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一、準則I及第一個重要極限,二、準則II及第二個重要極限,1.6 極限存在準則 兩個重要極限,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,首頁,一、準則I及第一個重要極限,如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ),準則 I,準則I,如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A,下頁,第一個重要極限,因此 sin x x tan x ,簡要證明,參看附圖 設(shè)圓心角AOB=x,下頁,注:,這是因為 令u=a(x) 則u0 于是,下頁,第一個重要極限,例1,解,解,例2,首頁,例3 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為,證:,說明: 計算中注意利用,二、準則II及第二個重要極限,注:,如果xnxn+1 nN 就稱數(shù)列xn是單調(diào)增加的 如果xnxn+1 nN 就稱數(shù)列xn是單調(diào)減少的 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列,下頁,準則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,提問: 收斂的數(shù)列是否一定有界？ 有界的數(shù)列是否一定收斂？,二、準則II及第二個重要極限,準則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,準則II的幾何解釋,以單調(diào)增加數(shù)列為例 數(shù)列的點只可能向右一個方向移動 或者無限向右移動 或者無限趨近于某一定點A 而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生,根據(jù)準則II 數(shù)列xn必有極限, 此極限用e來表示, 即,第二個重要極限,e是個無理數(shù) 它的值是 e=2 718281828459045 ,下頁,二、準則II及第二個重要極限,準則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,可以證明,(2)xn3,(1)xnxn+1 nN,下頁,第二個重要極限,二、準則II及第二個重要極限,準則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,我們還可以證明,這就是第二個重要極限,根據(jù)準則II 數(shù)列xn必有極限, 此極限用e來表示, 即,可以證明,(2)xn3,(1)xnxn+1 nN,第二個重要極限,二、準則II及第二個重要極限,準則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,注:,解,例4,令t=-x 則x 時 t 于是,結(jié)束,思考與練習(xí),一 填空題 ( 15

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