而降低了1/10是110元的1/10，現(xiàn)價是：110(1-1/10)=99(元），因此選擇比原價低。 且永遠現(xiàn)價是原價的: （1+1/10 ）（1- 1/10）= 11/10 9/10 = 99/100,【例題四】 一種商品先降價1/10，再提價1/10。現(xiàn)價與原價相比（ ） 與原價相等 比原價高 比原價低,分析與解： 可以假設(shè)原價為100元，降低100元的1/10后為90元，提價了90元的1/10（901/10=9元）后是99元，因此還是選擇比原價低。 且永遠現(xiàn)價是原價的: （1- 1/10）（1+ 1/10）= 9/10 11/10 = 99/100 ）,（二）假設(shè)法：,3、等式中的假設(shè),【例題五】 甲數(shù)的2/5與乙數(shù)的1/2相等，則甲數(shù)與乙數(shù)的最簡比是（ ）,分析與解： 把相等的量設(shè)為單位“1” 甲數(shù)為：12/5=5/2；乙數(shù)為：11/2 = 2 甲數(shù)乙數(shù) = 5/22 = 54,【例題六】 雞的只數(shù)是鴨的1/2，鵝的只數(shù)是雞的1/3，鵝的只數(shù)與鴨的只數(shù)的比（ ）。,分析與解：這道題把誰為標準量: (1)以鴨為標準量“1”，雞就是1/2，鵝就是1/21/3= 1/6； 鵝鴨 = 1/6 1 = 16 (2)以雞為標準量“1“，鵝就是1/3，鴨就是11/2= 2， 鵝鴨 = 1/32 = 16 (3)可以假設(shè)雞為3份，那鵝就是1份，鴨為6份， 鵝鴨 = 16,【例題七】 在2008年春季的一個月中，統(tǒng)計的晴、雨、陰天的狀況為：雨天比晴天少1/3, 陰天比晴天少3/5 , 這個月晴天有多少天?,分析與解： 因為，雨天與晴天的比為23，陰天與晴天的比為 25；如果把晴天設(shè)為3和5的最小公倍數(shù)15，那么，雨天為10天，陰天6天，晴天15天，合計31天，符合生活實際； 用通比也能得出結(jié)論： 雨天晴天陰天 2 3 5 2 10 15 6 合計：10+15+6=31（天）,【例題八】 把右圖做成一個圓錐（接頭處不計），再將這個圓錐沿高從頂點往下直切成兩等份，切面是（ ）。 A、直角三角形 B、正三角形 C、鈍角等腰三角形 D無法確定,分析與解： 假設(shè)扇形的弧長為3.14厘米，則其半徑（圓錐的母線L）為1厘米，因為扇形的弧長為3.14厘米，所以底部圓的周長也是3.14厘米，推導出底部圓的直徑：3.143.14=1厘米 因此切面為等邊（正）三角形。,（三）替換法：,4、圖形中的條件轉(zhuǎn)換,【例題九】 已知下圖中陰影部分三角形面積為5平方米，求圓的面積。,分析與解： rr = 5(平方米)；3.145 = 15.7(平方米) 這里運用到一個“常數(shù)”的知識，圓與內(nèi)切 正方形面積的比是157/100，因此用52 100/157 =15.7 (平方米),【例題十】 一張小圓桌的周長是3.14米,把四邊撐開的部分折疊起來就成了一張方桌,求方桌的桌面是多少平方米?,分析與解： 圓的直徑：3.143.14=1（米） 10.522 = 0.5（平方米） 這里也可以運用圓與內(nèi)切正方形的面積比是157/100這一知識點進行解答， 2 圓面積=3.14（3.143.142）100/157=0.5（平方米）,【例題十一】 如圖兩個正方形之間陰影部分的面積是20平方厘米，求圓環(huán)的面積。,分析與解： 設(shè)內(nèi)圓半徑為r,外圓半徑為R，從圖上可以看出： R的平方- r的平方=20（平方厘米） 圓環(huán)的面積=3.14（ R的平方- r的平方） =3.1420=62.8（平方厘米）,【例題十二】 26名同學一起去春游,每人只買一瓶飲料,如果3個空瓶可以換回1瓶飲料,他們最多可以喝到幾瓶飲料？,分析與解： 學生會用圖示法進行分析，得出最多可以喝到38瓶飲料還剩下2個空瓶，缺乏借一個空瓶再置換一瓶汽水后喝完還回空瓶的策略。 此題還可以轉(zhuǎn)化為每2個空瓶就能有一瓶飲料的思路， 因此用26+262=39瓶， 成為運用簡單置換策略解決問題的典型題例。,（四）假設(shè)與圖解：,【例題十三】 有三堆棋子，每堆棋子一樣多，并且都只有黑、白兩種顏色。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的2/5。把三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的幾分之幾？,分析與解：假設(shè)黑子有5顆，則第三堆黑子有2顆，第一、二堆黑子共有3顆，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，所以每堆有3顆棋子，畫圖如下： 第一堆 第二堆 第三堆, ,49=4/9,（五）還原法：,【例題十四】 甲、乙、丙三個水桶中各裝有一些水，共72升。先將甲桶中1/3的水倒入乙桶，再將乙桶中現(xiàn)有水的1/5倒入丙桶，最后將丙桶中現(xiàn)有水的1/7倒回甲桶，這時三個水桶中的水同樣多。三個水桶原來各有水多少升？,分析與解：首先根據(jù)“這時三個水桶中的水同樣多”，得出每個水桶中的水為723=24升，再列表如下：,（六）抓住不變量：,【例題十五】 有含水量為90%的鹽水500克，加熱后變成了含水量為75%的鹽水。蒸發(fā)了多少克的水？,分析與解：這道題鹽的質(zhì)量不變。 先求出鹽的質(zhì)量：500（190%）=50（克） 再求出加熱后鹽水的質(zhì)量：50（175%）=200（克） 最后求出蒸發(fā)了的水的質(zhì)量：500200=300（克）,基本數(shù)量關(guān)系：鹽+水=鹽水 鹽水含鹽率=鹽；鹽水含水率=水,【例題十六】 配制20%的糖水1000克，需要用濃度為18%和23%的糖水各多少克？,分析與解： 這道題糖的質(zhì)量是不變量： 100020%=200(克) 設(shè)18%的糖水為x克，則23%糖水為（1000-x）克 18%x + 23%（1000-x）=200 0.18x+230-0.23x=200 0.05x=30 X=600(18%的糖水) 1000-600=400（23%的糖水）,【例題十七】 甲容器中有8%的鹽水300克，乙容器中有12.5%的鹽水120克。往甲、乙兩個容器中倒入等量的水，使兩個容器中鹽水的濃度一樣，求每個容器應(yīng)倒入水多少克？,分析與解：這道題抓住鹽的質(zhì)量不變。 3008%=24（克） 12012.5%=15（克） 24 15 = 300+x 120+x 15(300+x)=24(120+x) 4500+15x=2880+24x 24x-15x=4500-2880 9x=1620 X=180（克）,1 1 1 1 【例題十八】 計算 2 4 8 16,分析與解： 這道題學生只會想到“可以先通分轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)后再相加”； 或?qū)ⅰ胺謹?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)求和”進行計算； 其實，化小數(shù)計算反而麻煩。如果給這題再添上一個加數(shù)，加一個1/32 ，再加1/64呢？如果這樣加下去，一直加到1/1024呢？通分算還簡便嗎？ 1 1 1 1 1 1 1 + + + 2 4 8 16 32 64 132,這里教師把加數(shù)增多，讓學生在無法用通分來解決此題的過程中生成策略上的內(nèi)需，然后出示下圖： 在直觀圖形的啟發(fā)下，獨立探索轉(zhuǎn)化的方法通過數(shù)形結(jié)合解釋圖意，圖中的正方形表示1，1/2+1/4+1/8+1/16的和，就是正方形里涂色部分的大小。重點突出了算式轉(zhuǎn)化是根據(jù)“涂色部分的大小等于1減空白部分的差”進行的。讓學生充分體會把原題這樣轉(zhuǎn)化，使計算簡便了。,八、概率問題：,【例題十九】 箱內(nèi)不規(guī)則地散放著式樣、尺碼相同的黑球鞋和白球鞋各4雙，未加分辨地從中隨即取出2只，恰好得到同色且左右配好對的一雙鞋的概率是多少？,分析與解： 8雙鞋共16只，先任意取一只，再取下一只的時候有15種不同的取法。任取的這只鞋子肯定有顏色（黑或白），與它同色且左右配對的有4只，取這4只中的任意一只都符合題意，所以是4/15。,【例題二十】 李醫(yī)生定期去甲、乙、丙三位病人家巡診。按計劃他每三天（中間空2天）去甲家一次，每4天去乙家一次，每6天去丙家一次。4月30日那天，連續(xù)去了甲、乙、丙三家，那么從5月1日到12月31日，李醫(yī)生應(yīng)該去巡診的天數(shù)是多少？,九、周期（推理）：,分析與解： 這也是一個周期問題，從李醫(yī)生4月30日連續(xù)去了3家巡診的時間是一個周期。我們可以通過列表觀察李醫(yī)生在甲、乙、丙三家巡診的天數(shù)，從中找出相應(yīng)的規(guī)律。 本題可列表如下，從4月30日開始：,解題秘訣：每12 天為一個周期。其中巡診6天。 解答：從5月1日到12月31日共有的天數(shù)為：315+303=245（天） 李醫(yī)生巡診的周期數(shù)為：24512=205 剩下5天他巡診2天，李醫(yī)生總共巡診的天數(shù)為：620