四川省雅安中學(xué)2018_2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題（含解析）.docx

雅安中學(xué)2018-2019學(xué)年下期第一次月考試高中一年級數(shù)學(xué)試題卷第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的1.以下四組向量能作為基底的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面內(nèi)兩不共線的向量可作為基底，對選項中的向量逐一判斷即可.【詳解】對于，與共線，不能作為基底；對于，與不共線，能作為基底；對于，與共線，不能作為基底；對于，與共線，不能作為基底，故選B.【點睛】本題主要考查平面向量基本定理，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.2.如圖所示，在正中，均為所在邊的中點，則以下向量和相等的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相等向量的定義，對選項中的向量逐一判斷即可.【詳解】與向量，方向不同，與向量不相等，而向量與方向相同，長度相等，故選D.【點睛】本題主要考查相等向量的定義，屬于簡單題.相等向量的定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量；兩個向量只有當(dāng)他們的模相等且方向相同時，才能稱它們相等.3.已知向量，向量，且,則( )A. 9B. 6C. 5D. 3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩個向量平行的充要條件，得到關(guān)于的方程，解方程即可得到的值.【詳解】因為向量,向量且，根據(jù)問量共線的充要條件得，故選B.【點睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.4.已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用正弦定理求解即可.【詳解】，為銳角，由正弦定理可得，所以，故選A.【點睛】本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.5.已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理可得，故選C.【點睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.6.關(guān)于有以下說法，不正確的是（ ）A. 的方向是任意的B. 與任一向量共線，所以C. 對于任意的非零向量，都有D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用零向量的定義以及向量的線性運算法則，對選項中的命題逐一判斷即可.【詳解】由零向量的定義可得零向量的方向是任意的，正確；根據(jù)規(guī)定，零向量與任何向量平行，可得正確；因為，所以不正確；因為,所以正確，故選C.【點睛】本題主要考查零向量的定義與性質(zhì)，以及向量運算的三角形法則，意在考查對基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.7.一角槽的橫斷面如圖所示，四邊形是矩形，且，則的長等于()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出，利用余弦定理求解即可.【詳解】四邊形是矩形，且，由余弦定理可得， ，故選A.【點睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.8.已知非零向量滿足且，則為（ ）A. 三邊均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等邊三角形D. 等邊三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，判斷出的角平分線與垂直,進(jìn)而推斷三角形為等腰三角形，再根據(jù)向量的夾角公式求得角，判斷出三角形的形狀.【詳解】分別為單位向量，的角平分線與垂直，所以，為等邊三角形，故選D.【點睛】本題主要考查向量的夾角及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角， （此時往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）.9.若向量與不共線，且，則向量與的夾角為（ ）A. 內(nèi)的任意一角B. 0C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算法則，求得，即得其夾角為.【詳解】，與夾角為，故選C.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題. 向量數(shù)量積的運算主要掌握兩點：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.10.若的周長等于20，面積是，則邊的長是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】利用面積公式得到的值，結(jié)合周長為，再根據(jù)余弦定理列出關(guān)于的方程，求出的值即為的值.【詳解】因為面積公式，所以，得，又周長為，故，由余弦定理得，故，解得，故選C.【點睛】考查主要考查余弦定理，以及會用三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題. 對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.11.在一條東西走向的水平公路的北側(cè)遠(yuǎn)處有一座高塔，塔底與這條公路在同一水平平面上，為測量該塔的高度，測量人員在公路上選擇了兩個觀測點，在處測得該塔底部在西偏北的方向上；在處測得該塔底部在西偏北的方向上，并測得塔頂?shù)难鼋菫?已知，則此塔的高為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在中，利用正弦定理求出，再由直角三角形的性質(zhì)求出即可.【詳解】畫出示意圖，圖中的外角為，在中，故選B.【點睛】本題主要考查了正弦定理的實際應(yīng)用，考查了建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力.屬于中檔題. 正弦定理常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化.12.在中，則的形狀是（ ）A. 等腰非直角三角形B. 等腰直角三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰或直角三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得，化為，由，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】,化為，由正弦定理可得，是直角三角形，不是等腰三角形，故選C.【點睛】判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形.第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4 小題，每小題5分，共20分，將答案書寫在答題卡對應(yīng)題號的橫線上13.已知向量與向量同向的單位向量的坐標(biāo)為_【答案】【解析】【分析】由已知可求，進(jìn)而可求，而與同向的單位向量為，再利用坐標(biāo)表示即可.【詳解】，與同向的單位向量坐標(biāo)表示，故答案為.【點睛】本題主要考查了向量運算的坐標(biāo)表示，向量模的坐標(biāo)表示，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.14.若向量的夾角為，則_【答案】6【解析】【分析】由，夾角為，求出的值，再由平面向量數(shù)量積的運算法則求解即可.【詳解】因為向量的夾角為，所以則，故答案為6.【點睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題. 向量數(shù)量積的運算主要掌握兩點：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.15.中，角所對的邊分別為，則_.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理與同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，化簡得，再利用正弦定理可得結(jié)果 .【詳解】中，根據(jù)正弦定理，得，可得，由正弦定理可得，可得，故答案為.【點睛】本題著重考查了正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識,屬于基礎(chǔ)題. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.16.以下說法正確的是_（填寫所有正確的序號）若兩非零向量，若，則的夾角為銳角；若，則，反之也對；在中，若，則，反之也對；在銳角中，若，則【答案】【解析】【分析】由 與 同向時夾角不是銳角，判斷；由時， 與 平行，判斷；由正弦定理得判斷；根據(jù)銳角三角形三個內(nèi)角都是銳角判斷.【詳解】對于， 與 同向時，若，夾角為，不是銳角，故錯誤；對于，若時，則， 與 平行，故錯誤；對于，由正弦定理得，,故正確；對于，由，可得，即，故正確，故答案為.【點睛】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查向量的夾角與向量的位置關(guān)系以及正弦定理，屬于難題.這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學(xué)們往往因為某一處知識點掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.三、解答題：本大題共6小題，共70分，將答案書寫在答題卡對應(yīng)題號的方框內(nèi)，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟17.已知（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用平面向量線性運算的坐標(biāo)表示求解即可；（2）先求出的坐標(biāo)形式，根據(jù)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】（1）， .（2），即，得.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算以及向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題. 利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.18.已知中，內(nèi)角所對的邊分別為.（1）若，求角；（2）若，求【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；（2）由，利用正弦定理可得,設(shè)，利用余弦定理可得結(jié)果.【詳解】（1），由正弦定理可得，,或.（2），,設(shè)，由余弦定理可得， .【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形，正弦定理邊角互化的應(yīng)用以及余弦定理解三角形，意在考查對基本定理掌握的熟練程度與靈活應(yīng)用，屬于中檔題.19.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知（1）求外接圓的面積；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，求出外接圓半徑，從而可得結(jié)果；（2）由正弦定理可得，再利用余弦定理解得，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，外接球面積為.（2），.【點睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理的解三角形，以及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題. 對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.20.設(shè)、是兩個不共線的向量，.（1）若與的起點相同，且，三個向量的終點在同一直線上，求；（2）若，且與的夾角為，那么為何值時，的值最小？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由，三個向量的終點在同一直線上可得，化簡得，從而可得結(jié)果；（2）化簡 ，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，三個向量的終點在同一直線上，所以，化簡得，與不共線，時，的終點在一直線上；（2），時，最小，此時有最小值.【點睛】用兩個向量共線的充要條件，可解決平面幾何中的平行問題或共線問題,根據(jù)三個向量的終點在一條直線上，構(gòu)造向量，得到向量之間的關(guān)系，得到要求的結(jié)果；求一個量的最小值，一般要先表示出這個變量,對于模長的運算，要對求得結(jié)果兩邊平方，變化為向量的數(shù)量積和模長之間的運算，根據(jù)二次函數(shù)的最值得到結(jié)果.21.在中，角的對邊分別為，且（1）求的值；（2）若求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由利用正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式可得結(jié)果；（2）先利用正弦定理求得外接圓半徑，再由由正弦定理可得 ，利用三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.【詳解】（1）因為所以由正弦定理可得,因為，所以.（2）由（1）可得，由，且，得，又有，（當(dāng)時，取最大值），此時為等邊三角形.【點睛】以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用.22.有如下圖所示的四邊形.（1）在中，三內(nèi)角為,求當(dāng)為何值時，取得最大值，并求出這個最大值；（2）若為（1）中所得值， ,記.（）求用含的代數(shù)式表示；（）求的面積的最小值.【答案】（1），；（2）（）；（）.【解析】【分析】（1）由降冪公式以及誘導(dǎo)公式可得 ，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）（i）由（1）可得， ,由四邊形內(nèi)角和得，在中,由正弦定理可得結(jié)果；（ii）在中，