天津市第一中學(xué)2018_2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷（含解析）.docx

天津市第一中學(xué)2018-2019學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共10小題）1.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)到軸的距離為A. B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為根據(jù)橢圓方程求得c，進(jìn)而判斷出，即得或令，進(jìn)而可得點(diǎn)P到x軸的距離【詳解】解：設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M由于，；，只能或令，得，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本應(yīng)用考查了學(xué)生推理和實(shí)際運(yùn)算能力是基礎(chǔ)題2.已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意可得漸近線的斜率，即為a，b的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程解得c，由a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到所求雙曲線的方程【詳解】解：雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，可得漸近線的斜率為，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，可得，即，解得，則雙曲線的方程為：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及拋物線的方程和性質(zhì)，運(yùn)用漸近線方程和斜率公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題3.設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個(gè)等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點(diǎn)，由勾股定理知，可知|PF1|=2=4b根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得=雙曲線漸進(jìn)線方程為y=x，即4x3y=0故選C考點(diǎn)：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系的運(yùn)用。點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，可知答案。4.已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是A. (1,3)B. (1,)C. (0,3)D. (0,)【答案】A【解析】由題意知：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選A【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】雙曲線知識(shí)一般作為客觀題出現(xiàn),主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.注意雙曲線的焦距是2c而不是c,這一點(diǎn)易出錯(cuò).【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】5.已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A. B. C. D. 【答案】B【解析】y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,=p=2,拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.故選B.【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】6.一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為A. 108B. 216C. 648D. 1296【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，完成任務(wù)可分為兩步，、每個(gè)三口之家內(nèi)部排序，、三個(gè)家庭之間排序，計(jì)算每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)公式，計(jì)算可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行：、將每個(gè)三口之家都看成一個(gè)元素，每個(gè)家庭都有種排法；三個(gè)三口之家共有種排法，、將三個(gè)整體元素進(jìn)行排列，共有種排法故不同的作法種數(shù)為；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的運(yùn)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，對(duì)于相鄰問題，可用捆綁法解決.7. 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有A. 6種B. 12種C. 24種D. 30種【答案】C【解析】：甲和乙選中同一課程的選法有種，甲和乙再各選一門有和種，根據(jù)乘法原理，甲和乙完成選修課程選擇有種，選C.8.，則A. B. C. 64D. 65【答案】B【解析】【分析】在所給的等式中，令，求得的值，再令，可得的值,即得結(jié)果.【詳解】解：，令，可得，再令，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過賦值法，求展開式的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題9.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線與直線，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，則的最小值為A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦弦長公式表示，再根據(jù)正弦函數(shù)有界性求最小值【詳解】解：由，設(shè)直線傾斜角為，則直線傾斜角為，由焦點(diǎn)弦弦長公式得 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)的最小值為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線焦點(diǎn)弦弦長公式，考查基本分析求解能力，屬于中檔題10.過雙曲線的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，D為虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，且為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解得A，B的坐標(biāo)，再分類討論鈍角，并運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，最后解得離心率范圍【詳解】解：不妨設(shè)過雙曲線的左焦點(diǎn)，令，可得，可得，又不妨設(shè)，可得，因?yàn)闉殁g角三角形，所以為鈍角或?yàn)殁g角，當(dāng)為鈍角時(shí)可得，即為，化為，即有，可得，即，又，可得，當(dāng)為鈍角時(shí)可得，即為，化為，由，可得，又，可得綜上可得，e的范圍為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題二、填空題（本大題共6小題）11.分別標(biāo)有1、2、3、4的4張卡片，放入分別標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的4個(gè)盒中，每盒不空，且3號(hào)卡片不能放入3號(hào)盒中，則有_種不同的方法【答案】18【解析】【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：3號(hào)卡片可以放入1、2、4號(hào)盒子中，有3種放法；，將剩下的3張卡片全排列，放入剩下的3個(gè)盒子中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：3號(hào)卡片不能放入3號(hào)盒中，則3號(hào)卡片可以放入1、2、4號(hào)盒子中，有3種放法；將剩下的3張卡片全排列，放入剩下的3個(gè)盒子中，有種放法；故有種不同的放法；故答案為：18【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12.從5名男醫(yī)生名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有_種數(shù)字回答【答案】70【解析】【分析】先分兩類，一類是：一男二女，另一類是：兩男一女；在每一類中再用分步計(jì)數(shù)原理解答【詳解】解：直接法：一男兩女，有種，兩男一女，有種，共計(jì)70種間接法：任意選取種，其中都是男醫(yī)生有種，都是女醫(yī)生有種，于是符合條件的有種故答案為：70【點(diǎn)睛】直接法：先分類后分步；間接法：總數(shù)中剔除不合要求的方法，這種問題是排列組合中典型的問題，注意表示過程中數(shù)字不要弄混13.展開式中的系數(shù)為10， 則實(shí)數(shù)的值為 【答案】1【考點(diǎn)定位】該題主要考查二項(xiàng)式定理及其性質(zhì)【解析】【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】14.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)于拋物線，用p表示其準(zhǔn)線方程，結(jié)合題意列出方程即可得p的值，即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：，則其焦點(diǎn)在y軸上，且，則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，可得；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題15.P為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若點(diǎn)P到直線的距離大于m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為_【答案】【解析】【分析】雙曲線的漸近線方程為，c的最大值為直線與直線的距離再根據(jù)平行線之間距離公式得結(jié)果.【詳解】解：由題意，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)橛牲c(diǎn)P到直線的距離大于m恒成立，的最大值為直線與漸近線之間的距離，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查兩平行線之間的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題16.已知橢圓，A、B為橢圓左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且軸，過點(diǎn)A的直線與線段PF交于M點(diǎn)，與y軸交于E點(diǎn)，若直線BM經(jīng)過OE中點(diǎn)，則橢圓的離心率為_【答案】【解析】【分析】由題意可得F，A，B的坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方程為，可得M，E的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得H的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，最后結(jié)合離心率公式，即可得到所求值【詳解】解：由題意可設(shè)，設(shè)直線AE的方程為，令，可得，令，可得，設(shè)OE的中點(diǎn)為H，可得，由B，H，M三點(diǎn)共線，可得，即為，化簡可得，即為，可得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線方程的運(yùn)用和三點(diǎn)共線的條件，屬于中檔題三、解答題（本大題共4小題）17.已知F為橢圓的左焦點(diǎn)，離心率為，過F且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為求該橢圓方程；設(shè)直線同時(shí)與橢圓和拋物線各恰有一個(gè)公共交點(diǎn)，求直線的方程【答案】（1）；（2）或或【解析】【分析】由，求得，結(jié)合，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；將直線方程代入橢圓方程與拋物線方程，根據(jù)交點(diǎn)情況得的關(guān)系式，解方程組得k和m的值，即得直線方程【詳解】解：由，得，方程橢圓中，令，可得即，得，得橢圓方程；顯然直線存在斜率，設(shè)其方程為，整理得：，由，化簡得：，代入拋物線：，得到，時(shí)，化簡得：，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為或或【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題18.過橢圓的右焦點(diǎn)F作直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，H為線段MN的中點(diǎn)，且OH的斜率為，設(shè)點(diǎn)求該橢圓的方程；若點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)G的軌跡方程；過原點(diǎn)的直線交橢圓于B、C兩點(diǎn)，求面積的最大值【答案】（1）；（2），（3）最大值【解析】【分析】結(jié)合點(diǎn)差法和直線的斜率，以及OH的斜率為，可得，再根據(jù)右焦點(diǎn)F在直線上，求出c，即可求出橢圓的方程；利用轉(zhuǎn)移法解得G的軌跡方程；聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，利用弦長公式求出CB，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得A到CB的距離，根據(jù)三角形的面積得函數(shù)解析式，根據(jù)基本不等式求出最大值【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減可得，即，直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，H為線段MN的中點(diǎn)，且OH的斜率為，右焦點(diǎn)F作在直線上，令，可得，由，解得，橢圓方程為；設(shè)，則有，即，代入為中，得，故線段PA的中點(diǎn)G的軌跡方程為，當(dāng)直線BC垂直x軸時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)A到直線BC的距離，則，當(dāng)直線BC的斜率為零時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)A到直線BC的距離，則，當(dāng)直線BC的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線BC的方程為，聯(lián)立方程組可得，消y整理可得，解得，則，點(diǎn)A到直線BC的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，取最大值，最大值為，綜上所述面積的最大值【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程，考查直線和橢圓位置關(guān)系，考查弦長公式，考查點(diǎn)到直線的距離公式和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題19.已知點(diǎn)、是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足求點(diǎn)P的軌跡方程；若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】（1）（2），或或或【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義求點(diǎn)P的軌跡方程根據(jù)余弦定理以及橢圓定義求，再由，得，結(jié)合橢圓定義推導(dǎo)出，由雙曲線得點(diǎn)P的軌跡方程，最后聯(lián)立橢圓與雙曲線方程，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足點(diǎn)P是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，且，點(diǎn)P的軌跡方程為在中，解得，由，得，點(diǎn)P在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上，聯(lián)立，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)，或或或【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查橢圓、雙曲線、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題20.已知橢圓C：（ab0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（）求C的方程；（）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn).【答案】(1) .(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，由橢圓的對(duì)稱性可知C經(jīng)過，兩點(diǎn).另外由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此在橢圓上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出C的方程；（2）先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，再設(shè)直線l的方程，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，通過計(jì)算，不滿足題意，再設(shè)l：（），將代入，寫出判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1x2，進(jìn)而表示出，根據(jù)列出等式表示出和的關(guān)系，從而判斷出直線恒過定點(diǎn).試題解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn).又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（