高考中解答題的解題方法.pptx

第11專題（文）,主編,第11專題 高考中解答題的解題方法,主要題型剖析,引言,解答題解題方法訓練,從歷年高考卷分析,高考解答題的設置一般有六大方向:三角函數(shù)與平面向量、立體幾何、函數(shù)與導數(shù)、解析幾何、概率統(tǒng)計應用、數(shù)列不等式等,這些題考查的范圍涵蓋了中學數(shù)學主要內(nèi)容,綜合考查學生運算能力、邏輯思維能力、空 間想象能力和分析問題解決問題的能力;六個大題中前兩題一般難度稍低,中間兩題難度稍大,最后兩題多數(shù)是把關題,它們分別考查不同內(nèi)容,入口寬,對不同層次的考生設置了關卡,多層次、多角度地對考生的基礎知識掌握程度和基本技能以及知識遷移等能力進行考查,用以區(qū)分考生靈活運用知識和方法去分析及解決問題能力的差別.,在高考數(shù)學試題的三大題型中,解答題的個數(shù)雖然不及選擇填空題,但所占分數(shù)之多,足以看出解答題的重要性.解答題都具有一定的綜合性,一般可分為三類題型:計算題、證明題和應用題.高考的區(qū)分層次和選拔使命主要靠這類題型來完成預設目標.目前的高考綜合題已經(jīng)由單純的知識疊加型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力綜合型尤其是創(chuàng)新能力型(包括探索開放型)試題.解答題是高考數(shù)學試題的精華部分,具有知識容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數(shù)學思想方法的運用以及要求考生具有一定的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力等特點.數(shù)學解答題的考查功能無論是在廣度上還是深度上,都要優(yōu)于選擇題和填空題.解答題的內(nèi)涵豐富,包含的試題模式(如探索題、計算題、證明題、應用題等)靈活多變.,解答題的解題步驟:,1.分析條件,弄清問題,考生在解答時,應認真審題和分析解題思路,把已知條件作為出發(fā) 點,充分挖掘每一個條件的內(nèi)涵和外延,發(fā)揮隱含條件的解題功能; 審視結論能探知已知條件和結論間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化規(guī)律,從結論中 捕捉解題信息,確定解題方向;正確利用題設信息進行文字語言和 數(shù)學語言的轉(zhuǎn)譯.,準確規(guī)范地表述解題過程和答案,將整個解答過程的主要步驟和 經(jīng)過有條理、合邏輯、完整地陳述清楚,語言表達清晰和答題規(guī) 范是與高考評卷中按步得分相對應的,直接對應所能得分數(shù).,3.驗算結果,回顧反思,通過檢查是否有歸納、總結性語言,是否利用了所有條件(或發(fā)現(xiàn) 多余條件),結論是否合理,有沒有其他更簡便的方法,達到對解題過 程的反思、深化和提高.,解答題的解題策略:,2.規(guī)范表達,實施計劃,1.從條件入手分析條件,化繁為簡,注重隱含條件的挖掘;,2.從結論入手執(zhí)果索因,搭好聯(lián)系條件的橋梁;,3.回到定義和圖形中來;,4.換一個角度去思考;,5.優(yōu)先挖掘隱含條件,優(yōu)先作圖觀察分析.,解答題的解題技巧:,1.把握“三性”.,解答題在審題思考中,要把握好“三性”.即:,(1)目的性:明確解題結果的終極目標和每一步驟分項目標;,(2)準確性:提高概念把握的準確性和運算的準確性;,(3)隱含性:注意題設條件的隱含性.,2.實施“三化”.,(1)問題具體化,即把題目中所涉及的各種概念或概念之間的關系 具體明確,有時可畫表格或圖形,以便于把一般原理、一般規(guī)律應,用到具體的解題過程中去;,(2)問題簡單化,即把問題分解為與各相關知識相聯(lián)系的簡單問題, 把復雜的形式轉(zhuǎn)化為簡單的形式;,(3)問題和諧化,即強調(diào)變換問題的條件或結論,使其表現(xiàn)形式符合 數(shù)或形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一的特點,或者突出所涉及的各種數(shù)學 對象之間的知識聯(lián)系.,3.把握“三轉(zhuǎn)”.,(1)語言轉(zhuǎn)換能力.每個數(shù)學綜合題都是由一些特定的文字語言、,符號語言、圖形語言所組成,解解答題往往需要較強的語言轉(zhuǎn)換 能力,還需要有把普通語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言的能力.,(2)概念轉(zhuǎn)換能力.綜合題的轉(zhuǎn)譯常常需要較強的數(shù)學概念的轉(zhuǎn)換 能力.,(3)數(shù)形轉(zhuǎn)換能力.解題中的數(shù)形結合,就是對題目的條件和結論既 分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義,力圖在代數(shù)與幾何的結合上 找出解題思路,運用數(shù)形轉(zhuǎn)換策略要注意特殊性,否則解題會出現(xiàn) 漏洞.,4.關注“三思”.,(1)思路.由于綜合題具有知識容量大,解題方法多,因此,審題時應考 慮多種解題思路.,(2)思想.高考綜合題的設置往往會突顯考查數(shù)學思想方法,解題時 應注意數(shù)學思想方法的運用.,(3)思辯.即在解綜合題時注意思路的選擇和運算方法的選擇.,5.重視“三聯(lián)”.,(1)聯(lián)系相關知識;,(2)聯(lián)接相似問題;,(3)聯(lián)想類似方法.,主要題型:(1)純?nèi)侵R綜合;(2)三角函數(shù)與平面向量交匯;(3)三 角函數(shù)與解斜三角形的交匯;(4)純解斜三角形;(5)平面向量與解斜,三角形交匯.,主要策略:(1)觀察三角函數(shù)中函數(shù)名稱、角與結構上的差異,確定 三角化簡的方向;(2)利用數(shù)量積公式、垂直與平行的充要條件將 向量關系轉(zhuǎn)化為三角問題來解決;(3)利用正余弦定理進行三角形 邊與角的互化.,例1 已知m=(sin A, )與n=(3,sin A+ cos A)共線,其中A是ABC的內(nèi) 角.,(1)求角A的大小;,(2)若BC=2,求ABC面積S的最大值,并判斷S取得最大值時ABC的形 狀.,【分析】根據(jù)向量共線得到方程,再考慮統(tǒng)一角和統(tǒng)一三角函數(shù)名稱利 用特殊三角值求解;將面積S的表達式求出再考慮如何求最值.,【解析】(1)因為mn,所以sin A(sin A+ cos A)- =0.,所以 + sin 2A- =0,即 sin 2A- cos 2A=1,即sin(2A- )=1.,因為A(0,), 所以2A- (- , ).故2A- = ,A= .,(2)由余弦定理,得4=b2+c2-bc.,又SABC= bcsin A= bc,而b2+c22bcbc+42bcbc4,(當且僅當b=c時等號成立),所以SABC= bcsin A= bc 4= .,當ABC的面積取最大值時,b=c.又A= ,故此時ABC為等邊三角 形.,asin x+bcos x= sin(x+),其中tan = ,是三角變 換中重要的部分,考生必須掌握.正(余)弦定理和三角形面積公式結 合不等式求范圍或最值問題是本題的亮點,也是高考命題重點趨 勢.,例2 已知f(x)=asin2x+bsin xcos x,其中a,b,xR.若f( )=2,且f(x)的導函 數(shù)f(x)的圖象關于直線x= 對稱.,(1)求a,b的值;,(2)若關于x的方程f(x)+log2k=0在區(qū)間0, 上總有實數(shù)解,求實數(shù)k的取值 范圍.,【分析】利用f( )=2和f(x)的對稱軸可以列出關于a,b的方程組從而求之; 求出f(x)的值域后再利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可求出k的范圍.,【解析】(1)f(x)=asin2x+bsin xcos x= (1-cos 2x)+ sin 2x,由f( )=2得,a+ b=8, ,f(x)=asin 2x+bcos 2x的圖象關于直線x= 對稱,f(0)=f( ),b= a+ b,即b= a, ,由、得,a=2,b=2 .,(2)由(1)得f(x)=1-cos 2x+ sin 2x=2sin (2x- )+1.,x0, ,- 2x- ,-12sin (2x- )2,f(x)0,3.,又f(x)+log2k=0有解,即f(x)=-log2k有解,-3log2k0,解得 k1,即k ,1.,本題利用導函數(shù)圖象對稱軸找出a,b的一個關系式, 有創(chuàng)新意識,是很好的題設條件;方程總有解一般轉(zhuǎn)化成求值域問 題,參數(shù)式只要在值域內(nèi)即可求出參數(shù)范圍.,立體幾何的核心問題是空間線面的位置關系,高考數(shù)學立體 幾何題依然圍繞著(三種)平行和(三種)垂直關系的論證,表面積和 體積的計算的格局來設計試題.,高考中立體幾何解答題的基本題型:(1)證明空間線、面平行或垂 直;(2)求幾何體的側面積及體積.,例3 如圖,在四棱錐S-ABCD中,SA=AB=2,SB=SD=2 ,底面ABCD是菱 形,且ABC=60,E為CD的中點.,(1)證明:CD平面SAE;,(2)側棱SB上是否存在點F,使得CF平面SAE?并證明你的結論.,【分析】(1)要證線面垂直,考慮證明線線垂直;(2)線面平行的探究中,可 嘗試線線平行的探究或面面平行的探究.,【解析】(1)四邊形ABCD是菱形,ABC=60,AB=AC=AD=2,且ADC=60,ACD為正三角形.,又E為CD的中點,CDAE.,SA=AB=AD=2,SB=SD=2 ,則有SB2=SA2+AB2,SD2=SA2+AD2,SAAB,SAAD.,又ABAD=A,SA底面ABCD,SACD.,由CDAE,SACD,AESA=A,CD平面SAE.,(2)當F為側棱SB的中點時,CF平面SAE.,(法一)設N為SA的中點,連結NF、NE、FC,則NF是SAB的中位線,NFAB且NF= AB,又CEAB且CE= AB,CENF且CE=NF,四邊形CENF為平行四邊形,CFNE.,NE平面SAE,CF平面SAE,CF平面SAE.,(法二)設M為AB的中點,連結MF、MC、FC,則MF是SAB的中位線,MFSA.,SA平面SAE,MF平面SAE,MF平面SAE.,同理,由CMAE,CM平面SAE,AE平面SAE,得CM平面SAE.,又MFMC=M,平面FMC平面SAE.,又CF平面FMC,CF平面SAE.,對于底面是菱形的四棱錐需要更高的空間想象能力, 而對點F的直觀感覺更是對空間想象能力的高層次要求,所以在解 題訓練中要充分注意對各種空間圖形的感知、體會與分析.此類 問題在高考中屬于必考題,難度中等,應充分注意加強訓練,以保不 失分.,例4 如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,面PAB底面ABCD,面 PAD底面ABCD,PA=2,PDA=45,點E為棱AB的中點,點F為棱PD的中點.,(1)在該四棱錐P-ABCD的五個頂點中,是否有由四個頂點組成的三 棱錐,其四個面都是直角三角形?若存在,請寫出一個該三棱錐,并證 明你的結論,若不存在,說明理由;,(2)求證:AF平面PCE.,【分析】(1)從五個頂點中選取四個頂點可以組成四個三棱錐,再從中考 慮滿足條件的三棱錐;(2)利用線面平行的判定定理在平面PCE中找到與 AF的平行線即可.,【解析】(1)存在三棱錐P-ABC(或P-ACD),其四個面都是直角三角形.,連結AC,正方形ABCD中,ABC為直角三角形.,正方形ABCD中,ABAD,面PAB面ABCD.,又面PAB面ABCD=AB,AD面PAB.,又PA面PAB,ADPA,BCPA.,面PAD面ABCD,面PAD面ABCD=AD,PA面ABCD,PAAB,PAAC,即ABP、ACP為直角三角形.,PABC,ABBC,ABPA=A,AB、AP面PAB,BC面PAB,BCPB,PBC為直角三角形.,故存在三棱錐P-ABC,其四個面都是直角三角形.,(2)取PC的中點G,連結FG、EG,則FG為CDP的中位線,FG CD.,四邊形ABCD為正方形,E為AB的中點,AE CD,FGAE,四邊形AEGF是平行四邊形,AFEG.,又EG平面PCE,AF平面PCE,AF平面PCE.,該題考查線、面間的平行與垂直的證明,具有一定的 難度.在這種開放性的探索問題中,只要抓住線、面間的平行與垂 直的判定定理和性質(zhì)定理,問題便容易得到解決.,解析幾何是代數(shù)與幾何的完美結合,解析幾何的問題可以涉 及函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何、數(shù)列、向量等知識,形成 了軌跡、最值、對稱、范圍、參系數(shù)等多種問題,因而成為高中 數(shù)學綜合能力要求比較高的內(nèi)容.,主要題型:(1)求曲線的方程;(2)有幾何背景的圓和圓錐曲線問題,包 括軌跡、最值、對稱、范圍、定點、定值等問題;(3)解析幾何與 函數(shù)、向量、數(shù)列等的交匯問題.,例5 如圖所示,已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F(1,0), C1的中心和 C2的頂點都在坐標原點,過點M(4,0)的直線l與拋物線C2分別相交于A,B兩 點,且點A在x軸下方.,(1)寫出拋物線C2的標準方程;,(2)若 = ,求直線l的方程;,(3)若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C2上,直線l與橢圓C1有公 共點,求橢圓C1的長軸長的最小值.,【分析】(1)因為橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F(1,0), C1的中心和C2的頂 點都在坐標原點,很快就能求出拋物線C2的標準方程.(2)求出l的另一個元 素即可得直線l的方程.(3)直線l與橢圓有公共點可以求出a的范圍從而求 出2a的最小值.,m= .,l的方程為2x- y-8=0.,(3)設直線l的方程為x=my+4,由已知得P( ,- ),代入y2=4x.,m=1,l:x=y+4.,設橢圓為 + =1(ab0),由 消元整理得(2a2-1)y28(a2-1)y-a4+17a2-16=0.,由0,得a .,長軸長的最小值為 .,向量有關的問題往往利用坐標解決,而最值問題常常 通過基本不等式或由判別式得不等量關系式求得.本題的直線方 程設為x=my+4方便了解題.,例6 已知橢圓 + =1(ab0)的左、右焦點分別為F1、F2,短軸兩個 端點分別為A、B,且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形.,(1)求橢圓的標準方程;,(2)若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點,動點M滿足MDCD,連 結CM,交橢圓于點P.證明: 為定值;,(3)在(2)的條件下,試問x軸上是否存在異于點C的定點Q,使得以MP為直 徑的圓恒過直線DP,MQ的交點.若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明 理由.,【分析】(1)因為AOF2是斜邊長為2的等腰直角三角形,易求得a、b、c 的值,進而寫出橢圓的標準方程;(2)設點M的坐標為(2,y0),可以寫出直線 CM的方程,再與橢圓方程聯(lián)立成方程組,可求出點P的坐標,從而知道向量 、 的坐標,再利用向量數(shù)量積的坐標運算,即可完成證明;(3)假設存 在Q(m,0),MP為直徑,則DPMQ,問題可轉(zhuǎn)化為 =0.,(2)C(-2,0),D(2,0).,設M(2,y0),P(x1,y1),則 =(x1,y1), =(2,y0).,直線CM: = ,即y= x+ y0,將其代入橢圓x2+2y2=4,得,(1+ )x2+ x+ -4=0.,-2x1= ,x1=- ,y1= . =(- , ), =- + = =4(定值).,(3)設存在點Q(m,0)滿足條件,則DPMQ.,=(m-2,-y0), =(- , ),則由 =0,得- (m-2)- =0,從而得m=0,存在點Q(0,0)滿足條件.,對于定點定值問題, 應靈活運用已知條件,巧設變量, 通常有兩種處理方法:從特殊入手,求出定點或定值,再證明這個 點(值)與變量無關;直接推理、計算,并在計算中消去變量,從而 得到定點(定值).對于存在性問題,其一般解法是先假設命題存在, 用待定系數(shù)法設出所求的曲線方程或點的坐標,再根據(jù)合理的推 理,若能推出題設中的系數(shù),則存在性成立,否則,不成立.,考查的主要內(nèi)容是:互斥事件的概率加法公式、古典概率模型與 幾何概率模型、樣本的數(shù)字特征、抽樣方法、線性回歸相關關 系.,處理概率問題要把握住如下幾點:(1)概率與統(tǒng)計題目的特點是與 實際生活密切相關,應立足基礎知識和基本方法的復習,通過對基 本概念,基本方法的學習,發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律,以提高解題能力;(2)抓好破 勢訓練,從不同角度、不同側面對題目進行分析,查找思維的缺陷, 提高分析問題和解決問題的能力.主要題型是滲透統(tǒng)計的問題,考 查概率的基本模型.,概率與統(tǒng)計,與生活問題聯(lián)系密切,也是高考的熱點問題.主要 考查學生數(shù)學知識的實際應用能力和抽象概括能力.,例7 為了解學生身高情況,某校以10%的比例對全校700名學生按性 別進行分層抽樣調(diào)查,測得身高情況的統(tǒng)計圖如下:,(1)估計該校男生的人數(shù);,(2)估計該校學生身高在170185 cm之間的概率;,(3)從樣本中身高在180190 cm之間的男生中任選2人,求至少有1人身高 在185190 cm之間的概率.,【分析】(1)由分層抽樣比例為10%,估計全校男生人數(shù)為400;(2)利用頻 率估計概率;(3)利用樹形圖列出基本事件,便于計數(shù)求概率.,(3)樣本中身高在180185 cm之間的男生有4人,設其編號為, ,;,樣本中身高在185190 cm之間的男生有2人,設其編號為,;,從上述6人中任取2人的樹狀圖為:,故從樣本中身高在180190 cm之間的男生中任選2人得所有可能 結果數(shù)為15,至少有1人身高在185190 cm之間的可能結果數(shù)為9, 因此,所求概率p2= = .,數(shù)理統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析的方法是概率與統(tǒng)計特有的數(shù) 學思想方法,在實踐中很多時候采用這種方法求事件的概率.,例8 設有關于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.,(1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從0,1,2三個數(shù)中任取 的一個數(shù),求上述方程有實根的概率;,(2)若a是從區(qū)間0,3中任取的一個數(shù),b是從區(qū)間0,2中任取的一個數(shù),求 上述方程有實根的概率.,【解析】設事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實根”.,當a0,b0時,方程x2+2ax+b2=0有實根的充要條件為=(-2a)2-4b20,即a b.,(1)基本事件共12個:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2), (3,0),(3,1),(3,2),其中第一個數(shù)表示a的取值,第二個數(shù)表示b的取值.,事件A中包含9個基本事件,所以事件A發(fā)生的概率為P(A)= = .,(2)試驗的全部結果所構成的區(qū)域為(a,b)|0a3,0b2,構成事件A的區(qū)域為(a,b)|0a3,0b2,ab,所以所求的概率為P(A)= = .,若基本事件的個數(shù)是無窮個,則可以利用幾何概型來 求,幾何概型主要考查學生數(shù)形結合的能力,是高考的熱點題型.,數(shù)列是歷年高考考查的重點、熱點和難點.數(shù)列解答題大多 以數(shù)列為考查平臺,綜合運用函數(shù)、方程、不等式等知識,通過運 用遞推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類整合等 各種數(shù)學思想方法,考查學生靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決 問題的能力,屬于低、中、高檔的難度都有,部分省的數(shù)列考題前 置,難度降低.,常見題型:(1)數(shù)列的遞推關系式的理解與應用;(2)數(shù)列的通項an與 前n項和Sn之間的關系與應用;(3)求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項;(4) 等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和,求和方法涉及到公式法、錯位相減 法、裂項相消法等;(5)能力研究性試題爭相亮相,與數(shù)表序列、平 均數(shù)、導數(shù)、不等式、對數(shù)函數(shù)、解析幾何等知識交匯,是高考 的熱點.,例9 已知數(shù)列an中,a1=3,a2=5,其前n項和Sn滿足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n 3),令bn= .,(1)求數(shù)列an的通項公式;,(2)若f(x)=2x-1,求證:Tn=b1f(1)+b2f(2)+bnf(n) (n1).,【分析】(1)由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n3)變形得:Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n3),即an= an-1+2n-1(n3),后利用累加法可得;(2)求出bnf(n)嘗試求和并放縮證不等式.,【解析】(1)由題意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n3),即an=an-1+2n-1(n3),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+a2.,=2n-1+2n-2+22+5=2n-1+2n-2+22+2+1+2=2n+1(n3).,檢驗知n=1、2時,結論也成立,故an=2n+1.,(2)由于bnf(n)= 2n-1= = ( - ),故Tn=b1f(1)+b2f(2)+bnf(n)= ( - )+( - )+( - )= ( - ) = .,an=Sn-Sn-1(n2)是數(shù)列考題的重要內(nèi)容,要善于分析已 知利用這一點.裂項法是數(shù)列求和的常用方法,本題的第(2)問裂項 方法特別,有一定的難度,最后還使用了不等式的放縮思想,是一道 好題.,例10 已知數(shù)列an,a1=2,an=2an-1+2n(n2).,(1)求證: 為等差數(shù)列;,(2)若bn= ,求數(shù)列bn中的最大值.,【分析】(1)證明 是等差數(shù)列只需利用等差數(shù)列的定義;(2)中可以判 定數(shù)列bn的單調(diào)性來解決.,bn= = 0,bn+1= , = = .,又2(2n2+n-1)-(2n2+n)=2n2+n-2,當n1時,2n2+n-20,2(2n2+n-1)2n2+n0, 1,即bn+1bn,bn為遞減數(shù)列,數(shù)列bn中的最大值為b1=0.5.,數(shù)列與不等式綜合一般難度較大,除此之外,數(shù)列和 函數(shù)、導數(shù)等知識也經(jīng)常聯(lián)合來考察數(shù)學綜合能力.,函數(shù)、導數(shù)、不等式問題一般是高考題中綜合性很強的題 目,單純考查函數(shù)、不等式的試題很少,通常注重不等式與函數(shù)、 導數(shù)以及數(shù)列、解析幾何、三角等知識的綜合.,常見題型:(1)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題,極值 問題要用表格分析,要注意x的取值范圍;(2)以對數(shù)函數(shù)(常用對數(shù) 為主)為背景,結合對數(shù)運算,以考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及圖象等;(3) 在導數(shù)背景下研究不等式的證明、利用導數(shù)求最值解決恒成立問 題,注意對數(shù)函數(shù)的定義域;(4)以方程或二次函數(shù)為背景,綜合考查 函數(shù)、方程和不等式的知識,重視代數(shù)推理能力;(5)用函數(shù)、不等 式性質(zhì)或?qū)?shù)研究數(shù)列、解析幾何、實際應用中的最值問題.,例11 設函數(shù)f(x)=ax-(a+1)ln (x+1),(a-1).,(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;,(2)當a0時,設f(x)的最小值為g(a),若g(a)t恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.,【分析】(1)求函數(shù)f(x)的導函數(shù),再解含a的不等式;(2)將g(a)t恒成立轉(zhuǎn) 化為其他形式恒成立.,若a0,由f(x)0得x ,由f(x)0得-1x ,所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(-1, ),增區(qū)間為( ,+);,若-1a0,此時 -1,所以f(x)= 0,所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(-1,+),無增區(qū)間.,綜上,當-1a0時,函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(-1,+),無增區(qū)間;,當a0時,函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(-1, ),增區(qū)間為( ,+).,(2)由(1)得,g(a)=f( )=1-(a+1)ln( +1),因為a0,所以g(a)t - 0 -(1+ )ln(1+ )- 0,令h(x)=x-(1+x)ln(1+x)-tx(x0),則h(x)0恒成立,由于h(x)=-ln(1+x)-t,當t0時,h(x)0,故函數(shù)h(x)在(0,+)上是減函數(shù),所以h(x)h(0)=0成立;,當t0得0xe-t-1,故函數(shù)h(x)在(0,e-t-1)上是增函數(shù),即對0h(0)=0,與題意不符.,綜上,t0為所求.,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值是高考題 中常見的形式,是復習的重點和難點.本題中第(2)問g(a)t恒成立轉(zhuǎn) 化為g(a)maxt的思想并不錯,關鍵是g(a)max不好求,故需要轉(zhuǎn)化成其 他的形式,在遇到類似問題時要注意轉(zhuǎn)化.,例12 已知函數(shù)f(x)=x3-ax,g(x)= x2-ln x- .,(1)若g(x)與f(x)在同一點處有相同的極值,求實數(shù)a的值;,(2)對一切x(0,+),有不等式f(x)2xg(x)-x2+5x-3恒成立,求實數(shù)a 的取值范圍;,(3)記G(x)= x2- -g(x),求證:G(x) - (e是自然對數(shù)的底數(shù)).,【分析】(1)由于g(x)僅在x=1處取得極值,故f(1)=0,且f(1)=g(1);(2)要求a 的取值范圍使得a2ln x+ +x恒成立,只需a(2ln x+ +x)min,通過求導就 可解決問題;(3)要求xln x - 成立,則通過導數(shù)直接證xln x- + 0比較 困難,因此可以考慮證(xln x)min( - )max.,【解析】(1)由題知g(x)=x- ,令g(x)=0,得x=1(x0).,當01,g(x)0,故當x=1時,g(x)有極小值為g(1)=-2,f(1)=-2,且f(1)=0,a=3.,(2)原不等式可化為x3-ax2x( x2-ln x- )-x2+5x-3,化簡得ax2xln x+x2+3.,x(0,+),上式可化為a2ln x+ +x(x0),則可知使a2ln x+ +x恒成立,只需a(2ln x+ +x)min即可.,記t(x)=2ln x+ +x(x0),則t(x)=(2ln x+ +x)= - +1= ,令t(x)=0,得 =0,解得x=1.,當x(0,1)時,t(x)0;,當x(1,+)時,t(x)0.,在x=1時,t(x)有極小值為4,也是f(x)的最小值,a(-,4.,(3)由題知G(x)=ln x,所證的不等式可化為ln x - (x0),即只需證xln x - 成立.,記F(x)=xln x,F(x)=1+ln x,可知F(x)在(0, )上遞減,在( ,+)上遞增,F(x)min=F( )=- ,即F(x)- . ,記H(x)= - ,則H(x)= ,H(x)在(0,1)上遞增,在(1,+)上遞減,H(x)max=H(1)=- ,即H(x)- . ,由可知,F(x)H(x)(因為它們不在同一點處取最值,所以不能取 等號),即xln x - 成立,G(x) - .,等價轉(zhuǎn)化、構造函數(shù)是解決函數(shù)與導數(shù)綜合題的關 鍵.,1.ABC中,三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若B=60,a=( -1) c.,(1)求角A的大小;,(2)已知SABC=6+2 ,求函數(shù)f(x)=cos 2x+asin x的最大值.,sin A=( -1)sin( -A)=( -1)(sin cos A-cos sin A),=( -1)( cos A+ sin A) ,整理可得:tan A=1,所以A=45.,(2)由SABC= sin B=6+2 可推出a=4,f(x)=1-2sin2x+4sin x=-2(sin x-1)2+3,當sin x=1時,函數(shù)f(x)=1-2sin2x+4sin x取得最大值3.,2.在學校開展的綜合實踐活動中,某班進行了小制作評比,作品上交時間 為5月1日至30日.評委會把同學們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計, 繪制了頻率分布直方圖如圖.已知從左至右各長方形的高的比為234 641,第三組的頻數(shù)為12,請解答下列問題:,(1)本次活動共有多少件作品參加評比?,(2)哪組上交的作品數(shù)量最多,有多少件?,(3)經(jīng)過評比,第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎,這兩組哪組獲獎率較高?,【解析】(1)依題意,可算出第三組的頻率為,= ,然后依據(jù)頻率= ,知本次活動其參評的作品數(shù)= =60(件).,(2)根據(jù)頻率分布直方圖,可看出第四組上交的作品數(shù)量最多,共有6 0 =18(件).,(3)易求得第四組獲獎率為 = ,第六組獲獎率為 = ,由此可知,第六組獲獎率較高.,3.如圖,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD為等邊三角形,AD=DE =2AB,F為CD的中點.,(1)求證:AF平面BCE;,(2)求證:平面BCE平面CDE.,又AB= DE,GF=AB.,四邊形GFAB為平行四邊形,則AFBG.,AF平面BCE,BG平面BCE,AF平面BCE.,(2)ACD為等邊三角形,F為CD的中點,AFCD.DE平面ACD,AF平面ACD,DEAF.,又CDDE=D,故AF平面CDE.,BGAF,BG平面CDE.,BG平面BCE,平面BCE平面CDE.,