分立對稱性：晶格平移.pptVIP

4.1/2 對稱性,空間平移對稱性：T+(a)H(x,p;t)T(a)=H(x+a,p;t) 時間平移對稱性： T+(t)H(x,p;t)T(t)=H(x,p;t+t) 轉(zhuǎn)動不變性：D+(R)H(J)D(R)=H(RJ) 空間反演對稱性 + H(x,p,J;t)= H(-x,-p,J;t) (非兼并態(tài)/一維束縛態(tài)有確定宇稱）,4.3 分立對稱性：晶格平移,晶格平移這一分立對稱性在固體物理中有重的應(yīng)用。 對一維周期勢，+(a)V(x)(a)=V(x+a)=V(x),a為晶格常數(shù)。H,(a)=0, (a)和H可同時對角化. 在H和(a)的共同本征矢中，由于并非厄米，的期待值為復(fù)數(shù)且模為1。為求出(a)的本征態(tài)，先考慮無限高勢壘的情形。此時電子只能局域于某格點附近。設(shè)相應(yīng)能量本征態(tài)為|n,H|n=En|n,n表示格點位置,不同|n簡并。,雖然|n是H的本征態(tài),且H與(a)對易，|n不是(a)的本征態(tài)。將不同|n線性疊加,可得到(a)的本征形態(tài):,有限高勢壘時，|n并不完全局域于格點n，而是主要集中于格點n而隨與n的距離而衰減。 以|n為基構(gòu)造|，|仍為本征值為e-i的本征態(tài) 由于 取=ka，則,Bloch定理,可見晶格平移的本征態(tài)|之波函數(shù)可寫成平面波與具有晶格周期性的函數(shù)之乘： 且 ，k空間范圍稱為Brillouin Zone,Bloch定理,能量本征值,可見不同k=/a的態(tài)能量本征值不同.,能量本征值,緊束縛近似:=E0, 原來簡并的能級被消簡并，形成能量范圍為 E0-2到E0+2的能帶。,4.4 時間反演分立對稱性,一、牛頓力學(xué)的時間反演變換 經(jīng)典力學(xué)情形：一受中心力場作用的粒子其軌跡如圖,一、牛頓力學(xué)的時間反演變換,若x(t)是牛頓方程的解，令t=-t,有 x(-t)也是牛頓方程的解 (時間反演:xx,dx/dt-dx/dt) 時間反演應(yīng)更確切地稱為運動反演或運動的倒轉(zhuǎn)。,二、電動力學(xué)的時間反演變換,Maxwell方程： Lorentz力： 對t-t變換,若 則Maxwell方程和Lorentz力形式不變。,二、電動力學(xué)的時間反演變換,即若 上述討論表明，經(jīng)典物理中的時間變換為： t-t， xx, v-v (p-p), , EE, j-j, B-B,三、薛定諤方程的時間反演變換,對薛定諤方程， ， 作時間反演： 可見(x,-t)與(x,t)滿足不同的方程 對上式取復(fù)共軛，得： 可見對解(x,t) ，有相應(yīng)解*(x,-t) 因(x) =,時間反演波函數(shù)由*給出,四、反幺正算符,若一對稱操作使 ，從前遇到的情況為內(nèi)積不變，相應(yīng)對稱操作以幺正算符表征 對時間反演,波函數(shù)變?yōu)閺?fù)共軛,應(yīng)有 定義：對變換 ,如果 稱為反幺正算符 后一式所定義的算符稱為反線性算符。,一般而言，反幺正算符可寫成=UK，U為幺正算符，K為復(fù)共軛算符。K對右矢的疊加系數(shù)作用，即 若|不是基矢,可展開為以|a為基矢的矢量:,是反幺正的說明： 由 是反線性的 又 是反幺正的,五、時間反演算符,時間反演態(tài)（運動反演態(tài)）： | 上面討論知,動量本征態(tài)|p的時間反演態(tài): |p=|-p 時間反演算符的基本性質(zhì)： 由態(tài)矢時間反演的對稱性 得：-iH=iH，應(yīng)為反幺正算符 H=H,五、時間反演算符,重要等式： 這是因為對 有 故,對厄米算符A，有 若A-1=A，稱A在時間反演下具有偶(奇)對稱 由此， 可得A在時間反演態(tài)的期待值： 由 ， p-1=-p 類似地, x-1=x, |x=|x 從 可知J-1=-J,六、波函數(shù)的變化,由于 可知： 對球諧函數(shù)： 可見： 定理：若H在時間反演下不變，且能量本征態(tài)非簡并，則相應(yīng)波函數(shù)是實的。 證: H|n=H|n=En|n, |n與|n相同, 故=* 注：時間反演態(tài)的動量空間波函數(shù)為*(-p),七、自旋1/2體系的時間反演,因 (時間反演的效果) 得 由于 所以： 對無自旋體系2=1 兩者很不相同！,八、一般角動量體系的時間反演,由 ,得 而 故對任意|: 此外： 一般地： 需要指出：最方便的相位約定依所處理的物理問題而定，但2=1與相位約定無關(guān)。,九、球張量的時間反演性質(zhì),對 若A是 的分量，由于Wigner-Eckart定理 只要考慮q=0的分量即可。 對厄米球張量，其時間反演奇偶性由q=0分量確定： 由于x對應(yīng)于k=1，且對時間反演是偶的，故對jm的本征態(tài)=0，這對非宇稱本征態(tài)亦成立,十、粒子與電和磁場的相互作用：Kramers簡并,電荷在靜電場中，V(x)=e(x), H,=0 由于,U(t,t0)0, 不存在量子數(shù)的時間反演守恒。但H,=0對無自旋粒子導(dǎo)致非簡并態(tài)波函數(shù)為實數(shù) 更重要的后果是Kramers簡并。由于|n與|n同為H的本征態(tài)，若非簡并， |n=ei|n. 對j半整數(shù)體系，則-|n=|n=ei