函數的單調性與導數高2013級(2).ppt

,1.3.1函數的單調性與導數,（4）.對數函數的導數:,（5）.指數函數的導數:,（3）.三角函數 ：,（1）.常函數：(C)/ 0, (c為常數)；,（2）.冪函數 ： (xn)/ nxn1,復習：基本初等函數的導數公式,單調性的定義,對于函數yf(x)在某個區(qū)間上單調遞增或單調遞減的性質，叫做f(x)在這個區(qū)間上的單調性，這個區(qū)間叫做f(x)的單調區(qū)間。,知識回顧,一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數,知識回顧,判斷函數單調性有哪些方法？,比如：判斷函數 的單調性。,圖象法,減,增,如圖：,思考：那么如何求出下列函數的單調性呢?,(1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x,發(fā)現問題：用單調性定義討論函數單調性雖然 可行，但十分麻煩，尤其是在不知道函數圖象 時。例如：2x3-6x2+7，是否有更為簡捷的方法 呢？下面我們通過函數的y=x24x3圖象來 考察單調性與導數有什么關系,2,.,.,.,.,.,.,.,再觀察函數y=x24x3的圖象：,總結: 該函數在區(qū)間（，2）上單減,切線斜率小于0,即其導數為負;,而當x=2時其切線斜率為0,即導數為0. 函數在該點單調性發(fā)生改變.,在區(qū)間（2，+）上單增,切線斜率大于0,即其導數為正.,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y = x,y = x2,y = x3,觀察下面一些函數的圖象, 探討函數的單調性與其導函數正負的關系.,結論：在某個區(qū)間(a,b)內,如果 ,那么函數 在這個區(qū)間內單調遞增; 如果 ,那么函數 在這個區(qū)間內單調遞減.,如果在某個區(qū)間內恒有f(x)=0,則f(x)為常數函數,函數單調性與導數正負的關系,注意：應正確理解 “ 某個區(qū)間 ” 的含義,它必是定義域內的某個區(qū)間。,課本思考,思考1：如果在某個區(qū)間內恒有 ，那么函數 有什么特性？,幾何意義：,關系：,思考2：結合函數單調性的定義，思考某個區(qū)間上函數 的平均變化率的幾何意義與導數正負的關系。,例1、已知導函數 的下列信息：,當10; 當x4,或x1時， 0; 當x=4,或x=1時， =0.則函數f(x)圖象的大致形狀是( ）。,A,B,C,D,D,導函數f(x)的-與原函數f(x)的增減性有關,正負,1應用導數求函數的單調區(qū)間,(選填:“增” ,“減” ,“既不是增函數,也不是減函數”) (1) 函數y=x3在3，5上為_函數。 (2) 函數 y = x23x 在2，+)上為_函數， 在(,1上為_函數。,基礎訓練：,應用舉例,增,增,減,求函數 的單調區(qū)間。,變1：求函數 的單調區(qū)間。,理解訓練：,解：,的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為,變3：求函數 的單調區(qū)間。,解:,解:,注意:單調區(qū)間不可以并起來.,例3、判斷下列函數的單調性，并求出 單調區(qū)間：,(1) f(x)=x3+3x ;,解： =3x2+3=3(x2+1)0,從而函數f(x)=x3+3x 在xR上單調遞增， 見右圖。,(2) f(x)=x2-2x-3 ;,解： =2x-2=2(x-1),圖象見右圖。,當 0，即x1時，函數單調遞增；,當 0，即x1時， 函數單調遞減；,(3) f(x)=sinx-x ; x(0,p),解： =cosx-10,從而函數f(x)=sinx-x 在x(0,)單調遞減， 見右圖。,(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;,解： =6x2+6x-24=6(x2+x-4),當 0， 即 時， 函數單調遞增；,圖象見右圖。,當 0， 即 時， 函數單調遞減；,(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;,練習,判斷下列函數的單調性, 并求出單調區(qū)間:,總結: 當遇到三次或三次以上的,或圖象很難 畫出的函數求單調性問題時，應考慮導數法。,納,1什么情況下，用“導數法” 求函數單調性、 單調區(qū)間較簡便？,2試總結用“導數法” 求單調區(qū)間的步驟？,歸,設 是函數 的導函數， 的圖象如 右圖所示,則 的圖象最有可能的是( ),(A),(B),(C),(D),C,思考題,A,求參數的取值范圍,例2：,解：由已知得,因為函數在（0，1上單調遞增,在某個區(qū)間上， ，f（x）在這個區(qū)間上單調遞增 （遞減）；但由f（x）在這個區(qū)間上單調遞增（遞減）而 僅僅得到 是不夠的。還有可能導數等于0 也能使f（x）在這個區(qū)間上單調， 所以對于能否取到等號的問題需要單獨驗證,例3：方程根的問題 求證：方程 只有一個根。,B,2.函數y=a(x3-x)的減區(qū)間為 則 a 的取值范圍為( ) (A)a0 (B)11 (D) 0a1,A,證明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1) x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即f(x)0 f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函數. f(0)=e010=0. 當x0時，f(x)f(0)=0，即e2x12x0. 1+2xe2x,2.當x0時，證明不等式：1+2xe2x.,分析：假設令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0, 如果能夠證明f(x)在(0，+)上是增函數，那么f(x)0，則不等式就可以證明