函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用(5).ppt

2019/7/6,1,常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式,2019/7/6,2,第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用,第十二章,一、近似計算,三、歐拉公式,二、微分方程的冪級數(shù)解法,2019/7/6,3,一、近似計算,解: 已知,故,令,得,于是有,2019/7/6,4,在上述展開式中取前四項,2019/7/6,5,( 取,的近似值, 精確到,解:,例2 計算定積分,2019/7/6,6,則 n 應滿足,則所求積分近似值為,欲使截斷誤差,2019/7/6,7,二、微分方程的冪級數(shù)解法,當微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分表達時 我們就要尋求其它解法 本節(jié)我們簡單地介紹微分方程的冪級數(shù)解法,其中函數(shù)f(x y)是(xx0)、(yy0)的多項式 f(x y)a00a10(xx0)a01(yy0) aim (xx0)l(yy0)m,這時可設所求特解可展開為xx0的冪級數(shù) yy0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n 其中a1 a2 an 是待定的系數(shù) 把所設特解代入微分方程中 便得一恒等式 比較這恒等式兩端xx0的同次冪的系數(shù) 就可定出常數(shù)a1 a2 從而得到所求的特解,冪級數(shù)解法基本思想,解,于是所求解的冪級數(shù)展開式的開始幾項為,例1 求方程yxy2滿足y|x00的特解,這時x00 y00 故設,ya1xa2x2a3x3a4x4 ,把y及y的冪級數(shù)展開式代入原方程 得,a12a2x3a3x24a4x35a5x4 ,x(a1xa2x2a3x3a4x4 )2,xa12x22a1a2x3(a222a1a3)x4 ,由此 比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù) 得,定理,提示:,例2 求方程yxy0的滿足y|x00 y|x01的特解,解,這里P(x)0 Q(x)x在整個數(shù)軸上滿足定理的條件,因此所求的解可在整個數(shù)軸上展開成x的冪級數(shù),ya12a2x3a3x24a4x3 nanxn1 ,ya0a1xa2x2a3x3a4x4 ,y2a2x32a3x43a4x2 n(n1)anxn2 ,把y及y代入方程yxy0 得,2a232a3x(43a41)x2(54a5a 2)x3 (65a6a3)x4 (n2)(n1)an2an1xn +.=0.,由y|x01 得,由條件y|x00 得a00,a11,于是,a20 a30 a50 a60 a80 a90,2019/7/6,12,二、歐拉公式,(Euler formula),則稱 收斂 , 且其和為,絕對收斂,收斂 .,若,收斂,若,對復數(shù)項級數(shù),絕對收斂,則稱 絕對收斂.,由于, 故知,2019/7/6,13,的指數(shù)函數(shù)為,易證它在整個復平面上絕對收斂 .,當 y = 0 時, 它與實指數(shù)函數(shù),當 x = 0 時,的冪級數(shù)展式一致.,定義 復變量,2019/7/6,14,（歐拉公式）,（也稱歐拉公式）,利用歐拉公式可得復數(shù)的指數(shù)形式,則,2019/7/6,15,據(jù)此可得,(德莫弗公式),利用冪級數(shù)的乘法, 不難驗證,特別有,2019/7/6,16,歐拉 (1707 1783),瑞士數(shù)學家.,他寫了大量數(shù)學經(jīng)典,著作,如無窮小分析引論 , 微,還,寫了大量力學, 幾何學, 變分法教材.,他在工作期間幾乎每年都完成 800 頁創(chuàng)造性的論文.,他的最大貢獻是擴展了微積分的領域,要分支 (如無窮級數(shù), 微分方程) 與